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2.4 Propri´ et´ es conditionnantes
2.4.1 Taille des ´el´ements du maillage
Pour contrˆoler les tailles des ´el´ements et plus pr´ecis´ement la longueur de leurs arˆetes, nous utilisons une propri´et´e d´efinie sur un maillage de fond qui caract´erise la distribution spatiale des longueurs d’arˆetes.
Calcul g´en´eral de la propri´et´e
La m´ethode propos´ee dans cette section s’appuie sur le calcul de la distance euclidienne aux entit´es limites. Pour chaque entit´e E du mod`ele g´eologique, une valeur de taille d’´el´ements cible tE est donn´ee par l’utilisateur. Sur chaque
Propri´et´es conditionnantes 47
entit´e limite el ∈ El de E, une propri´et´e de taille d’´el´ements est stock´ee sur son maillage. Le calcul est initialis´e en assignant les valeurs de taille d’´el´ements cibles `a chaque Coin. Ensuite, nous calculons, par dimension croissante des entit´es (Ligne puis Surface puis R´egion), la valeur de la propri´et´e tspour chaque sommet s du maillage de l’entit´e E :
ts = min
el∈El
{f (s, tE, el)} (2.1)
o`u la fonction f est une fonction calculant la valeur de taille d’´el´ements cible en fonction de la position du sommet s, la valeur cible de l’entit´e tE et une entit´e limite de E. L’utilisation de la fonction minimum dans l’´Equation 2.1 permet de toujours choisir la valeur la plus petite et donc celle qui va le plus contraindre la m´ethode. Nous proposons deux cat´egories de fonctions pour f :
— les fonctions qui s’appuient sur la distance aux entit´es ;
— les fonctions qui s’appuient sur les variations d’une autre propri´et´e d´ej`a calcul´ee (e.g. variation de param`etres p´etrophysiques).
Fonctions utilisant la distance aux entit´es
L’objectif de ces fonctions est de calculer une propri´et´e de valeurs cibles de taille d’´el´ements en prenant en compte les param`etres de l’´Equation 2.1. Les valeurs de cette propri´et´e doivent ˆetre similaires aux valeurs de la propri´et´e `a proximit´e des entit´es limites de E et tendrent vers la valeur cible, donn´ee par l’utilisateur, de l’entit´e tE loin de ces entit´es. Le calcul de la valeur de la propri´et´e en un sommet s du maillage de l’entit´e E par rapport `a une de ses entit´es limites el ∈ El se d´ecompose alors en deux ´etapes :
1. Estimer la zone d’influence de l’entit´e el sur la propri´ete ;
2. Calculer la valeur de taille d’´el´ements en s en fonction de la zone d’in-fluence, la valeur cible de l’entit´e et la valeur `a proximit´e de el.
Nous voulons calculer la zone d’influence d’une entit´e limite el de E en fonction des valeurs de la propri´et´e `a proximit´e de el et tE. Les valeurs de la propri´et´e stock´ees sur le maillage de el pouvant varier en chaque sommet du maillage, la zone d’influence est donc diff´erente pour chaque sommet de el. Soit sel le sommet de el le plus proche de s. Par approximation, nous consid´erons la valeur de la propri´et´e tel de el associ´ee au sommet sel pour calculer la zone d’influence de el en s.
Nous introduisons un param`etre α ∈]0, 1[, donn´e par l’utilisateur, qui re-pr´esente la variation de taille d’´el´ements autoris´ee entre deux ´el´ements voisins, tel que la premi`ere taille d’arˆete th´eorique, soit αtel si tel > tE ou (2 − α)tel si tel < tE. Supposons que tel > tE, alors la premi`ere longueur d’arˆete est αtel, la deuxi`eme α2tel et ainsi de suite jusqu’`a αntel ≈ tE, avec n ∈ N. Ce param`etre peut ˆetre diff´erent pour chaque entit´e. Nous pouvons alors d´efinir la zone d’in-fluence ∆s,el comme la distance limite `a partir de laquelle el n’influe plus sur le
48 Chapitre 2. Maillage t´etra´edrique
calcul de la valeur de taille d’´el´ements en s :
∆s,el = tel n X i=1
αi si tel < tE avec n = arg min
j ∈ N ( |αjtel− tE| ) tel n X i=1
(2 − α)i si tel > tE avec n = arg min
j ∈ N
( |(2 − α)jtel− tE| )
0 sinon
(2.2) o`u |.| est la fonction valeur absolue.
