Nous venons de voir qu’afin d’affiner notre mod´elisation, il est indispen-sable de faire d´ependreπ de la contrainte de l’essai. Le mod`ele s’´ecrit alors :
fN =π(S)fNp + (1−π(S))fNi+Np. (4.11) Toutefois, il reste de multiples possibilit´es pour la construction d’unπ va-riable. Nous nous concentrerons ici sur celles qui semblent les plus int´eressantes dans notre cas, `a savoir unπ(S) affine par morceau et unπ(S) logistique.
La d´efinition de π(S) sera donn´ee dans chaque sous-section.
4.2.1 Proportion affine par morceaux
L’id´ee est ici qu’il existe une contrainte en de¸c`a de laquelle le mode pu-rement propagatoire n’existe plus, puisque l’´energie fournie n’est plus suf-fisante pour amorcer la fissure d`es le premier chargement de l’´eprouvette.
Nous reprenons donc le mod`ele (4.11) en introduisant unπ(S) constant par morceau :
4.2. PROPORTION VARIABLE 63
π(S) =
( 0 si S < s0;
ζ sinon . o`u ζ ∈[0,1].
Il nous faut maintenant estimer s0 et ζ.
Algorithme EM 2
Remarque : Nous nous contenterons ici d’indiquer les changements dans l’algorithme EM1. La m´ethode utilis´ee pour le produit de convolution ainsi que pour les donn´ees censur´ees reste valable ici.
1. Tape E :
– La phase de maximisation pour les param`etres de propagation et d’amor¸cage est identique `a la pr´ec´edente.
Ce qui donne pour ζ, le param`etre deπ : maxζ
P
k=1···N
1sk>s0( ˆtklog(π(sk;ζ)) + (1−tˆk) log(1−π(sk;ζ))) Il s’agit de la mˆeme maximisation que pr´ec´edemment `a la diff´erence que seules les donn´ees o`usk> s0 sont utilis´ees.
Recherche du meilleur seuil
Le mod`ele a ici ´et´e donn´e pour tout seuil s0. Toutefois, celui-ci ´etant inconnu, il convient d’en donner une estimation. Pour ce faire, nous allons construire une grille sur l’ensemble des contraintes, puis celles-ci seront prises une `a une et test´ees. Nous garderons le seuil donnant le maximum de vrai-semblance le plus ´elev´e.
Nous cherchons donc le seuil ˆs0 tel que : ˆ avec fN d´efinie par l’´equation (4.11).
L’algorithme utilis´e dans le cadre de cette recherche du meilleur seuil sera le suivant :
1. D´ecoupage en grille deK seuils (K < N), qui correspondent au niveaux de d´eformations appliqu´es `a l’´eprouvette.
Remarque : le fait que le nombre de seuils `a tester soit inf´erieur `a N tient au fait que deux ´eprouvettes peuvent ˆetre test´ees aux mˆemes niveaux de d´eformation.
2. Pour chaque seuil, calcul de la vraisemblance du mod`ele : on obtient donc K vraisemblances associ´es aux diff´erents seuils.
3. On retient le mod`ele avec la meilleure vraisemblance puisque tous les seuils poss`edent la mˆeme mod´elisation et le mˆeme nombre de pa-ram`etres.
Le principal d´efaut de cette m´ethode est sa lenteur puisqu’elle n´ecessite de recalculer tous les estimateurs pour chaque seuil.
R´esultats sur simulation
Figure 4.2 – Evolution de la logvraisemblance en fonction du seuil choisi.
La Figure 4.2 repr´esente l’´evolution de la vraisemblance pour diff´erents seuils.
4.2. PROPORTION VARIABLE 65
Tout d’abord on constate une augmentation de la vraisemblance jusqu’`a atteindre un maximum, puis une chute brutale de la vraisemblance. Cette chute brusque correspond `a l’apparition de points en≪propagation pure≫et donc l’apparition du ph´enom`ene de bi-modalit´e dans nos donn´ees. Ainsi le seuil fix´e lors de la simulation est bien retrouv´e par cette m´ethode.
La Figure 4.3 donne le quantile `a 0,1% obtenu sur ces mˆeme donn´ees grˆace `a notre mod`ele.
Figure 4.3 – Quantile `a 0,1% obtenu sur donn´ees simul´ees.
Ce mod`ele a toutefois un gros d´esavantage. Le seuil est plac´e au niveau du dernier point class´e en ≪propagation pure≫. C’est-`a-dire que, quel que soit le seuil r´eel, son estimateur sera plac´e au niveau de la valeur la plus basse obtenue dans les donn´ees. Or nous sommes dans un contexte de fiabilit´e et il apparait qu’avoir un tel seuil fix´e sur la valeur la plus basse ne permet pas d’obtenir un quantile `a 0,1% consistant puisque l’estimation de ce seuil variera avec chaque jeu de donn´ees et le quantile `a 0,1% du mod`ele changera donc fortement `a chaque fois.
Ce mod`ele ne peut donc pas ˆetre retenu par la suite puisqu’il n’offre pas de garanties suffisantes quand au seuil `a partir duquel π(S) = 0.
4.2.2 Proportion logistique
Ici, contrairement au π constant par morceau, l’hypoth`ese sera que plus la contrainte est faible plus le nombre d’´eprouvettes amor¸cant au premier cycle est r´eduit. La nocivit´e des d´efauts est ici consid´er´ee comme diff´erente pour chaque d´efaut et certains pourront propager sans amor¸cage initial `a des contraintes plus faibles que d’autres.
Nous ´ecrivons la d´ependance de π en S grˆace `a un mod`ele logistique : π(S) = 1+eeα+βSα+βS.
Remarque : Le mod`ele avec un π logistique reste identifiable (voir annexe A).
Algorithme EM 3
Remarque : Nous nous contenterons ici d’indiquer les changements dans l’algorithme. La m´ethode utilis´ee pour le produit de convolution ainsi que pour les donn´ees censur´ees reste valable ici.
1. Etape E :
tˆk(r) = π(sPk;α,β)fNp(nk;sk,θp)
l=(1,2)
π(sk;α,β)Φl(nk;sk;θ).
2. La phase de maximisation pour les param`etres de propagation et d’amor¸cage est identique aux pr´ec´edentes.
Pour la maximisation deα, β les param`etres de la logistique : maxα,β
P
i=1···N
tˆklog(π(sk;α, β)) + (1−tˆk) log(1−π(sk;α, β)).
Ce qui, apr`es simplification, donne : maxα,β
P
i=1···N
tˆk(α+βsk) + log(1 +eα+βsk).
R´esultats sur donn´ees r´eelles
La Figure 4.4 repr´esente le≪quantile plot≫des donn´ees. Les lignes conti-nues repr´esentent les pr´edictions de notre mod`ele pour chaque niveau de d´eformation. Ce graphique permet donc de v´erifier visuellement l’ad´equation des donn´ees `a notre mod`ele.
Plusieurs constats peuvent ˆetre faits :