Rappelons quelques résultats autour de la similitude
3.4 Matrices diagonalisables
sont racines deX4+ 4. La matriceBn’a donc pas de valeur propre réelle.
SurC, on a
Sp(B)⊂√ 2eip4,√
2e3ip4 ,√ 2e5ip4,√
2e7ip4
.
Comme on sait queBpossède au plus deux valeurs propres, on vérifie sur cet exemple que toutes les racines d’un polynôme annulateur de B ne sont pas nécessairement des valeurs propres deB.
3.4 Matrices diagonalisables
Définition 18
Une matriceA ∈ Mn(K) est ditediagonalisable s’il existe une matriceP ∈ GLn(K) telle queP−1APsoit une matrice diagonale.
➤Remarques
• Autrement dit une matrice est diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale.
• Une matrice deMn(R) peut être diagonalisable si elle est considérée comme une matrice deMn(C) sans l’être en tant que matrice deMn(R). En cas d’ambiguïté, on parlera de matrice diagonalisable surRou surC.
Proposition 18
Soitu∈ L(E),B1une base deEetA=MB1(u).
1. SoitB2une base de vecteurs propres deuassociés aux valeurs propresl1,. . .,ln. En notantPla matrice de passage deB1àB2, on aP−1AP=Diag(l1,. . .,ln).
2. SoitP une matrice deGLn(K) telle queP−1AP =Diag(l1,. . .,ln). On noteB2la base deEtelle quePsoit la matrice de passage deB1àB2. Cette baseB2est une base de vecteurs propres deuassociés aux valeurs propresl1,. . .,ln.
En particulieruest diagonalisable si, et seulement si,Aest diagonalisable.
Preuve
1. SoitB2une telle base. On sait queMB2(u) =Diag(l1,. . .,ln). Mais on sait aussi que si l’on notePla matrice de passage deB1àB2, on aMB2(u)=P−1AP. D’où le résultat.
2. SoitPune telle matrice etB2la base deEtelle quePsoit la matrice de passage deB1àB2. On sait alors que MB2(u)=P−1AP. On a doncMB2(u)=Diag(l1,. . .,ln), autrement ditB2est une base deEformée de vecteurs propres deuassociés aux valeurs propresl1,. . .,ln. ❑ Théorème 1
SoitAune matrice deMn(K), les propositions suivantes sont équivalentes : (i) Aest diagonalisable ;
(ii) Mn,1(K) est somme directe des sous-espaces propres deA;
(iii) La somme des dimensions des sous-espaces propres deAest égale àn.
Preuve
C’est une conséquence de la proposition 13. ❑
Exemples
1. La matriceA=
⎛
⎝ 3 1 1
1 3 1
1 1 3
⎞
⎠admet deux valeurs propres 2 et 5.
Comme dim(E2⊕E5) =3 = dim(M3,1(R)), on aM3,1(R) = E2⊕E5 et donc Aest diagonalisable.
2. La matrice
B=
1 −1
1 1
n’admet pas de valeur propre réelle, doncB n’est pas diagonalisable surR. Déterminons les valeurs propres deBsurC.
La matrice
1−l −1
1 1−l
est non inversible si, et seulement si, (1−l)2+ 1 =0, soit encore (1−l−i)(1−l+i)=0. Donc Sp(B)={1−i,1 +i}. CommeBpossède 2 valeurs propres,Best bien diagonalisable surC.
1. Déterminer les éléments propres de la matrice
A=
⎛
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎝
1 1 . . . . . . . . . 1 1
1 0 . . . . . . . . . 0 1
... ... ... ... ... ... (0) ... ... ... ... ... ...
1 0 . . . . . . . . . 0 1
1 1 . . . . . . . . . 1 1
⎞
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎠
∈ Mn(R)
2. Soitn∈N∗eta∈R, déterminer les éléments propres de la matrice
A=
⎛
⎜⎜
⎜⎝
a 1 . . . 1
1 . .. ... ...
... . .. ... 1
1 . . . 1 a
⎞
⎟⎟
⎟⎠∈ Mn(R)
3. (Oral ESCP) SoitEl’espace vectoriel des fonctions continues surR, à valeurs réelles.
Soita>0 un réel donné. A toutf ∈Eon associe la fonction Ta(f) définie pour toutxréel par :
Ta(f)(x)= 1 2a
x+a x−a
f(t)dt
1. Montrer que pour toutf ∈E,Ta(f) est bien définie et est de classeC1surR.
2. Montrer queTa(f) est constante si, et seulement si,f est périodique de périodeT=2a.
3. Montrer que l’applicationTaest un endomorphisme deE. Déterminer son noyau.Taest-il surjectif ?
4. Soitn2 un entier naturel etRn[X] l’espace vectoriel des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal àn. Montrer que la restriction deTaàRn[X] est un endomorphisme de Rn[X].
