Le morphisme des périodes en caractéristique 0

Soit M, φ

_M

un σ-module libre de rang r sur Ae

^∇_cris

(S), tel que pe

^pε

∈ det 1 ⊗φ

_M

avec 2ε ∈ [0,1/p[. D’après [BM10, Théorème 5.40], pour tout α ∈ Q∩]2ε,

¹_p

[, le Z

_p

-module

V Λ

_α

(S),M

est libre de rangr. CommeV Λ

_α

(S),M

⊂J

^[1]

Λ

_β

(S)⊗

_e

A^∇_cris(S)

M, pour tout

β ∈Q∩[α,1[, on dispose de l’application Λ

_β

(S)-linéaire :

α

_M,β

: Λ

_β

(S)⊗Z

_p

V Λ

_α

(S),M

→J

^[1]

Λ

_β

(S)⊗

_e

A^∇_cris(S)

M

Posons M= Λ0(S)/pΛ0(S)

⊗

_Ae∇

cris(S)

Metφ

_M

l’opérateur de Frobenius induit. Comme

on l’a vu dans le paragraphe A.1, on dispose de l’application α

_M

: Λ0(S)/pΛ0(S)

⊗F

_p

V M

→J

^[1]

M.

Proposition A.2.1. Coker αM

_,β

est tué par [pe]

p−¹1

pour tout β∈Q∩

max α,

_p−¹₁

,1

.

Démonstration. En tensorisant par Λ

_β

(S)/pΛ

_β

(S), la proposition A.1.2 implique que le

co-noyau de l’application

Λ

_β

(S)/pΛ

_β

(S)

⊗Z

_p

V Λ

_α

(S),M

→J

^[1]

Λ

_β

(S)/pΛ

_β

(S)

⊗

_e A^∇_cris(S)

M

est tué par ep

p−¹1

. Soit alorsy∈J

[1]

Λ

_β

(S)⊗

_e

A^∇_cris(S)

M: il existey

₁

∈J

[1]

Λ

_β

(S)⊗

_e A^∇_cris(S)

Met

λ

i,0

16i6r

∈Λ

_β

(S)

^r

tels que

[ep]

p−¹1

y =

r

X

i=1

λ

_i,0

v

_i

+py

₁

=

r

X

i=1

λ

_i,0

v

_i

+ ^p

[pe]

p−¹1

[pe]

p−¹1

y

₁

On construit ainsi par récurrence des suites (λ

_i,n

)

_16i6r

n∈N

∈ Λ

_β

(S)

r

N

et (y

_n

)

_n∈N_>0

∈

J

^[1]

Λ

_β

(S)⊗

_e

A^∇_cris(S)

Mtelles que pour tout n∈N

_>0

, on ait

[ep]

p−¹1

y=

r

X

i=1 n

X

−1 j=0

p

j

[ep]

p−^j1

λ

_i,j

v

_i

+ ^p

n

[ep]

p−ⁿ1

[pe]

p−¹1

y

_n

Comme

1 p−1

< β, la suite

pn [ep]p−ⁿ1

n∈N

converge vers0pour la topologie p-adique dansΛ

_β

(S).

Il en résulte que les séries λ

_i

:=

∞

P

j=0 pj [ep] j p−1

λ

_i,j

convergent dans Λ

_β

(S), et qu’en passant à la

limite, on a[pe]

p−¹1

y= P

^r i=1

λ

_i

v

_i

,i.e. [pe]

p−¹1

y=α

_M,β

_r

P

i=1

λ

_i

⊗v

_i

.

Corollaire A.2.2. Pour tout β ∈Q∩

max α,

_p−¹₁

,1

,

α

_M,β

p

⁻¹

: Λ

_β

(S)

p

⁻¹

⊗Z

_p

V Λ

_α

(S),M

→J

^[1]

Λ

_β

(S)

p

⁻¹

⊗

_e A^∇_cris(S)

M

est un isomorphisme.

Démonstration. Les choix d’une base de V Λ

_α

(S),M

sur Z

_p

et de M sur Ae

^∇_cris

(S)

per-mettent de décrire αM

_,β

par une matrice A ∈ M

_r

Λ

_β

(S)

. D’après la proposition A.2.1, il

existe B ∈ M

_r

Λ

_β

(S)

tel que AB = [pe]

p−¹1

I

r

. Mais dans Λ

_β

(S), on a [pe]

p−¹1

| p vu que

p=

_[ep^p_]β

[ep]

^β

et

1 p−1

< β, si bien que[pe]

p−¹1

∈Λ

_β

(S)

p

⁻¹

×

, et donc A∈GL

_r

Λ

_β

(S)

p

⁻¹

.

A.3 Application aux F-cristaux surconvergents de Hodge

Considérons une immersion fermée dans un schéma formel affine lisse Spf(S) ֒→ Z =

Spf(T), donnée par un morphisme deW-algèbres surjectifu:T →S oùT est une W-algèbre

formellement lisse ; notonsD(u) l’enveloppe à puissances divisées deT pour Ker(u).

On considère égalementθ

_u

=µ◦(θ⊗u) : W(R)⊗

_W

T →_Sb_{oùµdésigne la multiplication ;}

on formeAe

_cris

(u), complétép-adique de l’enveloppe à puissances divisées deW(R)⊗

_W

T pour

l’idéalθ

⁻_u¹

p

¹⁻¹p

_Sb_{. On le munit d’une action deG}

_S

_{en faisant agir ce groupe trivialement sur le}

facteur T deW(R)⊗

_W

T. Cet anneau est uneT-algèbre munie d’une connexion (voir [Bri08])

dont l’anneau des sections horizontales est Ae

^∇_cris

(S) (qui est seulement uneW-algèbre).

Soit S

^′

une seconde W-algèbre admissible normale munie d’un morphisme deW-algèbres

ι

_S

:S →S

^′

et d’un morphisme semilinéaire de W-algèbres ϕ

_S

:S →S

^′

, satisfaisant

ι

_S

◦Frob≡ϕ

_S

(modp

^1−µ

S

^′

[p

^1−µ

])

pour un certain0< µ <1. On choisit alors(ι

T

, φ

T

)unFrobenius de la présentationu:T →S,

c’est-à-dire deux diagrammes commutatifs

T

^ιT // u

T

^′ u′

S

^ιS //

S

^′

T

^ϕT // u

T

^′ u′

S

^ϕS //

S

^′

tels que ϕ

T

mod p

^1−w

soit donné par ι

T

◦Frobmodulo p

^1−µ

.

Le morphisme ϕ

_T

induit un morphisme G

_S′

-équivariant Ae

_cris

(u)→Ae

_cris

(u

^′

).

Soit (M,Φ,FilM

_S

) un F-cristal surconvergent de Hodge vérifiant les hypothèses de

[BM10, Théorème 3.23] ; rappelons que Fil M

_S

est un sous-S-module projectif de

l’évalua-tionM

_S

du cristalM en l’épaississement trivialS. Notons Z=Spf(D(u))le complété formel

p-adique de l’enveloppe à puissances divisées de Z. On suppose qu’on dispose d’un

sous-module FilM

_Z

⊂ M

_Z

relevant Fil M

_S

. Ces données sont décrites par celle d’un ϕ-module

filtré M(u),FilM(u),∇,Φ

_M(u)

surD(u) (voir [BM10, Définition 3.30]).

