Propri´et´es ´el´ementaires des fonctions de poids

∂G ∂Pi (z^′, −→_{P )g(z}′)dz^′

Cette ´egalit´e ´etant vraie pour tout −→_{P , elle est vraie en particulier pour −}→_{P = −}→_{0 . On obtient} alors, en multipliant l’´egalit´e par δA, l’accroissement de [[ui]](x, z) dˆu `a une perturbation δa(z) du front sous chargement constant (en l’absence des forces −→_{P ) au premier ordre en δA :}

δ[[ui]](x, z) = Z +∞ −∞ ∂G ∂Pi (z^′, −→_{P = −}→_{0 )δa(z}′)dz^′ (5.7) Or, d’apr`es le principe de superposition, les facteurs d’intensit´e de contraintes , Kp(z′, −→<sub>P )</sub> au point z′, en pr´esence d’un doublet de forces ±<sup>−→</sup>P sur les l`evres de la fissure, s’´ecrivent de la fa¸con suivante, avec sommation sur l’indice i :

Kp(z^′, −→_{P ) = K}

p(z^′) + Pihpi(x, z; z^′), p = I, II, III o`u les Kp(z′) d´esignent les F.I.C. initiaux (pour −→_{P = −}→_{0 ) au point z}′.

Par cons´equent, en d´erivant cette relation par rapport `a Pi et en utilisant (5.3), on obtient, au premier ordre en δa(z) :

δ[[ui]](x, z) = 2

Z _+∞

−∞ {Λ [KI(z^′)hIi(x, z^′− z) + KII(z^′)hIIi(x, z^′ − z)] +

Λ^′KIII(z^′)hIIIi(x, z^′ − z)} δa(z′) dz^′, i = x, y, z (5.8) Remarque : En fait, on montre que si l’on applique une force strictement ponctuelle −→_P en un point M, le d´eplacement est infini, donc non d´efini, en ce point. Pour pallier `a cette difficult´e, on peut reprendre le raisonnement pr´ec´edent en appliquant une r´epartition uniforme de forces ±^−→P /πR2 sur un disque D de rayon R centr´e en (x, 0±, z). Le travail de ces forces s’´ecrit alors Pi

1 πR2.

Z

Dδ[[ui]]dS = Pi.δ(V M[[ui]]) o`u V M[[ui]] d´esigne la valeur moyenne de [[ui]] sur le disqueD. Il faut alors remplacer [[ui]](x, z) par V M[[ui]] dans l’´equation (5.7). En passant `a la limite R→ 0 dans l’´equation obtenue on obtient, le r´esultat (5.7) (δ[[ui]] redevenant d´efini puisque −→_{P est pris nul) et par suite le mˆeme r´esultat final (5.8).}

5.3 Propri´et´es ´el´ementaires des fonctions de poids

En vertu de la propri´et´e hp_i(x, z; z′)≡ hp_i(x, z′− z), il est toujours possible de placer les points d’application du doublet en (x, 0±, 0) et le point d’observation des F.I.C. en z. La fonction de poids qui en r´esulte est alors hp_i(x, z).

Propri´et´es ´el´ementaires des hpi

5.3.1 Parit´e des h

(x, z) par rapport `a z

Les propri´et´es de parit´e par rapport `a z s’obtiennent par sym´etrie par rapport au plan (O, ~ex, ~ey). Diff´erents cas sont `a envisager suivant l’orientation du doublet de forces±~ei.

Doublet dans le plan (~ex, ~ey)

Appelons ~u le d´eplacement dˆu `a ce doublet de forces.

e_x e_y (x,0,0) 0 x y z

Alors on a les propri´et´es de sym´etrie suivantes, o`u α = x ou y :

uα(x, z) = uα(x,−z)

Le d´eplacement u_α(x, z) d´esigne le d´eplacement sur la l`evre sup´erieure (en (x, 0+, z)) ou inf´erieure (en (x, 0−, z)) de la fissure.

D’o`u en consid´erant le comportement du saut de d´eplacement (5.1) quand x→ 0−: hα(x, z) = hα(x,−z), hα = hIα + ihIIα, α = x, y (5.9) De mˆeme, on a uz(x, z) =−uz(x,−z) d’o`u hIIIα(x, z) =−hIIIα(x,−z), α = x, y (5.10) Doublet dans la direction ~ez

Soit ~u− le d´eplacement dˆu `a un doublet de forces ∓~ez

e_z (x,0,0)

0 x

y

z

en (x, 0±, 0), et soit ~u+ le d´eplacement dˆu `a un doublet de forces ±~ez en (x, 0±, 0). On a les propri´et´es de sym´etrie suivantes, o`u α = x ou y :

u⁻_α(x, z) = u⁺_α(x,−z)

d’o`u, comme les F.I.C. engendr´es par un doublet ∓~ez sont oppos´es `a ceux dˆus `a un doublet ±~ez, et d’apr`es le comportement du d´eplacement quand x→ 0−: hz(x, z) =−hz(x,−z), hz = hIz + ihIIz (5.11) De mˆeme, on a u⁻_z(x, z) =−u⁺z(x,−z) d’o`u hIIIz(x, z) = hIIIz(x,−z) (5.12)

5.3.2 Propri´et´es d’homog´en´eit´e

On obtient une nouvelle solution d’un probl`eme d’´elasticit´e en multipliant toutes les distances et les d´eplacements par une quantit´e λ > 0. Dans une telle transformation les contraintes restent inchang´ees, et les forces ponctuelles, qui sont homog`enes `a une contrainte multipli´ee par une surface, sont multipli´ees par λ2.

