La construction de la matrice de B´ezout et de la matrice de B´ezout tordue telle qu’on l’a d´ecrite, donne des espaces vectoriels munis de formes bilin´eaires aux propri´et´es remarquables.
Les arguments d´evelopp´es laissent penser qu’il est pour l’essentiel possible de reproduire ces constructions sur un anneau. Dans [5, §3.6], on donne quelques exemples explicites de matrices de B´ezout tordues construites sur Z. Pr´ecis´ement, les polynˆomes p et q sont `a coefficients entiers ; la matrice de B´ezout B∗(p, q) est donc elle aussi `a coefficients entiers, ce qui permet de d´efinir trivialement un Z-module bilin´eaire (non d´eg´en´er´e si (p, q) = 1). La question plus g´en´erale de l’´enum´eration des r´eseaux stables par la forme quadratiqueB∗(p, q) semble accessible via une ´etude des facteurs communs des r´eductions des polynˆomes p et q modulo un nombre premier quelconque `.
Dans la cas o`u la forme bilin´eaire de B´ezout est sym´etrique et hyperbolique (i.e. de signa-ture (n−1,1), o`u max(degp,degq) =n), des travaux r´ecents de Fuchs–Meiri–Sarnak [FMS]
montrent la pertinence de cette g´en´eralisation au cas o`u la base est un anneau. Dans loc.
cit., ils construisent des familles de groupes hyperg´eom´etriques qui sont d’indice infini dans le groupe des points entiers de leur adh´erence de Zariski1 (dans le groupe GLnambiant). Ces groupes particuliers ont suscit´e ces derni`eres ann´ees un fort int´erˆet en conjonction avec les progr`es rapides de la compr´ehension des ph´enom`enes de croissance et d’expansion (progr`es mentionn´es dans le chapitre 2). La construction de familles de tels groupes est en g´en´eral d´elicate, mais Fuchs–Meiri–Sarnak parviennent `a donner des exemples de telles familles en
´
etudiant des groupes hyperg´eom´etriques (au sens de Beukers–Heckman) sur Z. Dans la dis-cussion suivant l’´enonc´e du th´eor`eme3.3.1, on a ´evoqu´e la remarque faite dans [5] expliquant que ces groupes hyperg´eom´etriques co¨ıncident avec les groupes d’isom´etries pour certaines structures de B´ezout tordues. Ces liens ont pour l’instant ´et´e peu exploit´es mais peuvent sans doute permettre la mise en lumi`ere d’aspects explicites int´eressants dans la construction de groupes hyperg´eom´etriques d’indice infini dans le groupe des points entiers de leur adh´erence de Zariski.
1. Le titre de la section est une suggestion de traduction pour la terminologie anglo-saxonne devenue standard pour d´esigner ces groupes :thin groups.
Chapitre 4
Un crible pour les graphes
Dans la section 2.3.2, on a vu l’importance du recours `a une propri´et´e de s´eparation de valeurs propres (la propri´et´e (τ)), pour ´etudier via le grand crible, le groupe de Galois typique du polynˆome caract´eristique d’un ´el´ement d’un groupe arithm´etique donn´e. Cette propri´et´e d’analyse harmonique admet une traduction en termes d’expansion de graphes de Cayley. Par exemple, l’assertion selon laquelle SL2(Z) poss`ede la propri´et´e (τ) relativement
`
a ses sous-groupes de congruence
ker (πd: SL2(Z)→SL2(Z/dZ))
(cons´equence du c´el`ebre th´eor`eme de Selberg sur les valeurs propres du Laplacien hyperbo-lique agissant sur les fonctions de carr´e int´egrable sur Γ(d)\H,d >1), ´equivaut au fait que, si l’on fixe une partie g´en´eratrice sym´etrique S de SL2(Z), la famille de graphes de Cayley X(SL2(Z/dZ), πd(S)), index´ee par les entiersd>2 sans facteur carr´e, forme une famille de graphes expanseurs. Soit ε > 0 ; rappelons que si G = (V, E) est un graphe fini non orient´e d’ensemble de sommets V et d’ensemble d’arˆetes E, on dit queG est un grapheε-expanseur si
h(G) := min
A⊆V 16|A|6|V|
|∂A|
|A| >ε ,
o`u l’on d´efinit ∂A := {(a, b) ∈ E: a ∈ A, b ∈ V \A}. La notion de graphes expanseurs a
´
emerg´e dans les ann´ees 70 avec le d´eveloppement de la th´eorie des t´el´ecommunications. Une question cruciale et naturelle est celle de la construction explicite d’unefamille d’expanseurs i.e. une suite de graphes (Gn) = ((Vn, En)) connexes telle que, pour un certain entier d >1 et un certainε >0,
— chaque Gn est d-r´egulier,
— |Gn| → ∞ lorsque n→ ∞,
— chaque Gn est ε-expanseur.