Par hypothèse, les modules FilM(u) et M(u)/FilM(u) sont localement libres de rang r

surD(u). On pose M(u) = Ae

_cris

(u)⊗

_D(u)

M(u)

∇=0

.

Soit ϕ le Frobenius de Ae

^∇_cris

(S

^′

). Le Ae

^∇_cris

(S

^′

)-module M

^′

= M

^′

(u) = M(u) ⊗

_e

A^∇_cris(S)

e

A

^∇_cris

(S

^′

) est muni d’un endomorphisme ϕ-semilinéaire φ

_M′

. Soit I ⊂ _Ae

_cris

_{(u) le complété}

p-adique de l’idéal à puissances divisées engendré par les indéterminées de Ae

_cris

(u) associées

à u: T → S comme dans [BM10, Proposition 4.11]. On définit Fil

_I

M

′

⊂ M

′

comme le

sous-Ae

^∇_cris

(S

′

)-module engendré par l’image deAe

_cris

(u)⊗

_D(u)

FilM(u) dans

M

^′

=h

e

A

_cris

(u)⊗

_D(u)

M(u)

/I A

_cris

(u)⊗

_D(u)

M(u)i

⊗

_e A^∇_cris(S)

Ae

^∇_cris

(S

^′

).

Soitw∈]0,1−µ[la hauteur de Hodge de M

_S

/FilM

_S

; par le théorème de décomposition

([BM10, Proposition 4.27]), il existe un unique sous-σ-module U

^′

, φ

_U′

= U

^′

(u), φ

_U′(u)

de

M

^′

=M

^′

(u) tel que

(1) [pe]

^{((p−1)r+1)w}

∈det φ

_U′

e_A

∇ cris

(S

^′

);

(2) [pe]

w

M

^′

+ Fil

_I

M

^′

=U

^′

⊕Fil

_I

M

^′

D’après la proposition A.2.1 appliquée à U

^′

, l’application

α

_U′,β

: Λ

_β

(S

^′

)⊗Z

_p

V Λ

_α

(S

^′

),U

^′

→J

^[1]

Λ

_β

(S

^′

)⊗

_e

est injective, de conoyau tué par[pe]

p−¹1

pour toutα ∈Q∩

_2ε p

,

¹_p

, en posantε= ((p−1)r+1)w

etβ ∈Q∩

max α,

_p−¹₁

,1

.

Par ailleurs, on a un isomorphisme τ: Ae

_cris

(u)⊗

_e

A^∇_cris(S)

M(u)→

^∼

Ae

_cris

(u)⊗

_D(u)

M(u) (cf

[BM10, Proposition 4.17]), et donc un isomorphisme

e

A

^∇_cris

(S

^′

)⊗

_e A^∇_cris(S)

Ae

_cris

(u)

⊗

_e A^∇_cris(S′)

M

^′

(u)→

^∼

Ae

^∇_cris

(S

^′

)⊗

_e A^∇_cris(S)

Ae

_cris

(u)

⊗

_D(u)

M(u)

Proposition A.3.1. L’application(1⊗τ)◦ 1⊗α

_U′,β

induit un morphisme G

_S′

-équivariant

g

HT :_Sb

′

(−1)⊗Z

_p

V Λ

_α

(S

^′

),U

^′

(u)

→p

^w−p−¹1

_Sb

′

⊗

_D(u)

M(u)/FilM(u)

dont le conoyau est tué par p

p−¹1

.

Démonstration. Pour alléger les notations, on écrit M

^′

, U

^′

etM au lieu deM

^′

(u),U

^′

(u) et

M(u). En tensorisant l’égalité [pe]

^w

M

^′

+ Fil

_I

M

^′

=U

^′

⊕Fil

_I

M

^′

par

A

_β

(u, S

^′

) := Λ

_β

(S

^′

)⊗

_Ae∇ cris(S)

_Acris(e _u)

au-dessus de_Ae

∇ cris

(S

^′

), on a

[pe]

^w

A

_β

(u, S

^′

)⊗

_e A^∇_cris(S′)

M

^′

+A

_β

(u, S

^′

)⊗

_e A^∇_cris(S′)

Fil

_I

M

^′

=

A

_β

(u, S

^′

)⊗

_e A^∇_cris(S′)

U

^′

⊕A

_β

(u, S

^′

)⊗

_e A^∇_cris(S′)

Fil

_I

M

^′

(∗)

Par ailleurs, comme

Fil

_I

M

^′

=Ae

^∇_cris

(S

^′

)⊗ Ae

_cris

(u)⊗

_D(u)

FilM

/I Ae

_cris

(u)⊗

_D(u)

FilM

on a(1⊗τ) Fil

_I

M

^′

(u)

⊂A

_β

(u, S

^′

)⊗

_D(u)

FilM(u), de sorte que

(1⊗τ) A

_β

(u, S

^′

)⊗

_e

A^∇_cris(S′)

Fil

_I

M

^′

=A

_β

(u, S

^′

)⊗

_D(u)

FilM

La décomposition (∗) fournit donc l’isomorphisme

A

_β

(u, S

^′

)⊗

_e

A^∇_cris(S′)

U

^′

−−→

^1⊗τ

[pe]

^w

A

_β

(u, S

^′

)⊗

_D(u)

M/FilM

qui, composé avec1⊗α

_U′,β

, fournit un morphisme

A

_β

(u, S

^′

)⊗Z

_p

V Λ

_α

(S

^′

),U

^′

(1⊗τ)◦(1⊗α_M′(u),α)

−−−−−−−−−−−−−→[pe]

^w

ξA(u, S

^′

)⊗

_D(u)

M/FilM

(∗∗)

de conoyau tué par [pe]

p−¹1

. Le morphisme d’anneaux θ: Ae

^∇_cris

(S

^′

)→_Sb

′

induit un morphisme

θ: Λ

₀

(S

^′

)→_Sb

′

. Siβ <1, il se prolonge en θ: Λ

_β

(S

^′

)→_Sb

′

en posant θ

p

[ep]β

=p

^1−β

. Ce

der-nier se prolonge à son tour enθ

_u

:=θ⊗θ

_u

:A

_β

(u, S

^′

)→_Sb

′

. ModuloKer(θ

_u

), l’homomorphisme

(∗∗) tordu par Z

_p

(−1) fournit donc un homomorphisme

g

HT :_Sb

′

(−1)⊗Z

_p

V Λ

_α

(S

^′

),U

^′

→p

^w−p−¹1

_Sb

′

⊗

_D(u)

M/FilM

de conoyau tué par θ [pe]

p−¹1

= p

p−¹1

(le facteur p

⁻p−¹1

provient de l’égalité ξ_Sb

′

= p

p−¹1

t_Sb

′

dans gr

¹

_Ae

∇

cris

(S

^′

)). Comme les applications αU

′,α

,τ etθ

u

sont G

_S′

-équivariantes, il en est de

même degHT.