Par cons´equent, en notant ~u le d´eplacement dˆu `a un doublet de forces ponctuelles unitaires en (x, 0±, 0) des l`evres de la fissure, et ~ˆu le d´eplacement dˆu `a des forces ponctuelles de norme λ2 en (λx, 0±, 0) des l`evres de la fissure, on a en tout couple de points (x′, 0±, z), x′ < 0 :

[[ˆuy+ iˆux]](λx^′, λz) = λ[[uy + iux]](x^′, z) [[ˆuz]](λx^′, λz) = λ[[uz]](x^′, z).

En utilisant le comportement pr`es du front du saut des d´eplacements sur les l`evres de la fissure (cf. (5.1)), et la lin´earit´e des F.I.C. par rapport au chargement, on obtient les propri´et´es d’homog´en´eit´e des fonctions de poids :

hi(λx, λz) = λ^−3/2−iεhi(x, z) (5.13) hIIIi(λx, λz) = λ^−3/2hIIIi(x, z) (5.14) pour i = x, y, z et λ > 0. On rappelle que hi est donn´ee par (5.5).

5.3.3 Comportement asymptotique des h

Rappelons que hpi(x, z) est le pi`eme F.I.C. dˆu `a un doublet de forces ±~ei appliqu´e aux points (x, 0±, 0) des l`evres de la fissure. On cherche `a connaˆıtre le comportement de ces F.I.C. quand le doublet de forces s’approche du front, i.e. quand x→ 0−.

L’id´ee ici est de relier le comportement des fonctions

z+

δa(z’)

z-

(x,0,0)

x

z

z

de poids `a celui bien connu, du saut de d´eplacement pr`es du front. Pour cela, nous allons utiliser la formule (5.8) donnant l’accroissement du saut de d´eplacement dˆu `a une perturbation du front pour un z′ 7−→ δa(z′) particulier, nul partout sauf dans un voisinage ]z−η, z+η[ de z, avec z 6= 0. Dans ce cas, le membre de gauche, δ[[u_i]](x, z′), a le comportement classique (cf. 5.1) quand x → 0−, pourvu que z′ ∈]z − η, z + η[. En prenant η assez petit pour que/ 0 /∈]z − η, z + η[ (ce qui est possible puisque z 6= 0), on a

donc, δ [[uy+ iux]] (x, 0)∝ |x|1/2+iε et δ [[uz]] (x, 0)∝ |x|1/2 o`u∝ signifie ”proportionnel `a”. Quant au membre de droite de (5.8), l’int´egrale 2^R_−∞^+∞{...}δa(z′)dz′ qui y figure peut ˆetre remplac´ee, pour η → 0, par {...}δ¯a o`u δ¯a ≡ 2<sup>R</sup>z−η<sup>z+η</sup>δa(z′)dz′, il se ram`ene donc `a une somme de termes proportionnels aux Kp(z)hp_i(x, z).

Propri´et´es ´el´ementaires des hpi

En tenant compte du fait que les Kp(z) sont arbitraires et en ´egalant les deux membres de l’´equation (5.8), on voit que le comportement quand x → 0− de (hpy + ihpx)(x, z) et δ [[uy+ iux]] (x, 0) d’une part, de hpz(x, z) et δ [[uz]] (x, 0) d’autre part, sont li´es et donc que:

(hpy+ ihpx)(x, z) ∝ |x|1/2+iε (5.15) h_pz(x, z) ∝ |x|^1/2 (5.16) pour p = I, II, III, z 6= 0 et x → 0−.

Remarque : les conditions d’homog´en´eit´e impliquent que h_pi(x, z) = |x|λh_pi(−1, z/|x|) (o`u λ d´esigne le degr´e d’homog´en´eit´e de h_pi). Par cons´equent, le comportement des h_pi(x, z) quand x→ 0− est li´e au comportement de ces mˆemes fonctions quand z → +∞.

5.3.4 Combinaison des propri´et´es pr´ec´edentes

Les propri´et´es d’homog´en´eit´e et de parit´e par rapport `a z portent sur (hI<sub>i</sub> + ihII<sub>i</sub>)(x, z) et hIII<sub>i</sub>(x, z) (avec i = x, y, z), alors que celles concernant le comportement asymptotique portent sur (h<sub>py</sub>+ ih<sub>px</sub>)(x, z) et h<sub>pz</sub>(x, z) (avec p = I, II, III). Nous sommes donc amen´es `a d´efinir de nouvelles fonctions permettant de ”synth´etiser” ces diverses propri´et´es.

