⎩ xyz
x2+y4+z4 si (x, y, z) =(0,0,0) a si (x, y, z)=(0,0,0).
On a pour toutt∈R∗,f(t, t, t)= t3
t2+t4+t4 = t
1 + 2t2·On en déduit que lim
t→0f(t, t, t)=0.
On obtient de mêmef(t2, t, t)= t4
t4+t4+t4 =1 3 et lim
t→0f(t2, t, t)= 1
3·Aucune valeur deane peut rendre la fonction continue en (0,0,0), sinon les deux limites précédentes seraient égales àf(0,0,0).
4. Propriétés des fonctions continues
Théorème 4
Si f une application continue de Rn dans R, l’image réciproque par f d’un intervalle ouvert (respectivement fermé) deRest un ouvert (respectivement un fermé) deRn.
Preuve
SoitIun intervalle ouvert deR,A∈f−1(I). On a doncf(A)∈Iet commeIest un intervalle ouvert, il existe
´>0 tel que [f(A)−´, f(A) +´]⊂I. Par continuité defenA, il existehtel que, pour toutM∈Rn, d(A, M)h=⇒ |f(M)−f(A)|´.
SiMappartient à B(A,h) alorsf(M)∈[f(A)−´, f(A) +´]⊂Ietf(M) appartient àI. Ainsif−1(I) contient B(A,h) etf−1(I) est ouvert.
SoitI=[a,b] (ab) un intervalle fermé deR. On montre quef−1(I) est fermé, c’est-à-dire queRn\f−1(I) est ouvert. On a
Rn\f−1(I)=f−1(R\I)=f−1(]− ∞,a[∪]b,+∞[)=f−1(]− ∞,a[)∪f−1(]b,+∞[).
D’après ce qui précède,f−1(]− ∞,a[) etf−1(]b,+∞[) sont des ouverts deRn, donc leur réunion est un
ouvert etf−1(I) est fermé. ❑
Corollaire 5
Soientf une fonction continue surRn,aun réel.
Les ensembles
{(x1,. . ., xn)∈Rn|f(x1,. . ., xn)<a} et {(x1,. . ., xn)∈Rn|f(x1,. . ., xn)>a} sont des ouverts deRn.
Les ensembles
{(x1,. . ., xn)∈Rn|f(x1,. . ., xn)=a},{(x1,. . ., xn)∈Rn|f(x1,. . ., xn)a}
et {(x1,. . ., xn)∈Rn|f(x1,. . ., xn)a} sont des fermés deRn.
©Dunod–Laphotocopienonautoriséeestundélit
Propriétés des fonctions continues
Preuve
Les affirmations concernant les deux premiers ensembles résultent directement du théorème, car il s’agit des images réciproques des intervalles ouverts ]− ∞,a[ et ]a,+∞[.
L’ensemble{(x1,. . ., xn)∈Rn, f(x1,. . ., xn)=a}est fermé car c’est l’image réciproque de l’intervalle fermé [a,a].
Enfin les deux derniers ensembles sont fermés car ce sont les complémentaires des ouverts {(x1,. . ., xn)∈Rn|f(x1,. . ., xn)>a} et
{(x1,. . ., xn)∈Rn|f(x1,. . ., xn)<a}
respectivement. ❑
➤Remarque
Utiliser ce corollaire est souvent la méthode la plus simple pour démontrer qu’un sous-ensemble deRnest ouvert ou fermé.
Exemples
1. Pour tout (u1,. . ., un)∈Rn\ {(0,. . .,0)}, le demi-espace
(x1,. . ., xn)∈Rn n k=1
ukxk+c>0 2
est un ouvert de Rn,
le demi-espace
(x1,. . ., xn)∈Rn n k=1
ukxk+c0 2
est un fermé de Rn.
En effet, la fonction affine (x1,. . ., xn)−→
n k=1
ukxk+cest continue surRn.
2. SoitA ∈ Rn. La fonctionf : M −→ d(A, M) est continue surRn. On peut en déduire que, pourr>0,
B(A, r)={M∈Rn|f(M)<r} est un ouvert de Rn, Bf(A, r)={M∈Rn|f(M)r} est un fermé de Rn.
On obtient une nouvelle démonstration de résultats obtenus dans le chapitre précédent.
Théorème 5 (admis)
SoientFune partie fermée et bornée deRn,f :F−→Rune application continue. Alors, la fonctionf est bornée surF et atteint ses bornes. Il existe doncAetBdansFtels que
f(A)= inf
M∈Ff(M) et f(B)= sup
M∈F
f(M).