Corollaire A.3.2. L’application (entière)

g

HT : V Λ

_α

(S

^′

),U

^′

(u)

fournit en inversant pun isomorphisme G

_S′

-équivariant

HT = g_HT

^∨

−1

:_Sb

′

[p

⁻¹

]⊗Z

_p

V Λ

_α

(S

^′

),U

^′

(u)

_D ∼

→_Sb

′

[p

⁻¹

](1)⊗

_S

M

_S

/FilM

_S

∨

(oùV

^D

=V

^∨

(1)est le « dual de Cartier » de V).

Annexe B. Sous-groupe canonique et application de Hodge-Tate

Dans cette section, nous allons démontrer le théorème 8.2.2. Commencons par démontrer

que L

₁

est canoniquement isomorphe à H

₁

surX

^rig

(

^vBM

p

).

B.1 Comparaison au sous-groupe canonique

Proposition B.1.1. Siv6

^vBM

p

, on a un isomorphisme ^L

1

∼_=H

₁

_{de faisceaux finis étales sur}

X

^rig

(v), compatible aux correspondances de Hecke et s’insérant dans le diagramme commutatif

suivant

Isom

_Xrig(0)

A[p]

^◦

, µ

^gp

=T

1 ^ // % ++

T

1,v ^∼ //

Isom

_Xrig(v)

H

1

, µ

^gp

x x ♣♣^♣♣ ♣♣^♣♣ ♣♣

X

^rig

(0)

^ //

X

^rig

(v)

Démonstration. L’isomorphisme étant canonique, il suffit de le construire localement. Soient

Spf(S)⊆ V un ouvert affine, u:T →S une présentation, (M,FilM,∇, φ

M

) leϕ-cristal filtré

sur u, évaluation du F-cristal surconvergent localement de Hodge R

¹

f

_∗

A. Le D(u)-module

M/FilM est localement libre de rangg. PosonsM

^′

= D(u

^′

)⊗

_D(u)

M etFilM

^′

= D(u

^′

)⊗

_D(u)

FilM. Posons M = Ae

_cris

(u) ⊗

_D(u)

M

∇=0

≃ Ae

_cris

(u) ⊗

_D(u)

M

/I Ae

_cris

(u) ⊗

_D(u)

M

,

M

^′

=_Ae

∇

cris

(S

^′

)⊗

_Ae∇

cris(S)

M. D’après le théorème de décomposition ([BM10, Théorème 4.27]),

il existe un unique sous-ϕ-module U

^′

, φU

′

deM

^′

tel que

(1) H U

^′

= ((p−1)g+ 1)w;

(2)

e

p

w

M

^′

+ Fil

_I

M

^′

=U

^′

⊕Fil

_I

M

^′

oùw=H(M/FilM) etFil

_I

M

^′

est l’image deA

_cris

(u)⊗

_D(u)

FilM dans M

^′

.

En tensorisant la décomposition

e

p

w

M

′

+ Fil

_I

M

′

=U

′

⊕Fil

_I

M

′

par Λ

₀

(S

′

) au-dessus

deAe

^∇_cris

(S

^′

) et en quotientant par pΛ

₀

(S

^′

)⊗

_e

A^∇_cris(S′)

M

^′

, on a

[pe]

^w

Λ0(S

^′

)/pΛ0(S

^′

)

⊗

_Ae∇ cris(S′)

M

^′

+ Λ0(S

^′

)/pΛ0(S

^′

)

⊗

_Ae∇ cris(S′)

Fil

I

M

^′

=

Λ

₀

(S

^′

)/(p,[pe]

^p−1−w

)Λ

₀

(S

^′

)

⊗

_e A^∇_cris(S′)

U

^′

⊕ Λ

₀

(S

^′

)/pΛ

₀

(S

^′

)

⊗

_e A^∇_cris(S′)

Fil

_I

M

^′

(3)

dans Λ

₀

(S

^′

)/pΛ

₀

(S

^′

)

⊗

_e A^∇_cris(S′)

M

^′

.

On dispose du composé

T →Ae

_cris

(u)→Ae

_cris

(u)/I =Ae

^∇_cris

(S)→Λ

₀

(S)→Λ

₀

(S)/pΛ

₀

(S)→

^∼

S /p

¹⁻¹p

S

l’isomorphismeΛ

₀

(S)/pΛ

₀

(S)→

^∼

S /p

¹⁻¹p

S étant donné parθ◦ϕ

−1

. Il se factorise en un

mor-phisme

ce dernier est égal au composé

D(u)→S →S /p

^p−1

S→

^∼

S /p

¹⁻¹p

S

où le dernier morphisme est l’inverse du Frobenius. On a

Λ

₀

(S

^′

)/pΛ

₀

(S

^′

)

⊗

_e A^∇_cris(S′)

M

^{′ ∼}

→ S

^′

/p

¹⁻¹p

S

^′

ψ_S′

⊗

_D(u′)

M

^′

Λ

₀

(S

^′

)/pΛ

₀

(S

^′

)

⊗

_e A^∇_cris(S′)

Fil

_I

M

^{′ ∼}

→ S

^′

/p

¹⁻¹p

S

^′

ψ_S′

⊗

_D(u′)

FilM

^′

Par ailleurs, on a la suite exacte

0→FilM

^′

→M

^′

→H

¹

A×

_X

Spf(D(u

^′

)),O

_A×XSpf(D(u′))

→0

après extension des scalaires àS

^′

/p

¹⁻¹p

S

^′

, elle fournit un morphisme surjectif G

_S′

-équivariant

S

^′

/p

¹⁻¹p

S

^′

ψ_S′

⊗

_D(u′)

M

^′

→ S

^′

/p

¹⁻¹p

S

^′

ψ_S′

⊗

_D(u′)

H

¹

A×

_X

Spf(D(u

^′

)),O

_A×XSpf(D(u′))

Appliqué à l’égalité (3), il induit un isomorphisme G

_S′

-équivariant canonique

Λ

₀

(S

^′

)/(p,[pe]

^p−1−w

)Λ

₀

(S

^′

)

⊗

_e A^∇_cris(S′)

U

^′ ∼

→ p

^wp

S

^′

/p

¹⁻p¹

S

^′

ψ_S′

⊗

_D(u′)

H

¹

A×

X

Spf(D(u

^′

)),O

_A×XSpf(D(u′))

En outre, Λ

₀

(S

^′

)/pΛ

₀

(S

^′

)

⊗

_e

A^∇_cris(S′)

U

^′

est libre de rang g surS

^′

/p

¹⁻¹p

S

^′

, et sa hauteur de

Hodge vaut

1

p

H U

^′

= ((p−1)g+ 1)

^w_p

D’après [BM10, Proposition 5.25], commeH U

′

<

¹_p

le F

_p

-espace vectoriel

V

_1,S′

:=V Λ

₀

(S

^′

)/(p,[pe]

^p−1−w

)Λ

₀

(S

^′

),U

^′

est de dimensiong. Soitul’image deσ

₁

(ξ) =

^p−_p^[ep]p

,i.e.de1−

^[ep_p^]p

dans Λ

₀

(S

′

)/pΛ

₀

(S

′

). C’est

une unité. D’après ce qui précède et par le Lemme [BM10, 5.23], leF

_p

-espace vectoriel V

_1,S′

s’identifie au noyau de

p

^wp

S

^′

/p

¹⁻²p

S

^′

ψ_S′

⊗

_D(u′)

H

_S¹′ uφ−pp¹

−−−−→ p

^wp

S

^′

/p

¹⁻¹p

S

^′

ψ_S′

⊗

_D(u′)

H

_S¹′

.

oùH

_S¹′

:=H

¹

A×

X

Spf(D(u

^′

)),O

_A×XSpf(D(u′))

.