On remarque que

• la fonction [hIy + ihIIy + i(hIx + ihIIx)](x, z) est paire par rapport `a z, positivement homog`ene de degr´e−3

2 − iε et se comporte comme |x|1/2+iε quand x → 0−;

• la fonction [hIy − ihIIy + i(hIx − ihIIx)](x, z) v´erifie des propri´et´es analogues sauf en ce qui concerne son degr´e d’homog´en´eit´e, ´egal `a−3

2 + iε

Nous pouvons ainsi d´efinir, en mettant ”en facteur” le comportement asymptotique des hpi

pour x→ 0−, deux fonctions complexes H+ et H− de la fa¸con suivante :

             [hIy + ihIIy+ i(hIx + ihIIx)](x, z) = [hIy+ ihIx + i(hIIy+ ihIIx)](x, z) ≡ (|x|/2π)1/2|x|iεH+(x, z) h hIy− ihIIy + i(hIx− ihIIx)ⁱ(x, z) = [hIy+ ihIx − i(hIIy+ ihIIx)](x, z) ≡ (|x|/2π)1/2|x|iεH−(x, z) (5.17) Les limites H+(0−, z) et H−(0−, z) ne sont ni nulles, ni infinies avec ces d´efinitions.

De plus, il d´ecoule de ce qui pr´ec`ede que :

• H+(x, z) est paire par rapport `a z, positivement homog`ene de degr´e −2 − 2iε; • H−(x, z) est paire par rapport `a z, positivement homog`ene de degr´e −2.

Nous pouvons donc ´ecrire les limites H+(0−, z) et H−(0−, z) sous la forme suivante : H+(0, z)≡ γ+|z|^−2−2iε; H−(0, z)≡ γ−z⁻² (5.18) o`u γ₊ et γ₋ sont des constantes complexes inconnues.

Nous pouvons, de mˆeme, d´efinir deux fonctions complexes H_III et H_z, et une fonction r´eelle H par :       

(hIIIy+ ihIIIx)(x, z) ≡ (|x|/2π)1/2|x|iεHIII(x, z) (hIz + ihIIz)(x, z) ≡ (|x|/2π)1/2Hz(x, z)

hIIIz(x, z) ≡ (|x|/2π)1/2H(x, z)

(5.19) o`u :

• HIII(x, z) est impaire par rapport `a z, positivement homog`ene de degr´e−2 − iε; • Hz(x, z) est impaire par rapport `a z, positivement homog`ene de degr´e −2 − iε; • H(x, z) est paire par rapport `a z, positivement homog`ene de degr´e −2.

Comme pr´ec´edemment, nous pouvons ´ecrire les limites HIII(0−, z), Hz(0−, z) et H(0−, z) sous la forme suivante : _      

HIII(0, z) ≡ γIII z|z|−3−iε

Hz(0, z) ≡ γzz|z|−3−iε

H(0, z) ≡ γ z−2

(5.20) o`u γIII et γz sont des constantes complexes inconnues, alors que γ est une constante r´eelle inconnue.

5.3.5 Parit´e des fonctions de poids par rapport `a ε

Ces propri´et´es, qui nous seront utiles dans la r´esolution des ´equations, s’obtiennent en effectuant une sym´etrie par rapport au plan (0, ~ex, ~ez), qui ´echange les mat´eriaux. En effet, d’apr`es (5.2), ´echanger les mat´eriaux de part et d’autre de l’interface conduit `a changer le signe de ε.

En raisonnant alors comme pour les conditions de parit´e par rapport `a z, pour chaque chargement ±~ei, i = x, y, z, on obtient les r´esultats suivants :

• hIIx, h_IIIx, h_Iy, h_IIz, h_IIIz sont paires par rapport `a ε; • hIx, h<sub>IIy</sub>, h<sub>IIIy</sub>, h<sub>Iz</sub> sont impaires par rapport `a ε.

Par cons´equent, on voit en utilisant les notations introduites en §5.3.4, que les fonctions H+, H−, Hz, HIII, H v´erifient les propri´et´es suivantes :

       H₊(x, z;−ε) = H+(x, z; ε); H₋(x, z;−ε) = H−(x, z; ε) H_z(x, z;−ε) = −Hz(x, z; ε); H_III(x, z;−ε) = −HIII(x, z; ε) H(x, z,−ε) = H(x, z, ε) (5.21)

Variation des F.I.C. due `a une petite perturbation du front o`u l’indication de d´ependance vis-`a-vis de ε a ´et´e introduite temporairement. D’apr`es les ´equations (5.18) et (5.20), les constantes γ+, γ−, γIII, γz, γ v´erifient des propri´et´es similaires :

γ+(−ε) = γ+(ε), γ−(−ε) = γ−(ε), γz(−ε) = −γz(ε), γIII(−ε) = −γIII(ε), γ(−ε) = γ(ε) (5.22)