Le lien entre expansion et ´ecart spectral est donn´e par l’in´egalit´e suivante. Soit d ∈N>1 et soitGun graphe connexed-r´egulier. On note (1/d)Adj(G) l’op´erateur d’adjacence normalis´e deG. Il s’agit d’un op´erateur autoadjoint dont on peut ordonner les valeurs propres :
1 = µ0 > µ1 >µ2 >· · ·>µn−1 >−1,
o`un =|V|. On a alors (voir par exemple [DSV, Th. 1.2.3]) d
2(1−µ1)6h(G)6dp
2(1−µ1).
Ce lien entre combinatoire des graphes et analyse harmonique conduit `a la question suivante.
Est-il possible d’obtenir une majoration pour la constante de grand crible ∆ (voir (1.1.2)) dans un cadre o`u seule est requise la propri´et´e d’expansion d’une famille de graphes associ´ee au probl`eme ? Quelles seraient alors les applications possibles ? Ces questions constituent le point de d´epart de [6], qui fait un premier pas dans la r´eduction du grand crible expos´e dans le chapitre 1 `a son coeur combinatoire. Dans loc. cit., les objets globauxconsid´er´es sont des graphes. Ceux-ci sont tout de mˆeme munis d’une structure de groupe ab´elien, de sorte que l’on peut facilement leur associer une famille de graphes de Cayley dont les sommets correspondent `a une famille de quotients du groupe de d´epart. L’objectif de [6] est d’´etudier les propri´et´es typiques d’un sous-graphe al´eatoire d’un graphe donn´e. L’id´ee principale est d’exploiter le fait qu’un graphe de Cayley al´eatoire (en un sens que l’on va pr´eciser) est un bon expanseur d`es qu’il poss`ede un grand nombre d’arˆetes. Cette propri´et´e va permettre la majoration de ∆ via une estimation de sommes exponentielles analogues `a (1.1.5).
4.1 Expansion de graphes de Cayley al´ eatoires et grand crible
La propri´et´e d’expansion utilis´ee dans [6] est une cons´equence d’un r´esultat d’Alon–
Roichman, dont nous ´enon¸cons maintenant une version raffin´ee due `a Christofides–Markstr¨om (voir les r´ef´erences dans loc. cit.). Il est commode, pour ´enoncer ce r´esultat, d’utiliser une notion d’expansion directement li´ee aux propri´et´es spectrales des graphes concern´es : l’´ecart spectral d’un graphe d-r´egulier connexe Gest
γ(G) := min{1− |λ|: |λ| 6= 1, λ valeur propre de (1/d)Adj(G)}.
Soit G un groupe ab´elien et soit Λ⊆ N un ensemble fix´e d’indices. On suppose donn´ee une famille de sous-groupes (H`)`∈Λ d’indice fini n` := [G :H`]. On note ρ`: G → G/H` la surjection canonique.