Notons u

₀

l’image de

∞

X

m=0

m!

₁ p−1

m

−[pe]

^p

p

[m]

dansΛ

₀

(S

^′

)/pΛ

₀

(S

^′

)(comme l’idéalp_Ae

∇

cris

(S

^′

)+Ker(θ)est à puissances divisées dans_Ae

∇

cris

(S

^′

),

on a

_−[ep]p p

[m]

∈ Ae

^∇_cris

(S

^′

)). Comme m!

p−¹1 m

=

^m

Q

⁻¹ i=0 1−i(p−1) p−1

, on a v

_p

m!

p−¹1 m

>⌊

^m_p

⌋, ce

qui implique que la série qui précède converge dansAe

^∇_cris

(S

′

) (pour la topologiep-adique). On

a bien sûr u=u

^p₀⁻¹

. Par ailleurs, pourg∈ G

_S′

, on ag([pe]) = [ζ]

^c(g)

[ep](où c:G

_S′

→Z

_p

(1)est

un cocycle), de sorte que g

[ep]p

p

vaut1, l’élément u

₀

est invariant sous l’action de G

_S′

. On a donc un diagramme commutatif

0

//

V

_1,S′ //

p

^wp

S

^′

/p

¹⁻²p

S

^′

ψ_S′

⊗

_D(u′)

H

_S¹′ uφ−pp¹ / / u0

p

^wp

S

^′

/p

¹⁻¹p

S

^′

ψ_S′

⊗

_D(u′)

H

_S¹′ u0

0

//

Ve

_1,S′ //

S

^′

/p

¹⁻²p

S

^′

ψ_S′

⊗

_D(u′)

H

1 S′ φ−p¹p / /

S

^′

/p

¹⁻¹p

S

^′

ψ_S′

⊗

_D(u′)

H

1 S′

Comme u

₀

est inversible, les applications verticales sont injectives, comme il est invariant

sous l’action de G

_S′

, elles sont G

_S′

-équivariantes. Par ailleurs, le F

_p

-espace vectoriel Ve

_1,S′

est de dimension g en vertu de [BM10, Proposition 5.25]. Il en résulte qu’on dispose d’un

isomorphismeF

_p

-linéaireG

_S′

-équivariant canonique V

_1,S′ ∼

→_Ve

_1,S′

. En tordant à la Tate, on en

déduit, comme dans la Proposition A.3.1, la suite exacte

0→V

_1,S′

(−1)

g HT₁₋2 p

−−−−−→

p

⁻p−¹1

_Sb

^′

_⊗

_D(u′)

H

_S¹′

⊗ S

^′

/p

¹⁻²p

S

^′

φ−p¹p

−−−−→

p

⁻p−¹1

_Sb

^′

_⊗

_D(u′)

H

_S¹′

⊗ S

^′

/p

¹⁻p¹

S

^′

(4)

(en notant quet_Sb

^′

_=p

1

p−1

ξ_Sb

^′

_).

Par ailleurs, avec les notations de [AG07], siv(λ)∈

_p

(p−1)(2p−1)

,

_p−¹₁

, et r= (p−1)v(λ),

on a

0→H

¹_fppf

A⊗

_S

S

^′

, G

_λ

(−1)

^H1(ρλr)

−−−−→ S

^′

/p

^r

S

^′

ψ_S′

⊗

_D(u′)

H

_S¹′ φ−a(λ)

−−−−→ S

^′

/pS

^′

ψ_S′

⊗

_D(u′)

H

_S¹′

(voir [AG07, Theorem 8.1 & Proposition 12.1]).

Prenons λ = −p

¹p

et r = 1−

¹_p

; on a

p

(p−1)(2p−1)

< v

_p

(λ) =

¹_p

6

_p−¹₁

vu que p > 3 et

a(λ) ≡p

¹p

mod pZ

_p

(carw

_p−1

≡(p−1)! mod p,cf [OT70, Proposition p.9]), de sorte que

l’isomorphisme H

¹

(ρ

^λ_r

) induit l’identification

0→H

¹_fppf

A⊗

_S

S

^′

, G

_λ

(−1)

^H1(ρλr)

−−−−→ S

^′

/p

¹⁻¹p

S

^′

ψ_S′

⊗

_D(u′)

H

_S¹′ φ−p¹p

−−−−→ S

^′

/pS

^′

ψ_S′

⊗

_D(u′)

H

_S¹′

(5)

Les applications de passage au quotient S

^′

/pS

^′

→S

^′

/p

¹⁻¹p

S

^′

et S

^′

/p

¹⁻¹p

S

^′

→S

^′

/p

¹⁻²p

S

^′

induisent un morphisme entre les suites exactes (5) et (4).

On a donc une application naturelle entre les noyaux

π

₁

:H

¹_fppf

A⊗

_S

S

^′

, G

_λ

(−1)→V

_1,S′

(−1)

D’après [BM10, Lemme 5.23], c’est un isomorphisme.

Avec les notations de [AG07, Definition 6.5], on a

H

¹_fppf

A⊗S

^′

, µ

_p

[λ]

:=H

¹_fppf

A⊗

_S

S

^′

, G

_λ

֒→H

¹_fppf

A⊗

_S

S

^′

, µ

_p

Mais comme v

p

(λ) =

¹_p

, le sous-groupe canonique H

1

⊗S

^′

coïncide avec l’orthogonal de

H

¹_fppf

A⊗

_S

S

^′

, µ

_p

[λ]

pour l’accouplement de Weil

A⊗

_S

S

^′

[p]×H

¹_fppf

A⊗

_S

S

^′

, µ

_p

(cf [AG07, §13.1]). Rappelons que H

¹_fppf

A⊗

_S

S

^′

, µ

_p

=A

t

[p](S

^′

). Il en résulte donc que

V

₁^∨_,S′

(1)→

^∼

H

¹_fppf

A⊗

S

S

^′

, µ

p

/V

_1,S′ ∼

→H

D

1

⊗

S

S

^′

(le premier isomorphisme étant déduit de la polarisation principale), de sorte que V

_1,S′

≃

H

₁

⊗

_S

S

^′

, ce qu’on voulait.

B.2 Comparaison des applications de Hodge-Tate d’échelon 1

Soit v <

¹₂

etr= 1−v. Le schéma abélienA surX

^f

(v) est principalement polarisé, mais

afin de mettre en évidence la fonctorialité utilisée, on distinguera dans cette section la variété

abélienne de sa duale A

t

.

Posons λ

₀

=−p

p¹

,λ

₁

= (−p)

p−¹1

et soit λde valuation

1

p

< v(λ)<

_p−¹₁

telle que (p−1)·

v(λ) = 1−v = r. Si v(α) 6 v(β), on note comme dans [AG07, Sect.5.3] η

_β,α

: G

_β

→ G

_α

le

morphisme de schémas en groupes donné par(1+βu)7→1+α·(β/α)u. Pour toutt∈

1−

¹_p

,1

,

soitS

^′_t

=S

^′

/p

^t

S

^′

.

