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Projectivité et contrôle

On a vu que le module des U

u

-familles de formes (v, w)-Igusa-surconvergentes est donné

par S

κu v,w

(Γ

B

(p)) =H

0

T

I,v

,O

κu v,w,!

=H

0

T

I,v∗

,(Π

f I,v

×Id

Uf u

)

∗

O

κu v,w,!

.

Proposition 9.7.1. Le A(U

u

, K)-module de Banach S

κu

v,w

(Γ

B

(p))est projectif.

On va utiliser une variante de [AIP, Th.A.1.2.2] :

Lemme 9.7.2. Soit X un schéma formel sur Z

p

admissible normal quasi-projectif de fibre

générique X affinoïde ; soit Fun faisceau formel de Banach surXqui définit un faisceau fibre

générique rigideF surX. SoitF

m

etX

m

=X⊗Z/p

m

Zles réductions modulop

m

de FetX.

On suppose que F

m

= lim−→

s

F

s,m

où les F

s,m

sont cohérents et commutent au changement de

base : siℓ < m,i

∗

ℓ,m

F

s,m

=F

s,ℓ

. Soit(U

f

i

) un recouvrement affine formel de X. Alors, la suite

0→H

0

(X,F)[1/p]→M

i

H

0

(U

if

,F)[1/p]→M

ij

H

0

(U

ijf

,F)[1/p]→. . .

est exacte.

Démonstration. Comme dans la démonstration du Th.A.1.2.2 de [AIP], on peut supposer qu’il

existe un morphisme formel projectif X→Zet un faisceau inversible ample L surXrelatif à

ce morphisme. Par le théorème d’annulation de Kodaira, il existe une suite croissante d’entiers

(b

s

)

s

telle que pour touts>1et pour tout i >0, on ait

H

i

(X

1

,F

s,1

⊗L

⊗bs

1

) = 0.

Si la suite(b

s

)peut être prise stationnaire, il suffit de recopier la démonstration du th. A.1.2.2.

On suppose donc la suite strictement croissante. Par dévissage on voit qu’on a pour tout

m>1:

H

i

(X

m

,F

s,m

⊗L

⊗bs

m

) = 0

Il s’ensuit que pour chaque m>1 et chaques>1le complexe de Cech

C

s,m

:

0→H

0

(X

m

,F

s,m

⊗L

⊗bs m

)→M

i

H

0

(U

i,m

,F

s,m

⊗L

⊗bs m

)→M

ij

H

0

(U

ij,m

,F

s,m

⊗L

⊗bs m

)→. . .

est exact. On peut supposer queLest engendré par ses sections globales. Soittune telle section.

On a des morphismes − ⊗t

⊗(bs+1−bs)

: L

⊗bs

→ L

⊗bs+1

. D’où un morphisme de complexes

t

⊗(bs+1−bs)

:C

s,m

→ C

s+1,m

. Pour tout m>1, soitL

⊗∞t

m

= lim−→

s

L

⊗bs

m

pourt

′

7→ t

′

⊗t

bs+1−bs

.

Cette limite ne dépend pas du choix de la suite strictement croissante desb

s

. La limite inductive

C

∞,m

= lim

−→

s

C

s,m

de ces résolutions est une résolution de

H

0

(X

m

,F

s,m

⊗L

⊗∞t

Par Nakayama topologique, le complexe

C

∞,∞

: M

i

H

0

(U

if

,F⊗\L

⊗∞t

)→M

ij

H

0

(U

ijf

,F⊗\L

⊗∞t

)→. . .

est une résolution de H

0

(X,F⊗L\

⊗∞t

) où

\

L

⊗∞t

= lim

←−

m

L

⊗∞t m

.

En passant à la fibre générique et en utilisant le fait que le faisceau inversible L[1/p] est

donné sur l’affinoïde X = SpmB par un B-module L projectif de rang 1, on a pour tout

ouvert affineV

f

deX :

H

0

(V

f

,F⊗\L

⊗∞t

)[1/p] =H

0

(V

f

,F)[1/p]⊗b

B

Lh1/ti

oùLh1/ti =H

0

(X,L\

⊗∞t

) désigne la complétion p-adique duB-module des sections surX de

L

⊗∞

, qui s’identifie donc à la complétion p-adique delim

−→

s

L

⊗(bs+1−bs)

. SiL =B,t=b∈B,

on aLh1/ti=Bh1/bi. On peut maintenant montrer que

C(U

•rig

,F) : M

i

H

0

(U

irig

,F)→M

ij

H

0

(U

ijrig

,F)→. . .