Exemple
Sif est une application continue deRn dansR,f est bornée et atteint ses bornes sur toute boule fermée Bf(A, r) ou sur la sphèreS={M ∈RnM=1}.
➤Remarque
Si la fonctionfest définie surRntout entier et non sur un fermé borné et est de plus minorée (resp. majorée), on peut parfois démontrer quefpossède un minimum (resp. un maximum) en montrant que la borne inférieure (resp.
supérieure) defsurRnest égale à sa borne inférieure (resp. supérieure) sur un certain ensemble fermé borné où elle est atteinte.
Exemple
Soitf :R2−→Rdéfinie par
f(x, y)=(2x2−y2)e−(x2+y2). On a, pour tout (x, y)∈R2,
|f(x, y)|2(x2+y2)e−(x2+y2)2(x, y)2e−(x,y)2.
L’étude de la fonctiont−→t2e−t2 montre que son maximum surR+est atteint en 1 et vaut 1
e·On a donc, pour tout (x, y)∈R2,
|f(x, y)| 2 e· La fonctionf est bornée. On poseM= sup
(x,y)∈R2f(x, y) etm= inf
(x,y)∈R2f(x, y).
On aM>0, carf(1,0)=2e−1>0. Comme lim
t→+∞2t2e−t2=0, il existeR>0 tel que, pour tout réeltR, 2t2e−t2 M
2 ·On a donc, pour tout (x, y)∈R2, tel que(x, y)R, f(x, y)2(x, y)2e−(x,y)2 M
2· On en déduit que
M= sup
(x,y)R
f(x, y)= sup
(x,y)∈Bf(0,R)
f(x, y).
En effet M est clairement un majorant de f sur Bf(0, R) et si f possédait sur Bf(0, R) un majorantM<M,f serait majorée surR2par max
M,M
2
<M, ce qui est contraire à la définition deM.
Puisquef est continue et que Bf(0, R) est un fermé borné,f atteint ses bornes sur Bf(0, R).
Ainsi il existe (x0, y0)∈Bf(0, R) tel queM=f(x0, y0).
On montrerait de même que m < 0 et qu’il existe R tel que (x, y) R implique f(x, y) m
2·Ainsimest la borne inférieure def sur Bf(0, R) et est donc atteinte.
Pour le casn =2, on pourra se reporter au livre de première année (chapitre 27, exercices pages 557 à 559).
1. Étudier et tracer les lignes de niveau de l’applicationf : R2 −→ Rdans les cas suivants :
1. f(x, y)=3x+ 2y; 2. f(x, y)=3|x|+ 2|y|; 3. f(x, y)=9x2+ 4y2; 4. f(x, y)=9x2−4y2.
2. Soitf :R2−→Rla fonction définie par f(x, y)=xye−x−y.
Pour tout réell, on noteGl la ligne de niveaul def, c’est-à-dire l’ensemble des éléments (x, y)∈R2tels quef(x, y)=l.
1. Soitwla fonction définie surRpar
w(x)=xe−x.
a) Étudier les variations de w. Discuter selon les valeurs de lle nombre de solutions de l’équationw(x)=l.
b) Montrer que la restrictioncdew à ]− ∞,0[ définit une bijection de ]− ∞,0[ sur lui-même. Montrer que la bijection réciproquec−1est de classeC1.
Pour tout l = 0, on note G+l (respectivement G−l) l’intersection de Gl et du demi-plan d’équationx>0 (respectivementx<0).
2. Soitl>0.
a) Montrer queG+l est non vide si, et seulement si,l 1 e2· Montrer qu’alorsG+lest une partie bornée deR2.
b) Établir queG−l peut être caractérisée par une équation de la forme y = gl(x) où gl
est une fonction de classeC1 sur ]− ∞,0[, qu’on exprimera en fonction dewetc−1. Préciser les variations deglet ses limites en−∞et 0.
3. On note (X, Y) les coordonnées de (x, y)∈R2dans la base
(1,1),(−1,1) . a) Pour tout réell, caractériserGlpar une équation de la formeF(X, Y)=l.
b) On suppose l < 0. Montrer que G−l se caractérise par une équation de la forme Y =Gl(X) oùGlest une fonction de classeC∞surRdont on précisera les variations et les branches infinies à l’aide dew. Comment obtient-onG+l?
c) On suppose 0<l 1
e2·CaractériserG+l par une équation de la formeY =±Gl(X), oùGl est une fonction définie sur une partie deR+ dont on étudiera les variations à l’aide dew.