Lemme B.2.1. Les applications de réduction S

^′₁

→ S

^′_r

→ S

^′

1−¹_p

→ S

^′ 1−²_p

induisent un

dia-gramme commutatif

H

¹

(A

t

×S

^′

, G

_λ1

)(−1)

^H 1 ρ^λ1 1

/ / ηλ₁,λ

H

¹

(A

t

×S

^′₁

,O

_At

)

H

¹

(A

t

×S

^′

, G

_λ

)(−1)

^H 1(ρλ r) / / ηλ,λ₀

H

¹

(A

t

×S

^′_r

,O

_At

)

H

¹

(A

^t

×S

^′

, G

_λ0

)(−1)

H1 ρ^λ0 1−1 p

/ / π1

H

¹

(A

^t

×S

^′ 1−1 p

,O

_At

)

V

_1,S′

(−1)

g HT₁₋2 p / /

p

⁻p−¹1

·H

¹

(A

^t

×S

^′

,O

_At

)

1−2 p

oùπ

₁

est le morphisme entre les noyaux des suites exactes courtes (5) et (4) définies ci-dessus

etHTg

₁₋2

p

désigne la réduction modulo p

¹⁻p²

de l’application gHTdéfinie dans A.3.2.

Démonstration. La commutation des deux premiers carrés est évidente, et la proposition

[AG07, Prop.12.1] montre que les flèches verticales η

_λ1,λ

et η

_λ,λ0

sont des isomorphismes.

Le dernier carré commutatif est donné par le morphisme de suites exactes de (5) vers (4) ; on

a vu que le morphismeπ

1

est un isomorphisme.

L’inclusion H

¹

(A

^t

×S

^′

, G

_λ

)⊂H

¹

(A

^t

×S

^′

, µ

_p

) donnée par le morphisme de faisceaux fppf

G

_λ

→µ

_p

,u7→1 +λu s’identifie à l’inclusion du sous-groupe canonique A[p]

^λ

dans A[p](voir

Lemme 12.3 de [AG07]).

D’autre part, avec les notations de [AIP, Prop.3.2.2 et Section 4], les applications de

res-triction induisent les isomorphismes de faisceaux fppf : ω

_A/Xf(v),r

∼_=ω

A[p]/Xf(v),r

(voir [AIP,

4.2.1]), etω

_A[p]/Xf(v),r

∼_=ω

H1/Xf(v),r

=ω

_H1/Xf(v)

. De plus, H

₁^⊥

s’identifie au noyau de

l’appli-cation de Hodge-Tate classiqueHT

_A[p]

:A

^t

[p]→ω

_A[p]/Xf(v)

.

Pour Spf S

^′

⊂X

^f

(v), considérons le morphisme de Hodge-Tate classiqueHT

₁

(S

^′

) =α

_H1

associé à H

₁

(cf [FT10]), donné par H

D

1

(S

^′

) ∋ x 7→ x

^{∗ d}_T^T

qu’on a posér= 1−v. Pour tout S

^′_r

-module fini M, on note M

^∨

=Hom

_S′

r

(M, S

^′_r

).

Proposition B.2.2. Supposons qu’on aitv <

^vBM

p

(donc v <

¹_p

). Le diagramme suivant est

commutatif

A[p]

D

(S

^′

)

^HTA[p] //

ω

_A/S′ r

A[p]

λ,D

(S

^′

)

_r ^H

H

¹

(A

t

×S

^′_r

,O

_At

)

^∨ 1(ρλ r)∨ o o

Remarque B.2.3. La donnée de λ

₁

fournit une racine primitive p-ième de l’unité canonique

ζ dans Z

_p

/λ

^p₁

Z

_p

. En effet, par [BS66, Chap.5 Sect.6.2], l’exponentielle tronquée en degré< p,

notéeE, permet de définir la racine primitivep ième de l’unitéζ =E(λ

₁

) dansZ

_p

/λ

^p₁

Z

_p

. Par

conséquent, l’accouplement de Weil de x ∈ A[p]

D

(S

^′

) et de y ∈A[p]

λ

(S

^′

) définit un élément

a∈Z/pZ tel quehx, yi=ζ

a

. La proposition revient à montrer que sihx, yi=ζ

a

, alors pour

la dualité entre Lie(A)etω

_A

, on ahHT

_A[p]

(x),H

¹

(ρ

^λ_r

)(y)i

_r

=a.

Démonstration. Il suffit de montrer l’énoncé pour (λ

₁

,1) à la place de (λ, r). En effet par la

commutation du premier carré de B.2.1, six∈A[p]

D

ety∈A[p]

^λ1

, la relationhx, yi=ζ

^a

eta=

hHT

_A[p]

(x),H

¹

(ρ

^λ1

1

)(y)i

₁

entraîne la relationhx, η

_λ1,λ

(y)i=ζ

^a

eta=hHT

_A[p]

(x),H

¹

(ρ

^λ_r

)(y)i

_r

;

comme η

_λ1,λ

est un isomorphisme de A[p]

λ1

versA[p]

λ

, la proposition en résulte.

On fixe donc λ

₁

= (−p)

p−¹1

et r = 1 dans ce qui suit. Soit m l’idéal maximal de Z

_p

; on

pose

A(m) =Ker A(S

^′

)→A(S

^′

/mS

^′

)

.

Rappelons qu’il y a un unique homomorphisme de groupes formels

ℓ

_A

:A(m)→Lie(A)⊗

_S′

S

^′

[p

⁻¹

]

dont la dérivée en 0est Id; c’est le logarithme de A (voir [Haz78, Prop.11.1.6]). Considérons

le sous-faisceau Ob

_At

(m)

×

de Ob

_A^×_t

des fonctions formelles sur A

t

×S

′

à valeurs congrues à 1

mod.m. La série logarithme usuelle définit un morphisme de faisceaux

log : Ob

_At

(m)

^×

→Ob

_At

[p

⁻¹

]

d’où en passant à la cohomologie un morphisme de groupes :

H

¹

(log) : H

¹

(A

^t

×S

^′

,Ob

_At

(m)

^×

)→H

¹

(A

^t

×S

^′

[p

⁻¹

],O

_At

)

On aH

¹

(A

^t

×S

^′

,Ob

_At

(m)

^×

) =A(m) et H

¹

(A

^t

×S

^′

[p

⁻¹

],O

_At

) =Lie(A)⊗

_S′

S

^′

[p

⁻¹

]. Avec ces

identifications, la dérivée de l’homomorphisme H

¹

(log) en 0 est l’identité. On trouve donc

H

¹

(log) =ℓ

_A

. Soitx∈Hom(_A,b _Gb

_m

_{), et x∗ ∈}Hom(Lie(_Ab_),Lie(_Gb

_m

_{))sa dérivée ; en}

caractéris-tique zéro, il est facile de vérifier que le diagramme

A(m)

^ℓA // x

Lie(A)⊗

_S′

S

^′

[p

⁻1

]

x∗

b

G

_m

(m)

^log //

Lie(Gb

_m

)⊗

_S′

S

^′

[p

⁻1

]

est commutatif. En effet, siy∈A(m)etf:A(m)→S

^′

[p

⁻¹

], on aℓ

_A

(y)f = lim

n→∞

p

⁻ⁿ

[f(p

ⁿ

y)−

f(0)], et de même, pourz∈Gb

_m

(m)etg:Gb

_m

(m)→S

^′

[p

⁻¹

], on alog(z)g= lim

g(1)]. Il suffit alors de remarquer que pourf =g◦x, on a

x∗(ℓ

_A

(y))g=ℓ

_A

(y)f = lim

n→∞

p

⁻ⁿ

[g(x(p

ⁿ

y))−g(1)] = lim

n→∞

p

⁻ⁿ

[g(x(y)

^pn

)−g(1)]

on trouve donc x

_∗

(ℓ

_A

(y))g= log(x(y))g.

