4.1 Problème aux limites et reformulation
4.2.2 Prolongement des espaces stables
On fixe γ = Re(τ) > 0. Lorsque l’on utilise la relation E−(τ, η) = E−(bτ, bη, ε),
on identifie (τ, η) à (bτ, bη, ε) (avec ε = 1/2pp
|τ|2+|η|2p). Si γ = Re(τ) > 0 est fixé et qu’on fait |η| → ∞, on a Re(bτ) ≤ γ/|η| → 0, ε → 0. L’étude à hautes fréquences du problème (4.7) et donc de E−(τ, η) pour η grand amène donc naturellement à étudier la limite de E−(bτ, bη, ε) lorsque Re(bτ) et ε tendent vers → 0.
Dans le cas des systèmes homogènes d’ordre 1 strictement hyperboliques, l’exis-tence d’un prolongement continu de E−sur Re(τ) = 0 a été obtenue par Kreiss [40] Ce résultat a ensuite été étendu par Métivier [51] dans le cas constamment hyperbolique. On adapte ici la preuve de Kreiss au cas des systèmes quasi-homogènes. La principale différence vient du fait que même pour une analyse à coefficients constants, on doit considérer le symbole complet au lieu du symbole principal (voir à ce sujet la remarque 3.1.4 p.50). Cette difficulté technique se traduit dans la suite par la présence du paramètre ε lorsque l’on travaille sur les variables « normalisées » (bτ, bη, ε).
Théorème 4.2.3. Soient λj les racines du polynôme caractéristique de εg. L’application définie sur E++ par
P+(λ;bτ, bη, ε) = Y
Re(λj(bτ ,bη,ε))>0
(λ− λj)
se prolonge continûment sur E+ pour ε assez petit, et on peut alors prolonger continûment l’espace E− sur E0∩ {|ζp| ≥ M} pour M assez grand grâce à la formule :
E−(τ, η) = Im(P+(g(bτ, bη, ε); bτ, bη, ε)) . De plus, E−(bτ, bη, 0) = E−(g1(bτ, bη)).
Démonstration. Le fait évident suivant est important : ∀ r > 0, E−(rg) = E−(g).
On travaillera donc sur εg(bτ, bη, ε) (borné) plutôt que g(τ, η). Le polynôme caractéristique de εg est de la forme
P (λ;bη, bτ, ε) = X |α|+j+kp≤mp aα,j,kεmp λ ε j τkηα = X |α|+j+kp≤mp aα,j,kεmp−j−kp−|α|λjbτkbηα
et le polynôme caractéristique de g1 en est la partie (p-)principale :
P1 = X
|α|+j+kp=mp
aα,j,kλjbτkbηα . On remarque en particulier que P1 = P (λ;bη, bτ, 0).
Pour Re(bτ) > 0, P+est simplement le polynôme caractéristique de la restriction de εg à E+ (avec la convention 0 · g(bτ, bη, 0) = g1), et puisque le projecteur sur E+ est donné localement par
Π+= Z
C+
avec C+ un (petit) contour entourant les racines de partie réelle strictement positive, les coefficients de P+(λ) sont C∞. Par continuité des racines et les relations entre coefficients et racines, les coefficients de P+ se prolongent par continuité sur S+
p × [0, ε].
Notons P = P+P−. Pour Re(τ) > 0, E− = Im(P+(g; τ, η)) car E− = KerP−⊃ Im(P+) et on a égalité des dimensions
rang(P+) = mp− dim(Ker(P+)) = mp− dim(E+) = mp− (mp − dim(E−)) = dim(E−)
Posons E− = Im(P+). On vient de voir que les coefficients de P+sont continus. Donc si le rang de P+ reste constant sur S+
p × [0, 1
M], l’espace E− est défini de manière continue. Cela a déjà été établi à la proposition précédente dans le cas où Re( bτ0) > 0, on s’intéresse donc uniquement au cas limite τb0 ∈ iR.
Soit ( bτ0,ηb0, ε0)∈ S0
p× [0, 1
M] fixé. Au voisinage de ce point, g se réduit sous la forme diagonale par blocs diag(g1,· · · , gn, g+, g−). avec Sp(g±)⊂ C±±, et
gj(τb0,ηb0, ε0) = λj i 0 λj i · · · i 0 λj
Admettons provisoirement qu’il existe M > 0 tel que pour ζp ≥ M, k 6= j, λk 6= λj (voir le lemme 4.2.4 suivant où l’on explicitera M). Par continuité des racines, il existe des disques disjoints Dj = D(λj, r), et ν assez petit tels que pour 0 ≤ bγ ≤ ν, toute racine de P ( · ; bγ + i bδ0,ηb0, ε0) est dans ⊔Dj ⊔ {Re(λ) ≥ 2r} ⊔ {Re(λ) ≤ −2r}.
Pour 0 < bγ < ν, posons µj le nombre (constant) de racines de partie réelle négative dans Dj, mj le nombre total de racines et µ− le nombre de racines dans {Re(λ) ≤ −ε}. On a dim(E−) = µ−+P
jµj. Mais par construction,
P+(λ; i bδ0,ηb0, ε0) = χg+(λ ; i bδ0,ηb0, ε0)Y
j
(λj − λ)mj−µj. Il est alors clair vu la structure de g(i bδ0,ηb0, ε0) que
rang(P+(g; i bδ0,ηb0, ε0)) = rang(g−) +X
mj − (mj− µj) = µ−+X
µj = m− .