est une résolution deH

0

(X,F) =H

0

(X,F)[1/p]. On peut tensoriser le complexeC(U

•rig

,F)par

L. Il suffit de montrer qu’en tout idéal maximalmde B,C(U

•rig

,F)⊗

B

L

m

est une résolution

de H

0

(X,F)⊗

B

L

m

. CommeLest engendré par ses sections globales surA,L

rig

est engendré

par ses sections globales sur B; il existe donc une section globalet qui ne s’annule pas enm;

on a donc L

m

= Lh1/ti

m

comme B

m

-modules, et on est ramené à l’énoncé déjà démontré :

C(U

•rig

,F)⊗

B

Lh1/ti est une résolution de H

0

(X,F)⊗

B

Lh1/ti.

Démonstration. Soit G = O

κu,f

v,w,!

et φ = Π

f

I,v

×Id

Uf

u

et F = φ

∗

G. Par le Th.9.2.3, c’est

un faisceau de Banach formel sur le schéma formel admissible normal quasi-projectif X =

T

I,v∗,f

× U

uf

dont la fibre générique X est affinoïde. Ce faisceau définit un faisceau rigide sur

X=T

I,v∗,rig

× U

urig

.

Fixons un recouvrement admissibleU

f

= (U

f

α

)

α∈A

fini deT

I,v∗,f

par des ouverts affines dont

les intersections sont affines. Le complexe de Cech augmenté sur K=W[1/p]:

H

0

(T

I,v∗,f

× U

uf

,F)[1/p]→C

0

(U

f

× U

uf

,F)[1/p]→C

1

(U

f

× U

uf

,F)[1/p]→. . .

est exact par le lemme précédent. Soit α = (α

0

, . . . , α

i

)∈A

i+1

et U

αf

=T

i

j=0

U

αfj

. Montrons

que le A(U

u

)-module H

0

(U

αf

× U

uf

,F)[1/p]est orthonormalisable. La réduction modulo pde sa

boule unitéH

0

(U

f

α

× U

f

u

,F) est leA(U

u,1

)-moduleH

0

(U

α,1

× U

u,1

,F

1

). Ce module est libre sur

A(U

u,1

). En effet,A(U

u,1

) est un anneau de polynômes sur un corps finiF, donc son groupe

multiplicatif coïncide avec F

×

; il s’ensuit que le caractère κ

u,1

est à valeurs dans F

×

et est

donc d’ordre premier àp. Ceci montre que le faisceau Ω

κu,1

1

est de la forme Ωe

κu,1

1

⊗ O

Uu,1

où

e

Ω

κu,1

1

est le faisceau des sections de

T

N+ 0,1 T0,κu,1

× A

1

→T

N+ 0,1

Formons

e

A

κu,1 1

=π

B+ 0,I,1,∗

Ωe

κu,1 1

et

e

A

′1

=Ae

κu,1 1

(−D

1

)×

C(N− 1 ,Aeκu,1 1 (−D1))

O

N−(w)1

⊗Ae

κu,1 1

(−D

1

))

.

On trouve

F

1

=Ae

′ 1

⊗FO

Uu,1

Si l’on considère une base(e

j

)

j

surFdeH

0

(U

α,1

,Ae

′

1

), on voit que lese

j

⊗1forment une base

sur A(U

u,1

) de H

0

(U

α,1

⊗ U

u,1

,F

1

).

En relevant une base de ce module, on obtient une base orthonormée de H

0

(U

f

α

,×U

f

u

,F)

(par Nakayama topologique).

On a donc une résolution du A(U

u

)-module de Banach S

κu

v,w

(Γ

BSp

(p)) par des modules

de Banach orthonormalisables, avec morphismes continus. Ceci entraîne que ce module est

projectif grâce au lemme ci-dessous.

Lemme 9.7.3. Si0→M

′

→M →M

′′

→0 est une suite exacte deA(X)-modules et siM et

M

′′

sont quasi-orthonormalisables, ou même seulement projectifs, alors M est projectif.

Démonstration. En effet, siM etM

′′

sont quasi-orthonormalisables, soit (f

i

) une base

ortho-normale deM

′′

; fixons des antécédents ee

i

des f

i

. On a |ee

i

| > C > 0. Si on forme e

i

=

eei

|eei|

,

on obtient une base orthonormée dont l’image est une base de norme bornée. On peut donc,

en changeant la norme de M

′′

par une norme équivalente, trouver une base orthonormée de

M

′′

qui se relève en un système libre orthonormé de M; il engendre topologiquement un

relèvement topologique deM

′′

facteur direct de M

′

dans M, donc M

′

est projectif.