On restreint ce diagramme à A[p]

^λ1

(S

^′

). On note L(1 +λ

₁

u) le tronqué à l’ordre < p

du logarithme log surOb

_At

(λ

₁

)

^×

. On voit donc que ρ

^λ1

1

(u) est la réduction deλ

⁻₁¹

L(1 +λ

₁

u)

modulo p. C’est un morphisme de faisceaux en groupes fppf, soit par [AG07], soit par [BS66,

Chap.5 Sect.6.2]. En réduisant modulop, on déduit de la commutation du diagramme ci-dessus

que pour tout x∈Hom(A[p]

λ1

,G

_m

), le diagramme

A[p]

^λ1

(S

^′

)

^H 1(ρ^λ1 1 ) / / x

Lie(A)⊗

_S′

S

^′₁ x∗

(1 +λ

₁

S

^′

)

^{× λ} −1 1 L / /

S

^′₁

est commutatif.

Montrons alors la proposition B.2.2. Six∈A[p]

D

on aHT

₁

(x) =x

∗

(

^dT_T

)∈ω

_A,1

et pour tout

y ∈ A[p]

λ1

(S

^′

), on a H

¹

(ρ

^λ1

1

)(y) ∈Lie(A)

₁

; on peut donc considérer

x

^∗

(

^d_T^T

),H

¹

(ρ

^λ1

1

)(y)

∈

S

′

1

. La commutation du diagramme ci-dessus montre qu’il s’écrit aussiλ

⁻₁¹

L(x(y)). Mais, par

[BS66, Chap.5 Sect.6.2], l’exponentielle tronquée en degré < p fournit une racine primitive

p-ième de l’unité E(λ

₁

) dans Z

_p

/λ

^p₁

Z

_p

, et si x(y) ≡E(λ

₁

)

a

(modλ

^p₁

), on aa =λ

⁻₁¹

L(x(y))

dans Z

_p

/pZ

_p

. Ceci conclut la démonstration.

Annexe C. Module de Dieudonné d’une variété semiabélienne

C.1 Log-cristal de la variété de Kuga-Sato

Par [FC90, Chap.VI, Th.1.1], il existe un W-morphisme propre et log-lisse f: A → X

prolongeant le schéma abélien universel f:A → X; il est associé à une décomposition en

cônes polyédraux rationnels Σe compatible à la décomposition Σ préalablement fixée pour

définirX. On suppose que_Σe _{est assez fine pour que le schéma semi-abélienG →X soit muni}

d’une immersion ouverte dans A au-dessus deX. On a la suite exacte de Hodge

0→ω

_G/X

→ H

_logdR¹

(A/X)→ω

^∨_G/X

→0

On a également une connexion à pôles logarithmiques

∇:H

¹_logdR

(A/X)→ H

_logdR¹

(A/X)⊗Ω

_X

(dlog D)

oùD désigne le diviseur à l’infini de X sur W. En outre, on peut définir un endomorphisme

de Frobenius de la manière suivante. Par log-lissité,H

¹_logdR

(A/X) =H

¹_logcris

(A

s

/X) où sest

le point fermé de W. Le Frobenius absolu de A

_s

induit par fonctorialité un endomorphisme

W-semilinéaire sur le cristal H

¹_logcris

(A

_s

/X) sur X /W. SurX

^f

(v), on dispose du relèvement

excellent de Frobenius ϕ: X

f

(

^v_p

) → X

f

(v) défini par la "propriété universelle" de la

com-pactification toroïdale [FC90, Th.IV.5.7 (5)] : G

_ϕ(x)

= G

_x

/H

_1,x

, où H

₁

→ X

f

(v) désigne le

schéma en groupes canonique fini et plat de G (défini dans [AIP, Prop.4.1.3]). On peut ainsi

munir H = H

¹_logdR

(A/X

^f

(v)) d’une structure de F-cristal surconvergent de Hodge ([BM10,

Definition 3.20]) à pôles logarithmiques.

C.2 Cartes locales de la variété de Kuga-Sato

On va utiliser les notations de [FC90, IV.5.7, IV.6.7 et VI.1], ainsi que celles de 9.1. On doit

comparer φ

^∗_P

H

¹_logcris

(A/X) avec le module de Dieudonné contravariant D

∗

GP

sur Ξ

P,Σ_P

. Soit

A

_P

→Y

_P^f

la variété abélienne universelle sur la strateY

_P^f

, soit0→L

^∗_P

⊗G

_m

→G

_P

→A

_P

→0

l’extension de Raynaud surB

_P^f

etΞ

^f_P

→ B

^f_P

le torseur sousU

_P

(Γ)⊗G

_m

sur lequel le pull-back

de G

_P

(encore noté G

_P

) est muni d’une structure de 1-motif polarisé L

_P

→ G

_P

. Le schéma

formel_Ξe

f

P

= Ξ

^f_P

×

_Bf

P

G

P

est muni d’une action deG

P

et deL

P

(par la structure de1-motif de

G

_P

au-dessus de Ξ

_P

), au-dessus du morphisme _Ξe

f

P

→ Ξ

^f_P

donné par la première projection.

Soit Ue

_P

(Γ) =U

_P

(Γ)⋉L

^∗_P

; considérons le tore F

_P

=Ue

_P

(Γ)⊗G

_m

. On a une décomposition

F

_P

=E

_P

×(L

∗

P

⊗G

_m

). On a donc une fibration (triviale) F

_P

→E

_P

en tores L

∗

P

⊗G

_m

. On

voit que _Ξe

f

P

est unF

_P

-torseur au-dessus deA

_P

via la composée

e

Ξ

^f_P

→Ξ

^f_P

×

B_P

A

P

→A

P

.

Soit_Σe

_P

_{une décomposition en cônes polyédraux rationnels, admissible pourΓ}

_P,ℓ

⋉L

P

, du

cône Ce

_P

⊂ Ue

_P

(Γ). On la suppose compatible avec la décomposition Σ

_P

de C

_P

, admissible

pour Γ

_P,ℓ

(pour les détails, voir [FC90, VI.1]). On forme l’immersion torique F

_P

⊂ F

_P,Σe

P

;

elle est munie d’un morphisme F

_P,Σe

P

→ E

_P,ΣP

compatible avec les actions des tores F

_P

et

E

P

via F

P

→E

P

. On définit_Ξe

f P,_Σe_P

=e_Ξ

f P FP

× F

P

Le morphisme _Ξe

f P,_Σe_P

→ B

^f_P

×

Y_P

A

P

est un

fibré en F

_P,Σe P

. Le schéma formel_Ξe

f

P,_Σe_P

est encore muni d’une action de G

_P

et d’une action

de L

_P

via L

_P

→G

_P

,au-dessus deΞ

f

P,Σ_P

.

