Propagation de l’onde THz dans un objet

L’utilisation des méthodes d’inversion classiques nécessitent un modèle linéaire d’interac- tion. Obtenir un modèle linéaire d’interaction nécessite de disposer d’un modèle linéaire de propagation de l’onde dont la direction n’est pas modifiée par les objets se trouvant sur le trajet de l’onde. Dans le cas des rayons-X, l’absorption étant l’interaction principale entre l’onde et la matière, l’onde n’est pas déviée permettant ainsi une modélisation linéaire de cette interaction. Dans le cas des ondes THz, des phénomènes de réfraction et de réflexion peuvent être pré- dominants. Ces phénomènes n’étant plus négligeables, la direction de propagation de l’onde THz dépend du matériau traversé. Dans la section 3.5.4, nous montrons que cette dépendance rend le modèle d’interaction non linéaire. Nous proposons de voir comment cette propagation est modélisée dans la littérature correspondante. Étant donné que le modèle d’interaction peut

X

Z

FIGURE2.11 – Modèle Gaussien du faisceau (Eq. (2.16)): Carte simulée de la distribution d’intensité dans

le plan XZ de l’onde THz mesurée à106GHz présentée dans la Fig. 2.10.

être calculé de nombreuses fois au sein des méthodes d’inversion itératives, on ne retient en tomographie généralement que des méthodes de faible complexité algorithmique.

Considérons un objet (représenté en rouge dans la Fig. 2.15) traversé par une onde THzF. Lorsque les phénomènes de réfraction et de réflexion sont négligés (comme en rayons-X), le rapport entre l’intensité mesurée et l’intensité incidente est directement relié aux coefficients d’absorption de l’objet. La perturbation subie par l’onde THz correspond à une atténuationAF

le long de l’onde F (i.e. l’ensemble des points (x, z)tel que(x, z) ∈ F) suivant une loi de Beer- Lambert : AF= I I₀= exp µ − Z Z x,z∈F α(x, z)dxdz ¶ , (2.17)

où I et I₀ représentent respectivement l’intensité mesurée et initiale de l’onde THz et

α(x, z)est le coefficient d’absorption au point(x, z). Lorsque l’on considère un système d’ima-

gerie dans une configuration par transmission, l’intensité incidente de l’onde THz peut être obtenue par une mesure à vide.

Contrairement à l’Eq. (2.1), l’Eq. (2.17) ne modélise pas de façon linéaire l’atténuation subie par l’onde THz. Pour que les techniques de reconstruction s’appuyant sur un modèle d’inter- action linéaire puissent être utilisées, une linéarisation de l’Eq. (2.17) est nécessaire. On obtient ainsi la mesure de projection associée au à l’onde F :

PF= log(AF) = −

Z Z

x,z∈F

α(x, z)dxdz. (2.18)

Si on identifie les Eq. (2.1) et (2.18),J correspond à l’image continue des coefficients d’ab- sorption de l’objet etPcorrespond au logarithme de l’atténuation mesurée [70].

Dans le cas des rayons-X, la modélisation par une loi de Beer-Lambert de l’interaction entre l’onde et l’objet est suffisante car les phénomènes de réfraction et de réflexion sont limités et leur impact est est négligeable. Dans le cas des ondes THz, l’interaction onde-matière ne peut pas être modélisée seulement par une loi de Beer-Lambert car la refraction dévie l’onde incidente tandis que la réflexion provoque une atténuation partielle ou totale dépendant de la direction de l’onde incidente.

-0.025 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 Intensité normalisée 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Faisceau acquis Modèle du faisceau Gaussien

Distance par rapport à l'axe optique (m)

FIGURE 2.12 – Profil d’intensité normalisée selon

l’axe x enz = 0de l’onde THz mesurée (en bleu) et

de l’onde THz simulée en utilisant l’Eq. (2.16) (en rouge). -0.025 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 Intensité normalisée 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Faisceau acquis Modèle du faisceau Gaussien

Distance par rapport à l'axe optique (m)

FIGURE 2.13 – Profil d’intensité normalisée selon

l’axe x à l’extrémité de la zone de Rayleigh de l’onde THz mesurée (en bleu) et de l’onde THz simulée en utilisant l’Eq. (2.16) (en rouge).

-0.025 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 Intensité normalisée 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Faisceau acquis Modèle du faisceau Gaussien

Distance par rapport à l'axe optique (m)

FIGURE 2.14 – Profil d’intensité normalisée selon

l’axe x dans la zone de divergence de l’onde THz mesurée (en bleu) et de l’onde THz simulée en utili- sant l’Eq. (2.16) (en rouge).

Dans la littérature, on retrouve deux familles de méthodes pour modéliser l’interaction des onde THz avec la matière: les méthodes par résolution d’équations et les méthodes par lancer de rayons.

Z X

F

La première famille correspond à des méthodes de modélisation de l’onde THz décrivant de la façon la plus proche possible la réalité des interactions onde-matière d’une onde THz. On peut notamment citer les méthodes à éléments finis [71] et celles des moments [72]. Le principe consiste à résoudre numériquement des équations aux dérivées partielles linéaires. L’utilisation de ces méthodes permet de représenter la distribution d’intensité d’une onde THz se propageant au travers d’un objet. Une simulation des mesures peut être obtenue en calcu- lant la perturbation de l’onde, mesurée au niveau du détecteur. Cependant, ces méthodes sont coûteuses en temps de calcul. Leur utilisation au sein d’une reconstruction tomographique est potentiellement limitée, notamment dans un contexte CND, de par la contrainte de temps im- posée.

La seconde famille regroupe des méthodes basées sur une formulation approchée de la propagation de l’onde THz. Ces méthodes de faible complexité algorithmique proposent d’ap- proximer la propagation d’une onde THz en un seul (Tepe et al. [73]) ou plusieurs (Mukherjee et al. [74]) rayon(s). Les méthodes par lancer de rayons sont des méthodes d’optique géomé- trique qui permettent potentiellement de modéliser, en plus de la propagation, la distribution d’intensité au sein de l’onde THz.

Un des objectifs de ce travail de thèse est de définir un modèle d’interaction onde-matière réalisant un compromis entre la finesse de la modélisation et la complexité algorithmique du modèle. Les méthodes par lancer de rayons semblent être un bon compromis. Il existe diffé- rentes approches pour lancer ces rayons, que l’on retrouve notamment dans l’état de l’art sur la reconstruction tomographique THz (voir Section 2.10). Dans la suite du chapitre, nous nom- mons faisceau THz, toute onde THz simulée à partir d’une méthode par lancer de rayons.