Le cadre de crible dans lequel on veut se placer est le crible probabiliste de §1.3. On note que, puisque G est ab´elien, le triplet (G,Λ, ρ`: G → G/H`) est trivialement un cadre de crible de conjugaison. Fixons donc un espace probabilis´e (Ω,Σ,P). On fixe par ailleurs un r´eel δ ∈]0,1/2] et l’on note
ψ(δ) := 2((2−δ) log(2−δ) +δlogδ)−1. Pour `∈Λ, on note
κ(b, `;δ) := dψ(δ)(logn`+b`+ log 2e,
o`u b := (b`)`∈Λ est une suite de R>0 fix´ee. Pour ` ∈Λ et i∈ {1, . . . , κ(b, `;δ)} on consid`ere une variable al´eatoire si `a valeurs dans G/H` et de distribution uniforme. On suppose que
les si sont deux `a deux ind´ependantes et l’on s’int´eresse aux propri´et´es d’expansion de la famille de graphes de Cayley X` :=X(G/H`,{si} ∪ {s−1i }) o`u, dans la r´eunion d’ensembles d´efinissant les arˆetes, 16i6κ(b, `;δ). On a alors
Th´eor`eme 4.1.1(Alon–Roichman, Christofides–Markstr¨om). Pour tout` ∈Λla probabilit´e que γ(X`)< δ est au plus exp(−b`).
Hormis ce r´esultat crucial dans la majoration de la constante de grand crible ∆, d’autres difficult´es se posent dans ce cadre plus combinatoire. Elles sont li´ees au fait que l’on fait peu d’hypoth`eses de structure. En particulier la propri´et´e de disjonction lin´eaire (i.e. la surjectivit´e des morphismes produitρ`×ρ`0, pour` 6=`0), qui en (2.3.2) provient du th´eor`eme d’approximatin forte, n’est pas garantie. De mˆeme, il n’est pas clair que le graphe de Cayley produit surG/H`×G/H`0 et dont les arˆetes sont d´efnies de fa¸con ´evidente `a partir de celles deX` etX`0, soit δ-expanseur sous la seule hypoth`ese que X` etX`0 le sont.
Donnons maintenant les hypoth`eses et l’´enonc´e de la contribution th´eorique principale de [6]. On conserve les notations ci-dessus et l’on souhaite d´efinir une marche al´eatoire sur G comme en (2.1.1). Dans les applications on prendra pour G diverses collections de graphes munies d’une loi de groupe. La marche al´eatoire va donc produire un graphe au hasard dans la collection consid´er´ee. Il nous faut d´efinir l’analogue de l’ensemble S utilis´e dans le cas (2.1.1). Pour pouvoir appliquer le th´eor`eme 4.1.1, l’id´ee est de reconstruire cet ensemble par rel`evement puis recollement des ensembles
S`(b, δ) :={si: 16i6κ(b, `;δ)} ∪ {s−1i : 16i6κ(b, `;δ)}.
Cet aspect combinatoire induit des complications absentes dans la cadre du crible pro-babiliste pour les groupes arithm´etiques du chapitre 2. Il faut notamment faire un choix de rel`evement dans G pour les si ∈ G/H`. Dans [6, §1.2], on d´efinit la notion de suite locale admissible pour r´esoudre cette question. Il s’agit d’une suite (R`)`∈Λ (associ´ee `a la famille (H`)`∈Λ) o`u chaque R` est un syst`eme de repr´esentants deG/H` v´erifiant :
— T
`∈ΛR` ={1},
— si `, `0 ∈Λ et `6=`0, alors R` ⊆H`0.
On montre alors ([6, Lem. 1.6]) que s’il existe une suite locale admissible relative `a H`, alors elle est unique. Si l’on fixe` ∈Λ et 16i6κ(b, `;δ), et sous l’hypoth`ese de l’existence d’une suite locale admissible relative `a (H`), on note alors ˜s(`)i l’unique rel`evement de si qui est ´el´ement de R`, et on d´efinit
On peut maintenant d´efinir la partie g´en´eratricesuivante : S(b, δ) :=Y
0
`∈Λ
{1} ∪S˜`(b`, δ)
, (4.1.1)
notation signifiant que, `a un nombre fini d’exceptions pr`es, le `-`eme facteur du membre de droite vaut 1.