On note f:Ξe

f

P,_Σe_P

→Ξ

f

P,Σ_P

le morphisme canonique. SoitΞb

f

P,Σ_P

la complétion formelle de

Ξ

^f_P,ΣP

par rapport au diviseur Z

_P,^f _ΣP

(voir 9.1) et _Ξbe

^f_P,Σe

P

la complétion formelle par rapport

au diviseurf

^∗

Z

_P,^f _ΣP

. On omet désormais l’exposant f pour alléger les notations.

Par [FC90, VI.1.11], on sait qu’après complétion formelle le long de D

_P

, le pull-back de

A→ X par φ

_P

s’identifie au morphisme

be

Ξ

_P,Σe

P

/L

_P

→_Ξb

_P,ΣP

induit par f.

C.3 Dévissage du log-cristal de la variété de Kuga-Sato sur une carte locale

On a (après complétion formelle) :

\

φ

∗

P

H

1

logcris

(A/X) =H

¹_logcris

(Ξbe

_P,Σe

P

/L

_P

)/Ξb

_P,ΣP

.

Proposition C.3.1. 1) Le morphisme de quotient de Mumford

π

_P

: beΞ

_P,Σe

P

→Ξbe

_P,Σe P

/L

_P

induit un morphisme de log-F-cristaux sur_Ξb

f

P,ΣP

:

H

¹_logcris

(_Ξbe

P,_Σe_P

/L

P

)/_Ξb

_P,ΣP

^πP^∗

−−→^D

^∗_cris

(G

P

/_Ξb

_P,ΣP

₎

2) SoitU =Ξb

^f_P,^,ord_Σ P

∪Ξb

f

P

; c’est un ouvert formel deΞb

f

P,ΣP

. La restriction deπ

_P^∗

àU s’insère

dans une suite exacte courte

0→Hom(L

_P

,O

_U,cris

)→ H

_logcris¹

(Ξe

_P,Σe

P

/L

_P

)|

_U

/U

_π∗ P

−−→D

∗

cris

(G

_P

/U)→0.

RemarqueC.3.2. On notera que dans la suite exacte, seul le terme du milieu est à singularités

logarithmiques.

Le schéma formel p-adiqueΞb

_P,ΣP

donne par la construction de Berthelot [dJ95] un espace

rigide _Ξb

rig

P,ΣP

. Pour simplifier, on pose S = _Ξb

rig

P,ΣP

et S

_log

le schéma logarithmique donné

par S et son diviseur à l’infini. On pose aussi A = Ξe

_P,Σe

P

/L

_P

, G = Ξb

^rig_P,Σ

P

×

_BP

G

_P

, G

^♥

=

(Ξb

^rig_P,Σ

P

×

_BP

G

_P

)/L

_P

, etG=Ξbe

^rig_P,Σe_P

. Rappelons qu’on aG⊂Get qu’on peut supposerG

^♥

⊂A.

On noteπ

_P

la flèche de quotient de Mumford G→A.

Lemme C.3.3. On a une suite exacte de faisceaux localement libres sur S :

0→Hom(L

_P

,O

_S

)→ H

¹_logdR

(A/S

_log

)

^π

∗ P

−−→ H

¹_logdR

(G/S)→0 (∗)

De plus la flèche de restriction ρ: H

1

logdR

(G/S) → H

1

dR

(G/S) induite par G ⊂ G est un

isomorphisme.

Remarque C.3.4. 1) Soit L

_P

le sous-faisceau du faisceau constant L

_P

, constructible sur S

donné par les sous-groupes abéliens L

_σ

de L

_P

de rang r

^′

−r sur une strate Z

_P,σ

où le rang

torique de G

^♥

vaut g−r

^′

(r 6r

^′

6g). Notons encore π

_P

la flèche de quotient de Mumford

G→G

♥

; On a aussi une suite exacte

0→Hom(X

_P

,O

_S

)→ H

¹_dR

(G

^♥

/S)

^π

∗ P

→ H

¹_dR

(G/S)→0

[Pour montrer l’exactitude, il suffit de travailler fibre à fibre sur chaque strate où le rang de

la partie torique de G

^♥

est constant.]

2) Concernant l’inclusionG

♥

⊂A, le morphismeρ n’est pas un isomorphisme : le rang de

H

_logdR¹

(A/S) est constant égal à 2g tandis que celui de H

_dR¹

(G

^♥

/S) diminue sur les strates

non ouvertes (et vautg+r sur la strate fermée). Il s’agit d’un faisceau cohérent qui n’est pas

localement libre.

Démonstration. On sait queH

¹_logdR

(A/S

_log

)est localement libre de rang2g([FC90, Chap.VI]

et [LS]). Par ailleurs,H

1

logdR

(G/S)est localement libre de rang fini. En effet,G\Gest un

divi-seur à croisements normaux relatif surS. L’espaceS est réunion stricte (infinie) d’ affinoïdes ;

il suffit donc de vérifier l’assertion pour S affinoïde,et même supposer que S est un schéma

S = SpecB lisse de type fini sur Q. On peut alors étendre les scalaires à C et appliquer

[Del70, Cor.3.14] qui montre que l’inclusion G ⊂ G au-dessus de S induit l’isomorphisme

ρ:H

¹_logdR

(G/S)^∼=H

¹_dR

(G/S). Par le théorème de Grothendieck relatif [Gro66, Th.2], on voit

queH

1

dR

(G/S) est localement libre de rang fini. CommeGest extension deA

_P

par L

∗

P

⊗G

_m

,

on trouve que le rang deH

¹_dR

(G/S) est2r+g−r=g+r. On déduit qu’il en va de même sur

S=Ξb

^rig_P,Σ

P

.

Par [Mum70, Chap.II.5, Cor.2] (où l’hypothèse de propreté n’est pas nécessaire, lorsque la

cohomologie relative est de rang fini constant), il suffit de vérifier l’exactitude de la suite (∗)

fibre à fibre.

Soitx∈S et soitK le corps résiduel de x(on peut supposer que c’est un corps p-adique).

On procède comme dans [CI99, 2.1] pour définir un morphisme

Ker π

^∗_P

→Hom(X

_P

, K)

Soit (U

_i

)un recouvrement de A par des ouverts affines ; soitU

_i,j

=U

_i

∩U

_j

. Un élément sde

Ker π

^∗_P

est une classe de cohomologie dansH

¹_logdR

(A

x_log

)(où x

_log

est le point logarithmique

obtenu comme composé de la log-structure de S avec x:O

_S

→ K) . On note ω

¹

le faisceau

des différentielles logarithmiques pour le morphismeA

_x,log

→x

_log

. La classesest représentée

par un élément ((ω

i

)

i

,(f

i,j

)

i,j

) ∈ L

i

f∗ω

_U¹_i

⊕L

i,j

f∗O

Ui,j

fermé pour la différentielle totale,

et tel qu’il existe des sections h

_i

(localement sur S) de L

i

f∗O

_Ui

telles que π

^∗_P

ω

_i

= dh

_i

et

π

^∗_P

=h

_i

−h

_j

sur U

_i,j

. Pour chaque γ ∈ L

_P

, on définit alors g

_i

= γ

^∗

h

_i

−h

_i

et on note que

dg

i

= 0 etg

i

−g

j

= 0surU

i,j

. Les fonctionsg

i

fournissent donc localement une fonction surS

notéeg

_γ

. La forme linéaireγ 7→g

_γ

est l’imageψ(s)descherchée. On voit queψest injective.