SiMetM

′′

sont seulement projectifs, on leur ajoute un facteur direct topologique commun

assez grand pour se ramener à une suite exacte de noyau M

′

et où M et M

′′

sont

quasi-orthonormalisables.

Corollaire 9.7.4. Soientv, w comme ci-dessus. Pour tout poids κ∈ U

w

(L), le morphisme :

S

κw

v,w

(Γ

BSp

(p))⊗A

(Uu),κ

L→S

v,wκ

(Γ

BSp

(p), L)

est un isomorphisme.

Démonstration. suit la méthode de démonstration de [AIP, Cor.8.2.3.2]. Considérons l’idéal

maximal I

κ

de O

Uu

des fonctions qui s’annulent au point κ, et I

κ

=H

0

(U

u

,I

κ

) A =A(U

u

).

Formons la résolution de Koszul :

Kos(κ) : 0→A→A

g

→ · · · →A

g

→A→A/I

κ

→0

On a une suite exacte de faisceaux sur T

rigI,v

× U

u

:

0→ I

κ

· O

κu

v,w,!

→ O

κu

v,w,!

→ O

v,w,κ !

→0

Par annulation de R

1

(Π

I

×Id

Uu

)

∗

O

κu

v,w,!

sur T

I,v∗,rig

, on a encore une suite exacte de faisceaux

surT

I,v∗,rig

× U

u

:

0→ I

κ

·Π

I,∗

O

κu

v,w,!

→Π

I,∗

O

κu

v,w,!

→Π

I,∗

O

v,w,κ !

→0

Soit F

κu

= (Π

I

×Id

Uu

)

∗

O

κu

v,w,!

et F

κ

= Π

I,∗

O

v,w,κ !

. On a donc O

Uu

/I

κ

⊗

OUu

F

κu

∼= F

κ

.

On forme le produit tensorielKos(κ)⊗

A

H

0

(T

I,v∗,rig

× U

u

,F

κu

). On va montrer qu’il induit un

isomorphisme de L-espaces de Banach

On fixe un recouvrement affine U

f

= (U

f

i

)

i

du modèle formel T

I,v∗,f

de T

I,v∗,rig

. On sait par le

lemme 9.7.2 qu’on a des résolutions de Cech

C

•

(U

rig

× U

u

,F

κu

) :

H

0

(T

I,v∗,rig

× U

u

,F

κu

)→M

i

H

0

(U

irig

× U

u

,F

κu

)→M

ij

H

0

(U

ij

× U

u

,F

κu

)→. . .

et

C

•

(U

rig

,F

κ

) :H

0

(T

I,v∗,rig

,F

κ

)→M

i

H

0

(U

irig

,F

κ

)→M

ij

H

0

(U

ij

,F

κ

)→. . .

On tensorise la première résolution par la résolution de Koszul et on obtient un complexe

double

Kos(κ)⊗

A

C

•

(U

rig

× U

u

,F

κu

)

où l’on place verticalement les flèches de Kos(κ) et horizontalement celles du complexe de

Cech. Chaque ligne est exacte parce que les termes du complexe de Koszul sont A-libres.

Chaque colonne est exacte parce que pour chaque multi-indice α chaqueA-moduleH

0

(U

αrig

×

U

u

,F

κu

) est projectif, donc plat surA. De plus, comme U

αrig

est affine, le morphisme

H

0

(U

αrig

× U

u

,F

κu

)→H

0

(U

αrig

,F

κ

)

induit parA → A/I

κ

est surjectif et induit un isomorphisme d’espaces de Banach en

tenso-risant le terme de gauche par A/I

κ

. On en déduit par chasse au diagramme que la première

colonne du complexe double est exacte. C’est-à-dire que le morphisme continu d’espaces de

Banach

A/I

κ

⊗

A

H

0

(T

I,v∗,rig

× U

u

,F

κu

)→H

0

(T

I,v∗,rig

,F

κ

)

est un isomorphisme.

