Annexe : Calcul de quelques int´egrales

, n∈ IN.

Nous envisageons dans l’avenir d’´etudier la stabilit´e de la forme du front d’une fissure d’interface en forme de pi`ece de monnaie par une d´emarche analogue.

7.7 Annexe : Calcul de quelques int´egrales

7.7.1 Calcul de I

₂

=

Z +∞

0

e

^−p(1+iu)

ln p dp et I

₃

=

Z +∞

0

e

^p(1−iu)

Ei (−2p) dp

I₂ se ram`ene aux int´egrales ^R₀^+∞e−pcos(pu) ln p dp et ^R₀^+∞e−psin(pu) ln p dp qui sont donn´ees dans Gradshteyn et Ryzhik (1980),§4.441. On en tire :

I2 =−_{2(1 + u}^{1− iu}₂₎^hln(1 + u²) + 2i arctan u + 2Cⁱ (7.44) Du fait que Ei (−2p) = −

Z +∞ 1

e−2pt

t ^{dt, en intervertissant les deux int´egrales intervenant dans} I3, on se ram`ene `a l’int´egration d’une exponentielle, puis d’une fraction rationnelle. Il vient finalement : I3 = ¹ 1− iu^ln _{1 + iu} 2  = ^{1 + iu} 2(1 + u2) " ln ^{1 + u} 2 4 ! + 2i arctan u # (7.45)

R´esolution des ´equations, d´etermination des fonctions de poids

7.7.2 Propri´et´es de χ(u) ≡ ⁱ

(1 + iu)

3/2 Z u −∞

ln ^{1 + it}

2

!

dt

(1 + it)

1/2

(1− it)

Cette int´egrale apparaˆıtra dans le calcul de I4. Parit´e de χ(u)

Montrons dans un premier temps que :

Z _+∞ −∞ ln _{1 + it} 2  _dt (1 + it)1/2(1− it) ^{= 0} D´emonstration : Re(z) R 1 2 -R

Im(z) Par changement de variable z = 1 + it, on se ram`ene `a :

Z _+∞ −∞ ln _{1 + it} 2  _dt (1 + it)1/2(1− it) ⁼ lim R→+∞ Z 1+iR 1−iR i ln^z 2  dz z1/2(z− 2)

En int´egrant, alors, ln^z₂^_z1/2(z−2)¹ sur le contour ferm´e, ci-contre, contenant le pˆole (2, 0) de r´esidu nul (car ln^z

2



s’annule en z = 2), on obtient le r´esultat attendu, compte tenu de ce que l’int´egrale sur le demi-cercle tend vers 0 quand R tend vers +∞.

Par un simple changement de variable t =−x, on obtient alors:

χ(−u) = χ(u) (7.46) c’est-`a-dire que Re(χ(u)) est paire, et Im(χ(u)) impaire.

Remarque : Le changement de variable z = 1 + it, suivi de z′ = √

z, permet de voir que l’int´egrale figurant dans χ(u) se ram`ene `a une primitive du type

Z _{ln x}

x + a^{dx, qui n’est pas} exprimable au moyen de fonctions ´el´ementaires.

Comportement en u =±∞ de χ(u)

Le terme sous l’int´egrale de χ(u) se comporte comme ^ln|t|

|t|3/2 en ∞ et donc par int´egration et compte tenu du terme multiplicatif ⁱ

(1 + iu)3/2, χ(u) se comporte comme u−2 ln|u| en −∞ (elle tend donc vers 0). Par parit´e, elle se comporte de la mˆeme fa¸con en +∞.

7.7.3 Calcul de I

4 Rappelons l’expression de I4 : I4 = Z +∞ 0 e^−p(1+iu)√_{p dp} ^Z p 0 e^{2xEi (}_√−2x) x ^dx

Une premi`ere ´etape consiste `a intervertir les int´egrales sur p et x, pour se ramener `a :

Z +∞ x √_pe−p(1+iu)dp = Z +∞ x √_pe−pcos(pu)dp− i Z +∞ x √_pe−psin(pu)dp

Les int´egrales du second membre sont donn´ees dans Gradshteyn et Ryzhik (1980) §3.944.2 et §3.944.4 et l’on obtient finalement :

I4 = ¹ (1 + iu)3/2 Z +∞ 0 e2xEi (−2x) √ x ^{Γ(3/2, (1 + iu)x)dx} | {z } φ(u) o`u Γ(α, x)≡ Z +∞

x t^α−1e^−tdt d´esigne la fonction Γ-incompl`ete (voir Gradshteyn et Ryzhik (1980) §8.350). Or :

dφ

du ⁼−i(1 + iu)^1/2

Z +∞

0 xe^x(1−iu)Ei (−2x) dx

En proc´edant alors comme pour le calcul de I3, on obtient : dφ du ^{= i} (1 + iu)1/2 (1− iu)2  ln _{1 + iu} 2  +¹− iu 1 + iu 

D’o`u, en int´egrant par parties : I₄ =−¹ 2^{χ(u) +} 1 1 + u2ln _{1 + iu} 2  + ^A (1 + iu)3/2

o`u A est une constante d’int´egration. Pour la d´eterminer, il faut se souvenir que I4 apparaˆıt dans les fonctions W1

k(u), dont les termes pr´epond´erants sont proportionnels `a u−2ln|u| quand u→ +∞ (cf. (6.37), (6.39) en rempla¸cant ^u_p par u, et en identifiant les termes d’ordre ε pour ε→ 0). Comme, de plus, χ(u) se comporte aussi comme u−2ln|u|, le terme en (1 + iu)−3/2 qui pr´edomine doit disparaˆıtre, donc A ˆetre nul.

Par cons´equent : I4 = −¹₂χ(u) + ¹ 1 + u2 ln _{1 + iu} 2  = −¹ 2^{χ(u) +} 1 2(1 + u2) " ln ^{1 + u} 2 4 ! + 2i arctan u # (7.47)

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