Il en résulte, en comparant les dimensions, queπ

_P^∗

est surjective et que la suite est exacte.

de la proposition C.3.1. Soit E(G)/S l’extension vectorielle universelle de G/S; en notant

encoreG/S le groupe de Barsotti-Tate de G, etG

^D

son dual de Cartier, c’est une extension

deGpar ω

_GD

[Mes72, Chap.IV, Cor.1.14]. On sait que le module de Dieudonné covariant de

G/S est défini par D(G/S)

rig

= Lie(E(G)/S) (par Mazur-Messing, Th.1 qui ne traite que le

cas abélien, mais la démonstration est la même dans le cas de l’extension de RaynaudG). Par

[Col98, Th.1.2.2] on a un isomorphisme canoniqueH

1

dR

(G/S) ^∼= Inv(Ω

¹_E(G)/S

). On a donc un

isomorphisme canoniqueH

1

dR

(G/S) =D

∗

(G/S)

rig

.

Pour étudier l’intégralité de la flèche induite par π

_P

, on se restreint d’abord de _Ξb

f

P,ΣP

à Ξb

f

P

; on observe, par la propriété d’universalité de l’extension vectorielle universelle que le

morphismeπ

_P

:G→Adéfini sur Ξb

f

P

induit une suite exacte de schémas en groupes surΞb

f

P

:

0

//

ω

_GD // πP

E(G)

//

G

// πP

0

0

//

ω

_AD //

E(A)

//

A

//

0

ceci fournit un morphismeD(G)→D(A)injectif sur les modules de Dieudonné covariants. En

effet,π

_P

induit un isomorphismeLie(G)^∼=Lie(A), et on voit facilement par le lemme des cinq

que la multiplication parp

ⁿ

(pour toutn>1) fournit une suite exacte courte

0→G[p

ⁿ

]→ A[p

ⁿ

]→L

_P

/p

ⁿ

L

_P

→0

ce qui fournit par dualité de Cartier la suite exacte courte 0 → (L

_P

/p

ⁿ

L

_P

)

^D

→ A[p

ⁿ

]

^D

→

G[p

n

]

D

→0 qui donne par passage aux différentielles l’injection

ω

_GD

֒→ω

_AD

.

D’ où, par [MM74, Th.1] un morphisme surjectif induit par π

_P

:

H

¹_cris

(A/Ξb

^f_P

)

^π

∗ P

−−→D

∗

(G

_P

/bΞ

^f_P

)→0.

De plus par le lemme C.3.3, ce morphisme se prolonge à Ξb

^rig_P,Σ

P

(c’est à dire quand on inverse

p). Pour voir qu’il se prolonge en fait à Ξb

f

P,ΣP

, c’est à dire qu’il préserve l’intégralité, il suffit

de remarquer que l’injection induite par la restriction de Ξb

f

P,ΣP

à Ξb

f

P,ΣP

:

O

_Ξbf

P,Σ_P

֒→ O

_Ξbf

est de conoyau sans p-torsion, ce qui évident sur les cartes affines explicites pour chaque cône

σ ∈Σ

_P

, grâce au sous-lemme :

Sous-Lemme C.3.5. Soit A une W[[T]]-algèbre plate, régulière. Soit L un A-module libre de

rang N. Soit L

^′

un A-module de type fini contenu dans L[p

⁻1

]. On suppose que L

^′

[p

⁻1

] =

L[p

⁻¹

]etL

^′

[T

⁻¹

] =L[T

⁻¹

]. Alors, L

^′

⊂L.

Démonstration. Comme Lest réflexif, on peut localiser en hauteur1, etAdevient principal.

Si f ∈ L

^′

, on sait qu’il existe m

₁

, m

₂

> 0 tels que p

m1

f ∈ L et T

m2

f ∈ L. Ceci entraîne

f ∈L.

Remarque C.3.6. Par contre, L

^′

n’est pas nécessairement libre de sorte que l’inclusion peut

être stricte. Exemple :L

^′

= (p, T)⊂W[[T]].

Pour montrer l’intégralité de la flèche ψ du lemme C.3.3, on utilise le relèvement de A à

W donné par la construction de Faltings-Chai et on calcule le H

¹_logcris

(A/_Ξb

_P,ΣP

_{) comme la}

cohomologie log-de Rham entière. On obtient ainsi un diagramme

0→Ker π

_P^∗

→ H

_logcris¹

(_Ξe

P,_Σe_P

/L

P

)/_Ξb

_P,ΣP

^πP^∗

−−→^D

^∗_cris

(G

P

/_Ξb

_P,ΣP

₎

Avec ψ: Ker π

∗ P

֒→Hom(L

_P

,O

_Ξb P,Σ_P,cris

).

Ces morphismes sont clairement des morphismes de log-cristaux (car ils sont compatibles

aux connexions par construction). De plus, ces morphismes sont compatibles avec les

Frobe-nius. Pour cela on rappelle que la formation du H

¹_logcris

(_Ξe

P,_Σe_P

/L

_P

)/_Xic

_P,ΣP

_{commute au}

changement de base, on peut vérifier la compatibilité aux Frobenius en procédant fibre à fibre.

Soit x un point fermé de (_Ξb

f

P,ΣP

)

_red

, K(x) son corps résiduel le morphisme π

_P^∗

se factorise

comme suit

H

¹_logcris

(A

_x

/W(K(x))

_log

)→H

¹_rig

(G

^♥_P,x

)→H

¹_rig

(G

_P,x

)→D

∗

(G

_P,x

)

On reprend alors l’argument de [CI99, 2.(ii)], la première flèche est construite comme dans

[Chi99] ; elle est Frobenius équivariante par construction. La seconde est induite par π

_P

, et est

donc compatible au Frobenius par fonctorialité. La compatibilité avec Frobenius du dernier

isomorphisme se montre séparément pour la partie abélienne (qui résulte des théorèmes de

comparaison pour les variétés abéliennes entre coholomogie rigide et cristalline d’une part et

cohomologie cristalline et module de Dieudonné d’autre part), et pour la partie torique, on se

ramène à G

_m

et la vérification est immédiate.

Reste à vérifier que ces données fournissent la suite exacte désirée quand on se restreint à

l’ouvert U et en fait uniquement à l’ouvert ordinaire. En chaque pointx de_Ξb

f,ord

P,Σ_P

, la fibre de

H

_logcris¹

(_Ξe

P,_Σe_P

/L

_P

)/_Ξb

_P,ΣP

_{s’identifie au} H

¹_logcris

de la fibre. Comme l’image et le noyau de

π

∗

P,x

sont ordinaires commeF-cristaux. On en déduit que leH

¹_logcris

de la fibre est ordinaire, et

par un calcul facile, on voit que son espace de pente 0 est de dimensiong et se surjecte sur la

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