En utilisant cette zone d’influence, nous pouvons d´efinir la fonction f utilis´ee dans l’´Equation2.1, comme une fonction continue, d´efinie par morceaux :
f (s, tE, el) = (
g(d, ∆s,el, tE, tel) si d < ∆s,el
tE sinon (2.3)
o`u d est la distance euclidienne entre s et sel et g une fonction d´efinie sur la zone d’influence, qui calcule la transition des valeurs de la propri´et´e de tel `a tE en fonction de d. Cette fonction peut ˆetre d´efinie de multiples fa¸cons et une fonction diff´erente peut ˆetre assign´ee par entit´e. Dans la section suivante, nous proposons deux possibles fonctions `a utiliser.
Exemple de transition directe
Cette fonction a pour but de calculer une transition simple de tel `a tE sur une distance ´egale `a la zone d’influence en utilisant une fonction de puissance. La fonction puissance permet de modifier la forme de la fonction et donc la variation de la propri´et´e de taille d’´el´ements. Nous introduisons un param`etre β ∈ R, donn´e par l’utilisateur, qui correspond `a l’exposant de la fonction puis-sance. Ce param`etre peut ˆetre diff´erent pour chaque entit´e. Cette fonction, appel´ee transition directe, peut alors se d´efinir ∀d ∈ [0, ∆s,el[ (Figure 2.3) :
gdirect(d, ∆s,el, tE, tel) = (tE− tel)( d
∆s,el
)β+ tel (2.4)
Des exemples de maillages g´en´er´es `a l’aide de cette fonction sont pr´esent´es dans la Section 2.7.1.
Exemple de transition extrusive
Cette deuxi`eme fonction est une extension de la pr´ec´edente. `A l’origine, cette fonction avait pour but de mod´eliser la zone d’endommagement autour d’une faille dans laquelle les param`etres p´etrophysiques et m´ecaniques varient [Faulkner et al., 2006]. De mani`ere plus g´en´erale, l’id´ee est d’avoir une zone proche d’une entit´e o`u les valeurs de taille d’´el´ements sont ´egales `a tel. Cette zone est d´efinie par un param`etre ∆e ∈ R, donn´e par l’utilisateur, repr´esentant la zone sur laquelle la valeur tel sera utilis´ee. Si nous revenons au probl`eme de mod´elisation d’une zone d’endommagement, ∆e correspond alors `a l’´epaisseur
Propri´et´es conditionnantes 49 ∆s,el 0 distance `a el taille d’´el´ements tel tE β >1 β <1
Figure 2.3 – Illustration de la fonction de transition directe. `A proximit´e de
l’entit´e limite el, la taille d’´el´ements est ´egale `a telpuis tend vers la valeur cible tE. La forme
de la transition peut ˆetre modul´ee `a l’aide du param`etre β sur une distance ∆s,el calcul´ee
avec le param`etre α.
de cette zone. Dans ce cas, la zone d’influence est augment´ee de cette zone suppl´ementaire, nous obtenons ainsi la distance ∆s,el+∆e. Nous pouvons d´efinir la fonction de transition extrusive ∀d ∈ [0, ∆s,el+ ∆e[ (Figure 2.4) :
gextrusion(d, ∆s,el, tE, tel) = (
tel si d < ∆e
gdirect(d − ∆e, tE, tel) sinon (2.5)
Un exemple de maillage g´en´er´e `a l’aide de cette fonction est pr´esent´e dans le Chapitre 5.
Fonctions utilisant d’autres propri´et´es
Cette deuxi`eme cat´egorie de fonctions utilise des propri´et´es d´ej`a calcul´ees. Elles sont tr`es utiles si nous ne souhaitons pas contraindre le calcul de la pro-pri´et´e de taille d’´el´ements par les structures g´eologiques mais par des param`etres p´etrophysiques par exemple. Soit une propri´et´e P , dont les valeurs ´evoluent dans l’intervalle [Pmin, Pmax]. En utilisant une valeur minimale m et maximale M de taille d’´el´ements fournies par l’utilisateur, il est possible de redimensionner les variations de P pour calculer la valeur de taille d’´el´ements :
ts = f (P (s), m, M ) (2.6)
o`u P (s) est la valeur de la propri´et´e P approxim´ee au sommet s. Des exemples de maillages g´en´er´es `a l’aide de cette fonction sont pr´esent´es dans le Chapitre5. L’exemple le plus simple d’une telle transformation en conservant les
varia-50 Chapitre 2. Maillage t´etra´edrique ∆e+ ∆s,el 0 distance `a el taille d’´el´ements tel tE β >1 β <1 ∆e
Figure 2.4 – Illustration de la fonction de transition extrusive. `A proximit´e de
l’entit´e limite el et sur une distance ∆e, la taille d’´el´ements est ´egale `a tel puis tend vers la
valeur cible tE. La forme de la transition peut ˆetre modul´ee `a l’aide du param`etre β sur une
distance ∆s,el calcul´ee avec le param`etre α.