4. Indiquer sur un graphique l’allure des diverses lignes de niveau de la fonctionf.
3. Étudier la continuité en (0,0) des fonctions suivantes.
1. f(x, y)=
⎧⎨
⎩ xy4
x4+y6 si (x, y) =(0,0)
0 sinon.
2. f(x, y)=
⎧⎨
⎩ x3+y3
x2+y2 si (x, y) =(0,0)
0 sinon.
3. f(x, y)=
⎧⎨
⎩
sin(xy)
|x|+|y| si (x, y) =(0,0)
0 sinon.
4. f(x, y)=
xyln(x2+y2) si (x, y) =(0,0)
0 sinon.
5. f(x, y)=
/ xsiny−ysinx
x2+y2 si (x, y) =(0,0)
0 sinon.
4. Étudier la continuité des fonctions suivantes.
1. f(x, y)=
yeArctanxy siy =0
0 sinon.
2. f(x, y)=
⎧⎨
⎩
ln(1 +x2y2)
y2 siy=0
x2 sinon.
3. f(x, y)= /
(x+y) sin1 xsin1
y sixy =0
0 sinon.
4. f(x, y)=
y−w(x) siyw(x)
0 sinon,
oùwest une fonction continue deRdansR.
5. 1. Soientp,q,rtrois réels strictement positifs etf la fonction définie surR3par f(x, y, z)=!|x|p|y|q|z|r
x2+y2+z2 si (x, y, z) =(0,0,0) et f(0,0,0)=0.
a) Montrer que|f(x, y, z)|(x, y, z)p+q+r−1; calculerf(x, x, x) pourx =0.
b) En déduire les valeurs dep,q,rpour lesquellesf est continue en (0,0,0).
2. Soientp,q,r,s,t,uquatre réels strictement positifs etgla fonction définie surR3par g(x, y, z)= |x|p|y|q|z|r
|x|s+|y|t+|z|u si (x, y, z) =(0,0,0) et g(0,0,0)=0.
Calculer, pourx>0,g
x1s, x1t, x1u
.
Déterminer les valeurs dep,q,r,s,t,upour lesquellesgest continue en (0,0,0).
EXERCICES
6. Soitf :R3−→Rl’application définie par
∀(x, y, z)∈R3, f(x, y, z)= max
t∈[0,1](xt2+yt+z).
Donner l’expression def(x, y, z). Montrer quef est continue surR3.
7. SoitC={(x, y)∈R2|x2+y2=1}etf une application continue deCdansR.
1. Soitg: [0,2p]−→Rdéfinie par
g(t)=f(cost,sint)−f(−cost,−sint).
Montrer quegest continue. Comparer les signes deg(0) etg(p).
2. En déduire qu’il existe (x, y)∈Ctel quef(x, y)=f(−x,−y).
8. Soientf un fonction définie et continue sur une partie convexeVdeRn. 1. Soit (x, y)∈V2. Montrer que l’applicationw:t−→f
(1−t)x+ty
est définie et continue sur [0,1].
2. En déduire quef(V) est un intervalle deR.
9. Soients∈R∗+,K =
x=(x1,. . ., xn)∈Rn+ | n
i=1
xi=s 2
etf :K−→Rdéfinie parf(x)=
8n i=1
xi.
1. Montrer queKest fermé et borné. En déduire quef(K) possède un maximum.
2. Déterminer ce maximum en utilisant l’inégalité√
xy x+y
2 , valable pourxetypositifs et en raisonnant par récurrence surn. En quel point ce maximum est-il atteint ?
3. En déduire que, pour (x1,. . ., xn)∈Rn+, on a n
8
i=1
xi
1n
1
n n
i=1
xi.
10. Soitw: [0,1]−→Rcontinue,n∈N.
On pose, pour touta=(a0, a1,. . ., an)∈Rn+1, f(a)= sup
t∈[0,1]
w(t)−
n k=0
aktk . 1. Justifier l’existence def(a).
2. SoientaetbdansRn+1. Montrer que, pour toutt∈[0,1], on a
Montrer quef est continue.