On peut maintenant consid´erer la marche al´eatoire (Xk)k>0 surG, d´efinie par (2.1.1) avec le choixS :=S(b, δ). Cela sous-entend la donn´ee d’une suite (ps) deR>0 index´ee par S(b, δ) d´efinissant la distribution des pas de la marche al´eatoire. Ici encore, le fait que l’on remplace le recours `a la propri´et´e (τ) relativement `a (H`) par la propri´et´e combinatoire plus faible que constitue le th´eor`eme 4.1.1, impose une restriction suppl´ementaire sur la suite (ps). Il s’agit de la condition (?) pr´ec´edent l’´enonc´e de [6, Prop. 1.8] et signifiant que la distribution des pas de la marche al´eatoire doit ˆetre une g´en´eralisation de la distribution uniforme (que l’on pourrait consid´erer si S(b, δ) est fini). Pr´ecis´ement, fixons un entier L> 1 et le support de cribleL∗ := Λ∩[1, L]. On suppose que pour tout`, `0 ∈ΛLet tout (s0, t0)∈S`(b, δ)×S`0(b, δ),
Avec ces notations et sous ces hypoth`eses, on d´emontre alors le r´esultat suivant (voir [6, Prop.
1.8]), qui peut ˆetre vu comme un analogue combinatoire de [K4, Prop. 3.5] ou [J2, Prop. 6].
Proposition 4.1.2 (Grand crible pour les graphes). — Soit C0 := sup
et supposons que l’hypoth`ese (?) soit v´erifi´ee. Alors pour tout choix d’ensemble criblantΘ` ⊆ G/H`, il existe ν >0 tel que pour tout k >1, de la distribution des pas de la marche al´eatoire (i.e. de la suite (ps)).
Dans les travaux ant´erieurs cit´es [K4, Prop. 3.5] ou [J2, Prop. 6], les quantit´es P(C0 =
∞) et P
`∈ΛLexp(−b`) n’ont pas d’analogue. La seconde quantit´e est li´ee `a l’application du th´eor`eme 4.1.1, alors que la premi`ere provient de la difficult´e, d´ej`a mentionn´ee, de la construction d’un graphe de Cayley expanseur produit `a partir de deux graphes de Cayley expanseurs. (Ainsi pos´ee, la question est triviale : pr´ecis´ement on souhaite que l’´ecart spectral pour le graphe de Cayley produit soit de l’ordre de celui des deux graphes initiaux, et ce uniform´ement sur la famille de graphes consid´er´ee.) Dans le cas o`uG est ab´elien, on a une description simple des valeurs propres de Adj(X(G, S)) en termes des caract`eres de G, ce qui permet une r´esolution partielle mais suffisante de la question (voir [6, Lem. 1.3]).
Le fait que l’on puisse majorer efficacementP(C0 =∞) est une cons´equence de principes de concentration assurant que les ensembles S`(b, δ) sont deux `a deux de taille comparable
avec grande probabilit´e. Ces principes prennent diff´erentes formes suivant que n` > κ` ou non. Ils font l’objet de [6, Lem. 1.4]. Enfin, le troisi`eme terme du membre de droite dans l’in´egalit´e de la proposition 4.1.2 est le r´esultat de l’adaptation de la preuve [K4, Prop.
3.5] dans le cas favorable o`u l’expansion des graphes de Cayley quotient est garantie et o`u l’on a C0 < ∞. On note l’apparition du facteur parasite (1−κ2Lν)k qui, dans les applications, explique pourquoi l’on ne parvient pas `a obtenir une d´ecroissance exponentielle de la probabilit´e des ´ev`enements rares consid´er´es.