On notera encoreTa cette restriction.
5. a) Montrer que la matrice associée àTa dans la base canonique deRn[X] est triangulaire supérieure. En déduire les valeurs propres deTa. Cet endomorphisme est-il diagonali-sable ?
b) Soitf ∈Rn[X]. Montrer que si le degré def est égal à 2,f n’est pas vecteur propre de Ta.
c) Montrer que sif est vecteur propre deTa, sa dérivéefl’est également. En déduire les sous-espaces propres deTa.
4. SoitEun espace vectoriel surKde dimension finie.
1. Soientu1, u2deux endomorphismes deE.
Montrer que dim(Ker(u1◦u2))dim(Ker(u1)) + dim(Ker(u2)).
2. Généraliser le résultat précédent en prouvant que quels que soient les endomorphismesu1, u2, . . . ,undeE, on a
dim
Ker(u1◦u2◦ · · · ◦un)
n k=1
dim(Ker(uk)).
3. On suppose dans cette question queK=Cet on considèreu∈ L(E) tel queu3=IdE. Montrer queuest diagonalisable.
4. Plus généralement, soitu ∈ L(E) tel qu’il existe un polynôme annulateur deu à racines simples.
Montrer queuest diagonalisable.
5. Réciproquement, soituun endomorphisme deEdiagonalisable. Montrer queuadmet un polynôme annulateur à racines simples.
5. Soitf l’endomorphisme deR3dont la matrice dans la base canonique est
A=
⎛
⎜⎝
1 −12 2
1 1 1
4 8 3
⎞
⎟⎠.
1. Déterminer les valeurs propres def.
2. Montrer que Ker(f −3 Id)2et Ker(f + Id) sont supplémentaires.
3. Déterminer une baseBdeR3dans laquelle la matrice def est B=
−1 0 0
0 3 1
0 0 3
. 4. DéterminerBnpourn∈N.
5. En déduire la valeur deAn.
6. (Oral ESCP) On considère la matriceA =
a b c d
∈ M2(Z). On suppose qu’il existe un entiern2 tel queAn=I2, oùI2 désigne la matrice identité deM2(R). Le but de cet exercice est de montrer queA12=I2.
On notesl’ensemble des valeurs propres (réelles ou complexes) deA.
1. Montrer quel∈ssi et seulement sil2−(a+d)l+ (ad−bc)=0.
En déduire quesn’est pas vide.
On admettra que la matriceAvérifie la relation :A2−(a+d)A+ (ad−bc)I2=0 () . 2. Montrer quesvérifie l’une, et l’une seulement, des deux propositions suivantes :
a) s⊂ {−1,1}
b) il existe un entierptel que 1p<n/2 ets={e−2ipp/n, e2ipp/n}.
Que peut-on dire, dans ce cas, du nombre 2 cos(2pp/n) ?
3. On suppose que card(s)=2. En étudiant les différents cas, montrer queA12=I2. 4. On suppose ques={1}et queA=I2.
EXERCICES
a) En utilisant la relation (), montrer que Ker(A−I2)=(A−I2) b) En déduire queAest semblable à :
T=
1 1
0 1
c) CalculerTk, pourk1. En déduire une contradiction.
5. Montrer que sis={−1}etA=−I2, on arrive également à une contradiction.
Conclure.
7. (Intersection d’hyperplans) SoitEun espace vectoriel surKde dimensionn.
Soientw1,w2, . . . , wp des formes linéaires sur E telles que la famille (w1,. . .,wp) soit une famille libre deL(E,K) (en particulierpn).
1. On définit l’applicationf par : f :
E → Kp
x →
w1(x),. . .,wp(x) Montrer que rg(f)=p.
2. Montrer que Ker(f)= p k=1
Ker(wk).
3. En déduire que
dim p
k=1
Ker(wk)
=n−p.
8. (Réduction d’un endomorphisme nilpotent) Soit u un endomorphisme d’un C-espace vectorielEtel queuk=0 etuk−1 =0 (oùk∈N∗).
Soitx0∈Etel queuk−1(x0)=0.
1. Prouver que (x0, u(x0),. . ., uk−1(x0)) est une famille libre.
On note pour la suiteF=Vect(x0,. . ., uk−1(x0)).