Lemme 4.2.4. Dans la décomposition g = diag(g1,· · · , gn, g+, g−), il existe M > 0 tel que si ζp ≥ M, k 6= j, alors λk(η, τ ) 6= λj(η, τ ), i.e. la multiplicité géométrique de toute racine imaginaire pure est 1.
On a le même résultat pour g1(bτ, bη) lorsque (bτ, bη) ∈ S+ p.
Démonstration. Soit λ0une valeur propre imaginaire pure de g(iδ0, η0). À chan-gement de base près, on peut supposer que
g = λ0 ∗1 0 ∗2 0 .
D’après le lemme 3.1.14, il existe M > 0 tel que si |τ|2+|η|2p+|λ|2p≥ M alors τ est une racine simple. En particulier, si |δ0|2+|η|2p ≥ M, δ0 est une racine simple, donc ∂χg ∂γ (λ0; iδ0, η0)6= 0. Mais ∂χg ∂γ (λ0; iδ0, η0) = det ∂λ0 ∂γ ∗1 ∂g2,1 ∂γ ∗2 − λ0Imp−1 ∂gmp,1 ∂γ ,
et en particulier les vecteurs de
∗1 ∗2 − λ0Imp−1
sont libres, d’où dim(Ker(g) − λ0) = 1.
La démonstration du lemme pour g1 est exactement la démonstration précé-dente privée de l’étape où l’on choisit M.
Remarque 4.2.5. L’un des arguments clés de ce résultat est le fait qu’à toute ra-cine imaginaire pure correspond un et un seul bloc de Jordan, ceci étant consé-quence de la dispersivité stricte. Le même résultat a été utilisé dans l’étude de systèmes strictement hyperboliques par Kreiss. Pour généraliser cette étude aux systèmes constamment hyperboliques, Métivier [51] utilise une factorisa-tion non triviale du polynôme caractéristique et effectue une analyse poussée de la dimension des espaces propres et des blocs de Jordan associés. Essentiel-lement, la présence d’une caractéristique de multiplicité α pour le problème de Cauchy impose pour le problème aux limites la présence de α blocs de Jordan associés à une même valeur propre.
Cette analyse peut sans doute s’adapter au cadre quasi-homogène. Cela semble cependant peu pertinent dans la mesure où (à notre connaissance) il n’existe pas d’exemples physiques entrant dans ce cadre (contrairement au cas hyperbo-lique qui contient de nombreux exemples de systèmes dont les caractéristiques sont à multiplicité constante).
Le point à retenir. Les espaces E−(g(τ, η)) forment un fibré C∞ de base E++. Il existe un prolongement continu de ce dernier sur (B+
M assez grand, de même E−(g1(τ, η)) est continu pour (τ, η) ∈ S+
p. Cepen-dant, il n’y a pas forcément de prolongement continu de E−(g) sur E+\ {0}. L’application (bτ, bη, ε)∈ S+p × [0, 1 M]→ E−(bτ ε,ηbε) si ε > 0, E−(g1(bτ, bη)) si ε = 0 ,
est continue sur un ensemble compact. Dans la suite, on gardera la notation avec ce M.
Ce résultat permet de définir une version plus forte de la condition de Kreiss-Lopatinski˘ı.
Definition 4.2.6. On dit que F satisfait la condition de Kreiss-Lopatinski˘ı uniforme (KLU) lorsque F : E−(bτ, bη, ε) → Im(F ) est un isomorphisme pour tout (bτ, bη, ε) ∈ S+
p × [0, 1
M], M fixé assez grand.
Remarque 4.2.7. Si F satisfait la condition (KLU), par continuité et compacité kF k + kF−1k est borné uniformément en (bτ, bη, ε) ∈ S+
p × [0, 1 M].
La présence du paramètre ε rend (KLU) assez désagréable à manipuler. La proposition suivante montre que c’est une difficulté artificielle, et que quitte à augmenter M il suffit de vérifier (KLU) seulement pour ε = 0.
Proposition 4.2.8. Si la condition (KLU) est vérifiée, F est un isomorphisme E−(g1)−→ Im(F ).
Inversement, si pour tout (bτ, bη) ∈ S+
p, F : E−(g1)−→ Im(F ) est un isomor-phisme, alors -quitte à augmenter M- F satisfait (KLU) sur Sp
+× [0, 1 M]. Démonstration. Si KLU est vraie,
∀ (bτ, bη, ε) ∈ S+
p×]0, 1
M], kF k + kF |−1
E−(bτ ,bη,ε)k ≤ C .
Donc en faisant tendre ε vers 0 et par continuité, F (bτ, bη) est un isomorphisme également sur E−(bτ, bη, 0) = E−(g1(bτ, bη)).
Réciproquement, si ∀ (bτ, bη) ∈ S+
p, F est un isomorphisme sur E−, alors par continuité des espaces E− (théorème 6) et compacité de S+
p, il existe ε0 > 0 tel que :
∀ (bτ, bη, ε) ∈ S+
p × [0, ε0], F est inversible sur E− et d’inverse borné, ce qui est exactement (KLU) pour ζp ≥ 1
ε0 (on augmentera donc M si M ≤ 1/ε0).