3.4 Traitement math´ematique de la somme
3.4.5 Approximation des queues de distribution
Un des autres points importants `a ´etudier est le comportement de cette somme dans les queues de la distribution.
La loi lognormale est une loi de distribution `a queue lourde, plus exacte-ment elle est sous-exponentielle. Ce nom provient de la propri´et´e de d´ecroissance des queues plus lentes que celle d’une exponentielle. Cela im-plique que de grandes valeurs peuvent apparaˆıtre dans un ´echantillon avec une probabilit´e non n´egligeable.
D´efinition : Distribution sous-exponentielle
Soient (Xi)i∈Ndes variables i.i.d. positives avec une fonction de r´epartition F, telle queF(x)<1,∀x >0.
Notons,
F¯(x) = 1−F(X), x > 0, la queue de F et
F¯n∗ = 1−Fn∗ =P(X1 +· · ·+Xn > x), la queue du n-produit de convolution deF.
F est une fonction de r´epartition sous exponentielle si une des deux condi-tions ´equivalentes suivante est v´erifi´ee :
3.5. CONCLUSION 53
Remarque : La d´efinition (1.) vient de Chistyakov [15]. Tandis que l’´equivalence entre les deux conditions a ´et´e d´emontr´ee par Embrechts et Goldie [19].
Cette d´efinition nous permet d’avoir une interpr´etation simple du com-portement des queues d’une loi sous-exponentielle. Si nous prenons la somme de n distributions sous-exponentielle i.i.d., cette somme d´epasse une valeur extrˆeme si et seulement si un des termes de la somme le d´epasse.
Equivalence des queues d’une somme de deux lognormales Pour la suite, pour simplifier, nous consid`ererons que σ2 > σ1. Ainsi nous pouvons ´ecrire une approximation des queues de distribution pour une somme de deux lognormales :
Ce chapitre, afin d’am´eliorer une mod´elisation purement statistique par mod`ele de m´elange, tente d’expliquer la survenue de la bi-modalit´e dans nos donn´ees. Ainsi, elle peut s’expliquer par un ph´enom`ene d’amor¸cage rapide ou non en fonction du type de d´efauts pr´esents dans l’´eprouvette. Ceci donne lieu `a deux comportements : les ´eprouvettes qui rompent en ≪propagation pure≫, et celles `a dur´ee de vie plus ´elev´ee qui voient d’abord une phase d’amor¸cage longue, suivie d’une propagation similaire aux autres ´eprouvettes.
Nous voyons ici apparaˆıtre l’importance de s´eparer la dur´ee de vie totale de nos ´eprouvettes en deux, la partie propagatoire et la partie amor¸cage. La deuxi`eme partie de ce chapitre est donc consacr´ee aux diff´erentes m´ethodes statistiques qui permettent de traiter ce type de somme de distribution, afin de pouvoir les int´eger dans le mod`ele complet qui sera propos´e au chapitre sui-vant. Notre mod`ele utilise diff´erents param`etres dont l’information amor¸cage lent ou rapide. Or cette derni`ere n’est pas renseign´ee dans la base Snecma.
Nous allons donc, au cours du chapitre suivant, mettre en place l’estimation des diff´erents param`etres.
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Chapitre 4
Un mod` ele de m´ elange Amor¸cage-Propagation
Ce chapitre pr´esente un nouveau mod`ele de courbe S −N qui a pour principal objectif de prendre en compte la bi-modalit´e des donn´ees observ´ees et montr´ees au chapitre pr´ec´edent. Il a aussi l’avantage d’ˆetre utilisable sans donn´ees fractographiques, ce qui le rend particuli`erement int´eressant pour des bases de donn´ees industrielles telles que celles utilis´ees `a la Snecma. L’analyse fractographique n’´etant pas syst´ematiquement effectu´ee compte tenu de son coˆut. Il a fait l’objet d’un article soumis `al’International Journal of Fatigue.
Nous proposons un mod`ele bas´e sur la m´ecanique de la rupture. Il exploite le fait que la fatigue peut ˆetre vue comme la somme d’une p´eriode d’amor¸cage et d’une p´eriode de propagation. La phase d’amor¸cage,Ni, est d´efinie comme le nombre n´ecessaire de cycles afin de former une petite fissure visible (de la taille du grain du mat´eriau). La dur´ee de vie en propagation, Np, est le nombre de cycles requis pour ´etendre cette fissure jusqu’`a la taille critique de rupture de l’´eprouvette. Un test de fatigue peut donc s’´ecrireN =Np lorsque la fissure apparaˆıt d`es le premier chargement en contrainte de l’´eprouvette, ou sinonN =Np+Ni. Ce comportement nous am`ene au mod`ele de m´elange suivant :
fN =πfNp+ (1−π)fNi+Np, (4.1) π ´etant la probabilit´e que la fissure se forme au premier chargement de l’´eprouvette. Toutefois dans notre situation, l’information n’est pas pr´esente, nous sommes donc en pr´esence d’un probl`eme de donn´ees manquantes.
4.1 Proportion constante
Nous supposons ici que π(S) est une constante (et ne d´epend donc pas deS). Comme vu pr´ec´edemment la fatigue peut s’´ecrire :
N =
( Np si Z = 1;
Ni +Np si Z = 0,
o`u Z est le label pour un amor¸cage au premier chargement (Z = 1 si la fissure d´emarre au premier cycle, 0 sinon). Nous supposons des distributions lognormales pour Ni et Np, ce qui semble raisonnable au vu de nos donn´ees (cf.§2.6).
s ´etant le niveau de d´eformation du test. La dur´ee de vie N, peut donc s’´ecrire comme un m´elange entre un mode de propagation pure Np, et un mode compos´e d’amor¸cage et propagation Ni+Np :
fN =πfNp + (1−π)fNi+Np. (4.4) Le terme Ni + Np repr´esente le ≪ comportement normal≫ en fatigue, tandis que le terme Np correspond `a un comportement moins fr´equent de
≪propagation pure≫. La probabilit´e π repr´esente la probabilit´e d’ˆetre dans le mode de propagation pure et sera consid´er´ee comme constante dans cette premi`ere partie.
Remarque : L’identifiabilit´e du mod`ele est d´emontr´ee dans l’annexe A.
Cette propri´et´e est importante puisqu’elle assure qu’`a une distribution de notre mod`ele, correspond un seul jeu de param`etres.