2. Montrer queFest stable paru.
3. Montrer qu’il existe une forme linéairewsurEtelle quew(uk−1(x0)) =0.
4. Montrer que la famille (w,w◦u,. . .,w◦uk−1) est une famille libre deE∗=L(E,C).
5. On note
G=
k−1 i=0
Ker(w◦ui).
Montrer queGest stable paru.
6. Montrer queFetGsont supplémentaires.
(On utilisera le résultat de l’exercice précédent)
7. En déduire par récurrence sur la dimension deEqu’il existe une base deEdans laquelle la matrice deuest de la forme
⎛
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎝
0 ´1 (0)
0 ´2
. .. ...
(0) . .. ´n
0
⎞
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎠
où pouri∈Ú1, nÛ,´i∈ {0,1}.
9. (Oral ESCP) On noteM3(R) l’espace vectoriel réel des matrices carrées d’ordre 3 à coefficients réels. On considère la matriceAdéfinie par :
A=
0 −1 −1
1 0 −1
1 1 0
1. Déterminer la matriceB=A2+ 2I. On admettra queBest diagonalisable.
2. Montrer queB2=B+ 2I.
3. Déterminer les valeurs propres deB. En déduire les sous-espaces propres associés.
4. Vérifier que sil est une valeur propre deA, alorsl2+ 2 est une valeur propre deB. En déduire queAn’est pas diagonalisable dansM3(R).
5. Montrer queBest inversible et exprimerB−1en fonction des matricesBetI.
6. On s’intéresse maintenant aux puissances deB.
a) On pose, pour toutn2, Xn=(X2−X−2)Qn(X) +Rn(X) oùQnetRnsont deux polynômes tels que deg(Rn)<2.
On noteRn(X)=anX+bn. Déterminer le couple (an, bn).
b) En déduire l’expression deBnen fonction deI,Betn, pourn0.
c) Montrer que l’expression deBnen fonction deI, deBet den, qui a été obtenue pour n0, est encore valable pour les entiers négatifs.
10. 1. Soitn2 un entier naturel etAune matrice carrée d’ordrensurCtelle que, pour touti∈Ú1,. . ., nÛ
|ai,i|>
j=i
|ai,j|.
Montrer que la matriceA est inversible (on pourra raisonner par l’absurde et considérer une colonneXnon nulle telle queAX=0).
2. SoitAune matrice carrée d’ordrenquelconque. Soitlune valeur propre deA. Montrer que :
l∈ n i=1
D(ai,i,
j=i
|ai,j|), où poura∈C, R>0,D(a, R)={z∈C/|z−a|R}.
EXERCICES
3. Soitn2 etAla matrice :
A=
⎛
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎝
0 1 0 . . . 0
1 0 1 . .. ...
0 . .. ... ... 0 ... . .. 1 0 1
0 . . . 0 1 0
⎞
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎠ .
a) Montrer que silest une valeur propre réelle deA, alors|l|2.
On pose alorsl=2 cos(u),u∈[0,p].
b) Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres deA.
11. ( Carrés magiques ) Soit E l’ensemble des matrices carrées réelles d’ordre n, (n 2) formé des matrices A=(ai,j) telles qu’il existe un réel unique notém(A) vérifiant la propriété suivante
∀(i, j)∈ {1,. . ., n}2, n
k=1
ai,k= n k=1
ak,j=m(A).
On considère en outre la matriceJ=(jp,q) deEdéfinie par : pour tout (p, q)∈Ú1, nÛ2, jp,q=1.
1. Montrer queEest un sous-espace vectoriel deMn(R).
CalculerA.JetJ.ApourA∈E.
En déduire que E est stable par la multiplication des matrices et que l’application m:A→m(A) est une application linéaire deEsurR.
2. SoitGla droite vectorielle engendrée parJet soitH =Kermle noyau dem.
Montrer queE=G⊕H (on pourra considérer la matriceA−
m(A) n
J, pourA∈E).
3. Pour tout couple (k, l)∈ {2,. . ., n}2, on considère la matriceHk,l dont tous les éléments sont nuls exceptés :
hk,l1,1=hk,lk,l =1, ethk,l1,l=hk,lk,1=−1.
Montrer que pour tout couple (k, l)∈ {2,. . ., n}2, Hk,lest élément deHet que l’ensemble des matrices (Hk,l) forme une base deH(siA=(ai,j)∈H, on pourra considérer la matrice A= 2k,lnak,lHk,l).
En déduire la dimension deE.