10. Opérateurs de Hecke

10.1 Opérateurs de Hecke hors de N p

Soit ℓ un nombre premier, premier àN p. Considérons les matrices α

i

= diag(I

g−i

, ℓI

i

) ∈

GL

g

(Q) pouri= 0, . . . , g−1, et, pouri= 1, . . . , g−1,β

i

= diag(α

i

, ℓ

2

·

t

α

−i1

)∈Sp

2g

(Q), et

β

0

= diag(I

g

, ℓ·I

g

) ∈Sp

2g

(Q). Soit Γ

i

= Γ∩β

i−1

Γβ

i

, et X

i

la variété de Siegel de niveau Γ

i

surZ

p

. Si i= 0, cette variété classifie les quadruplets(A, λ, φ, H

0

), où φest une structure de

niveauN moduloΓ, etH

0

est un sous-groupe fini étale lagrangien deA[ℓ]; sii= 1, . . . , g−1,

X

i

classifie les quadruplets (A, λ, φ, H

i

), où φ est une structure de niveau N modulo Γ, et

H

i

est un sous-schéma en groupes fini étale d’ordre ℓ

2g

de A[ℓ

2

], totalement isotrope pour

l’accouplement de Weil V

2

A[ℓ

2

]7→ µ

ℓ2

, et tel que son sous-groupe de ℓ-torsion H

i

[ℓ]soit de

rangℓ

g+i

; notons qu’alors K

i

=ℓ·H

i

est un sous-schéma en groupes fini et plat de rang ℓ

g−i

de H

i

; le schéma abélien A/H

i

[ℓ] contient H

i′

=H

i

/H

i

[ℓ], et l’isogénie A/H

i

[ℓ]→A induite

par la multiplication par ℓ sur A induit un isomorphisme de schémas en groupes H

i′

→ K

i

.

Considérons le modèle canonique sur Z

p

de la variété de Siegel de niveau parahoriqueX

Po

i

(ℓ)

associée au parabolique maximal P

o

i

, opposé au parabolique standard de Levi GL

g−i

×Sp

2i

.

Le morphisme (A, λ, φ, H

i

)7→(A, λ, φ, H

i

[ℓ]) induit un morphisme fini et platX

i

→X

Po

i

(ℓ).

Notons que le schéma abélienA/H

i

est principalement polarisé. Pour touti= 0, . . . , g−1,

X

i

est donc muni d’une isogénie universelle ϕ

i

: A → A/H

i

entre deux schémas abéliens

principalement polarisés, et le schéma X

i

est donc muni de deux morphismes finis étales

p

j

:X

i

→X,j= 1,2, donnés par(A, λ, φ, H

i

)7→(A, λ, φ), resp.(A, λ, φ, H

i

)7→(A/H

i

, λ

i

, φ

i

),

oùλ

i

etφ

i

sont induits parλetφ. On voit que pour toutx∈X

irig

(L),Hdg(p

j

(x)) = Hdg(x),

de sorte qu’on obtient par restriction des morphismesp

j

:X

irig

(v)→X

rig

(v).

On considère la tour d’Igusa v-surconvergente T

i,∞,v

au-dessus de X

irig

(v) associée au

faisceau lisse L(A/X

i

) sur X

irig

(v). L’isogénie étale ϕ

i

: A → A/H

i

induit, par fonctorialité

covariante deL(voir [BM10, Section 6]) un isomorphismeL(ϕ

i

) : L(A/X

i

)→L((A/H

i

)/X

i

).

On prolonge alors les morphismes p

j

, j = 1,2, en des morphismes p

j

: T

i,∞,v

→ T∞

,v

qui

envoient un quintuplet(A, λ, φ, H

i

, ψ)défini surS vers(A, λ, φ, ψ), resp.(A/H

i

, λ

i

, φ

i

, ψ

i

), où

ψ

i

:µ

p∞

→L((A/H

i

)/S)est le composé deψ:µ

gp∞

→L(A/S)et deL(ϕ

i

). Les morphismesp

j

ainsi prolongés sont finis étales. On définit des endomorphismesT

ℓ,i

des faisceauxO

v,wu

,O

κu

v,w

comme la composée (p

1

)

∗

◦p

∗2

. Ils sont compatibles avec les opérateurs habituels T

ℓ,i

définis

surX et sur la tour d’Igusa ordinaire par les mêmes formules (voir par exemple [Til12, 8.1]

pour g = 2). Ils respectent donc la cuspidalité et l’intégralité des modèles formels obtenus

par clôture intégrale du modèle formel d’Andreatta-Gasbarri X

f

(v). Ils fournissent donc des

endomorphismes continusT

ℓ,i

,i= 0, . . . , g−1, desA(U

u

)-modules de BanachS

κu

v,w

(Γ), appelés

opérateurs de Hecke enℓ.

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