3. On définit la fonctiong:Rn+1−→Rpar
On remarquera que la fonctiong est continue surRn+1 car c’est un cas particulier de la fonctionf correspondant àw=0.
a) Montrer queg(a)>0 pour touta=0. On posem= inf
a=1g(a). Justifier l’existence de cette borne inférieure. Montrer qu’elle est atteinte. En déduire quem>0.
Montrer que, pour touta∈Rn+1, on ag(a)ma.
b) En déduire que, pour touta∈Rn+1,
f(a)g(a)−Kma −K, oùK= sup
t∈[0,1]
|w(t)|. Montrer que lim
a→+∞f(a)=+∞.
4. Déduire de ce qui précède quef possède un minimum.
Si le minimum de f est atteint en a, le polynôme n k=0
akXk est appelé un polynôme de meilleure approximation dew.
11. Théorème de d’Alembert Soit P un polynôme non constant de C[X]. On veut démontrer queP possède au moins une racine surC.
1. On notem= inf
z∈C|P(z)|.
a) Justifier l’existence dem.
b) Soitple degré deP,apson coefficient dominant. Montrer qu’il exister >0 tel que, pour toutz∈C
|z|r=⇒ |P(z)|1 2|ap||z|p.
EXERCICES
En déduire qu’il exister>0 tel que pour toutz∈C
|z|r=⇒ |P(z)|m+ 1.
c) Soitf la fonction
R2 −→ R (x, y) −→ |P(x+iy)|.
Montrer quef est continue surR2. Montrer quef atteint sa borne inférieure. En déduire qu’il existez0∈Ctel que|P(z0)|=m.
2. On suppose queP(z0) =0. On considère le polynôme Qdéfini parQ(z) = P(z0+z) P(z0) pour toutz∈C. On poseQ(z)=
p i=0
bizi. a) Montrer queb0=1 etbp =0.
On notekle plus petit indicei1 tel quebi =0 etvun nombre complexe tel que vk=−1
bk·
b) Montrer que, pour tout réelx∈]0,1[, on a Q(vx)=1−xk+
n i=k+1
bivixi, puis|Q(vx)|1−xk+ n i=k+1
|bivi|xi. En déduire que|Q(vx)|<1 pourxassez petit.
c) Déduire de ce qui précède queP(z0)=0. Conclure.
12. 1. Soitx0∈Rn. Démontrer que l’application définie surRnpar f(x)=d(x0, x)
est continue.
2. SoitVune partie non vide deRn. Pour toutx∈Rn, on pose d(x,V)= inf
u∈Vd(x, u).
Montrer que, pour tous pointsxetx deRn, on a
|d(x,V)−d(x,V)|d(x, x).
En déduire l’applicationx−→d(x,V) est continue surRn.
3. a) Montrer que si V est un fermé borné, alors, pour tout x ∈ Rn, il existey∈Vtel que d(x,V)=d(x, y).
b) On suppose seulement queVest fermé. Soitx∈Rneta=d(x,V). En écrivant que, pour toutu∈V, d(x, u)u − x, montrer que
a= inf
u∈B∩Vd(x, u),
oùBest la boule fermée de centre 0 et de rayona+ 1 +x.
En déduire qu’il existey∈Vtel que
d(x,V)=d(x, y).
4. Soit Vun fermé etV un fermé borné de Rn. On suppose queVetV sont disjoints.
Montrer que inf
(x,y)∈V×Vd(x, y)>0.
13. Soit C une partie convexe, fermée, non vide deRn. Pour x élément deRn, on définit la distance dexàC, notée d(x, C), par
d(x, C)= inf
u∈Cd(x, u).
1. Soitx∈C. Montrer qu’il existey∈Ctel que d(x, C)=d(x, y) (se reporter à la question 3 de l’exercice 12).
2. Montrer qu’un telyest unique. S’il en existe un autrey, on montrera que x−y2+x−y2=2
----x−1
2(y+y) ----2+1
2y−y2.
On posey=projC(x) et on appelle projection surCl’application qui àxassociey.
3. SoitCun sous-espace vectoriel deRn.
a) Montrer queCest un convexe, fermé , non vide deRn.
b) Montrer que projCcoïncide avec la projection orthogonale surC.
4. Soitxun élément deRn. On posey=projC(x).
a) Soituun élément deC. En remarquant que, pour toutt∈[0,1]
y−x(1−t)y+tu−x, montrer que
y−x, u−y0.
b) Montrer réciproquement que siyest un élément deCtel que, pour toutu∈C, y−x, u−y0,
alorsy=projC(x).