tions de P est :
f (P (s), m, M ) = (P (s) − Pmin)
Pmax− Pmin (M − m) + m (2.7)
2.4.2 Champ de directions
Un champ de directions peut ˆetre d´efini comme un ensemble de trois pro-pri´et´es vectorielles. Chaque valeur d’une propri´et´e vectorielle est un vecteur symbolisant un axe unitaire d’un rep`ere. L’association des trois vecteurs forme donc un rep`ere tridimensionnel. Ce rep`ere est utilis´e pour contraindre la g´e-n´eration des maillages 2D et 3D d’un mod`ele g´eologique (voir Section 2.5.3 et Section 2.5.4). Sachant que les t´etra`edres doivent s’aligner sur ce champ, nous cherchons `a avoir un champ le plus lisse possible, c’est-`a-dire deux rep`eres adjacents du champ doivent ˆetre les plus « similaires » possible. Plus pr´ecis´e-ment, l’angle de rotation qui permet de superposer les deux rep`eres doit ˆetre le plus faible possible. Deux m´ethodes peuvent ˆetre utilis´ees pour calculer un champ de directions 3D lisse. Elles sont toutes les deux calcul´ees sur un maillage t´etra´edrique, le champ de directions est d´efini sur les sommets de ce maillage. Optimisation d’un champ de directions orthonorm´e
Cette premi`ere m´ethode a pour objectif de lisser un champ de directions or-thonorm´e pr´eexistant, c’est-`a-dire de minimiser l’angle de rotation entre toutes les paires de rep`eres adjacents. Afin de contraindre ce probl`eme d’optimisa-tion, certains rep`eres sont bloqu´es. Dans notre cas, nous voulons que le champ soit contraint par le mod`ele g´eologique. Pour cela, le maillage t´etra´edrique qui supporte le champ de directions est g´en´er´e conforme au mod`ele g´eologique et
G´en´eration des sommets finaux 51
nous bloquons ainsi le vecteur normal pour chaque facette de t´etra`edre qui est conforme aux interfaces du mod`ele.
La minimisation de ce probl`eme est complexe et une autre repr´esentation d’un rep`ere est n´ecessaire. Huang et al. [2011] proposent de repr´esenter ces rep`eres par des fonctions d´efinies sur une sph`ere : des harmoniques sph´eriques. Nous utilisons l’impl´ementation propos´ee par Ray et Sokolov [2015], elle se d´ecompose en deux ´etapes :
1. Calculer les coefficients des harmoniques sph´eriques en utilisant une ex-tension de la m´ethode de Kowalski et al.[2012] ;
2. R´ealiser quelques it´erations de lissage des harmoniques en s’appuyant sur la m´ethode de Li et al. [2012].
Coordonn´ees chrono-stratigraphiques
Mallet [2014] propose une approche pour mod´eliser les milieux stratigra-phiques en utilisant des coordonn´ees chrono-stratigrastratigra-phiques. L’id´ee est de re-lier l’espace g´eologique observ´e sur le terrain `a l’espace chrono-stratigraphique qui repr´esente l’espace dans lequel se sont mises en place les structures stra-tigraphiques, c’est-`a-dire lors du d´epˆot des particules s´edimentaires [Wheeler, 1958]. Cette approche passe par le calcul d’un syst`eme de coordonn´ees curvili-n´eaires que nous pouvons utiliser comme un champ de directions. Chaque point p ∈ R3 est associ´e `a des coordonn´ees chrono-stratigraphiques (u, v, s) o`u :
— u et v repr´esentent les coordonn´ees pal´eo-g´eographiques, c’est-`a-dire la position de ce point lors de sa mise en place, de son d´epˆot ;
— s repr´esente la coordonn´ee stratigraphique, c’est-`a-dire la position dans l’empilement ordonn´e chronologiquement des diff´erentes strates.
Moyen et al.[2004] etJackson et al.[2013] repr´esentent ces coordonn´ees comme des champs scalaires d´efinis sur un maillage de fond. Nous pouvons ainsi d´efinir un rep`ere (~u, ~v, ~s) en chaque point p tel que ~u est le vecteur tangentiel `a la ligne issue de l’intersection entre les champs scalaires repr´esentant v et s au point p et respectivement pour les autres vecteurs.
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A la diff´erence du champ de directions par optimisation qui est orthonorm´e et contraint par les normales des surfaces de notre choix, celui-ci n’est ni ortho-gonal, ni norm´e et n’est contraint que par la normale aux surfaces d’horizons stratigraphiques. En revanche, il apporte une information g´eologique au champ de directions l`a o`u le premier est purement g´eom´etrique. Dans cette th`ese, nous n’avons utilis´e que le champ de directions par optimisation car nous avons une impl´ementation faite parRay et Sokolov[2015] qui nous permet de contrˆoler le calcul du champ.