Como já foi dito, o objetivo desta pesquisa é obter as propriedades viscoelásticas homogeneizadas de MAFs, e de misturas asfálticas, para uma dada temperatura, a partir das respostas mecânicas de simulações em CPVs, semelhantemente aos ensaios realizados em laboratório. O módulo de relaxação, geralmente expresso na série de Prony dada na Equação (2.1) é uma função que caracteriza os materiais viscoelásticos quanto ao seu comportamento mecânico. Portanto, ao obterem-se os valores das constantes dessa série, fica definida a propriedade mecânica de rigidez do material viscoelástico. Outra propriedade mecânica a ser determinada através de simulações é a curva característica de dano de misturas asfálticas.
3.9.1 Obtenção do Módulo de Relaxação com a Utilização dos Valores dos Módulos Dinâ- micos e Ângulos de Fase
O ensaio de módulo complexo unidimensional em materiais viscoelásticos fornece os valores do módulo dinâmico, |E∗|, do módulo de armazenamento, E1, e do módulo de perda,
E2, para determinada temperatura e determinada frequência da solicitação periódica no regime estacionário, com as equações:
|E∗| = σo εo
(3.38)
E1= |E∗| cos(ϕ) (3.39)
E2= |E∗| sen(ϕ) (3.40)
onde σoé a tensão de pico observada no ciclo da solicitação periódica;
εoé a deformação de pico observada no ciclo da solicitação periódica;
ϕ é o ângulo de fase calculado com a equação:
ϕ = ω ∆t (3.41)
em que ω = 2π f é a frequência angular da solicitação;
∆t é o intervalo de tempo, medido no ensaio, entre os picos de tensão e de deformação sucessivos. Os módulos de armazenamento e de perda, obtidos, respectivamente com as Equa- ções (3.39) e (3.40), podem ser usados para obterem-se as constantes da série de Prony do módulo de relaxação com a utilização dos métodos da colocação (SHAPERY, 1961) e dos mínimos quadrados (CROW et al., 2011). Para isso, adotam-se como funções de ajuste (fitting)
as expressões das respostas teóricas dos módulos de armazenamento, E1(w), e de perda, E2(w),
dadas nas equações (PARK; SCHAPERY, 1999): E1(ω) = E∞+ m
∑
j=1 ω2ρ2j Ej ω2ρ2j + 1 (3.42) E2(ω) = m∑
j=1 ω ρj Ej ω2ρ2j + 1 (3.43) |E∗| = q E12(ω) + E22(ω) (3.44)onde m é o número de termos da série de Prony do módulo de relaxação.
Assim, obtidos do ensaio (ou da simulação) os módulos de armazenamento, E1k, e
os módulos de perda, E2k, para cada valor da frequência angular, ωk (k = 1, 2, . . . n), procede-se
da seguinte maneira:
1) Define-se o número, m, de termos da série de Prony do módulo de relaxação;
2) Arbitram-se valores para ρj( j = 1, 2, . . . m), separados uns dos outros de uma década
logarítmica;
3) Para encontrar os Ej( j = 1, 2, . . . m), minimiza-se a função soma dos quadrados dos desvios
entre os valores observados e os valores estimados dos módulos de perda:
n
∑
k=1 ∆2k= n∑
k=1 (E2(ωk) − E2k)2 (3.45) onde,né o número de frequências consideradas no ensaio de módulo complexo; E2ké o valor observado do módulo de perda, calculado com a Equação (3.40); E2(ωk) é o valor estimado do módulo de perda, calculado com a Equação (3.43);
4) Com os valores de Ej( j = 1, 2, . . . m) calculados no passo anterior, calcula-se E∞, minimizando-
se a função soma dos quadrados dos desvios entre os valores observados e os valores estimados dos módulos de armazenamento:
n
∑
k=1 ∆2k= n∑
k=1 (E1(ωk) − E1k)2 (3.46) onde,E1ké o valor observado do módulo de armazenamento, calculado com a Equação (3.39); E1(ωk) é o valor estimado do módulo de armazenamento, calculado com a Equação (3.42).
Para calcular os Ejque minimizam a Equação (3.45) e o valor de E∞que minimiza a
Equação (3.46), utiliza-se o Método de Newton-Raphson (RAM, 2016). No presente trabalho de pesquisa foi desenvolvido um programa com essa metodologia. O programa, denominado MREL, apresenta o fluxograma mostrado na Figura 20.
Figura 20 – Parâmetros de entrada e resultados do programa MREL
ENTRADA DE DADOS
Módulos dinâmicos e ângulos de fase para cada frequência angular wk; Valor arbitrado do número, m, de termos da série de Prony e de ρ1;
Calcula os ρsque produzem o maior R2para a função que ajusta-se à E2(w).
?
RESULTADOS
Constantes, E∞e Ei(i = 1, 2, . . . , m), da série de Prony; Curvas que ajustam-se aos |E∗|, aos E1(w) e aos, ϕ dados; Curva do módulo de relaxação x tempo.
Fonte – Autor
3.9.2 Obtenção da Curva Característica de Dano (Curva C x S)
A curva C x S independe do ensaio ser cíclico ou monotônico, com controle de tensão ou de deformação, de suas amplitudes e de suas frequências, sendo a mesma para uma dada temperatura reduzida tomada como referência (NASCIMENTO et al., 2014).
Para obtenção dos parâmetros C11 e C12 da curva de dano, utiliza-se o algoritmo
proposto por Kim (2009) e adaptado para a presente pesquisa. Na execução desse algoritmo, deve-se conhecer a serie de Prony do módulo de relaxação do material, os dados relativos à solicitação utilizada no ensaio de fadiga e os valores de integridade em cada ciclo da solicitação obtidos, no ensaio ou na simulação, com a Equação (2.84). O algoritmo fundamenta-se nas Equações (2.81), (2.83) e (2.84), repetidas aqui por conveniência.
C(S) = 1 −C11 SC12 Sn+1= Sn+ h 1 2C11C12 S (C12−1) n εnR2 iα ∆t Cn+1=σn+1 εn+1R
As adaptações realizadas no algoritmo são:
• O algoritmo original propõe arbitrar-se o incremento de dano, enquanto o algoritmo adaptado propõe arbitrar-se o dano inicial, S0;
• O algoritmo original calcula dCdS
=
∆C∆S, incrementalmente, enquanto o algoritmo adaptado calcula dCdS pela derivada da Equação (2.81), como mostrado na Equação (2.83).
Algoritmo:
1. Arbitram-se valores para os parâmetros C11 e C12 da curva característica de dano da
Equação (2.81);
2. Arbitra-se o parâmetro de dano, S0, em t = 0 (Ver nota de rodapé)1;
3. Calcula-se Sn+1com o valor de Sndo instante anterior, utilizando-se a Equação (2.83), onde
εn+1R é obtido a partir das deformações, ε, (do ensaio ou da simulação) com a utilização da Equações (2.9), (2.10) e (2.11). Alternativamente pode-se calcular a pseudo-deformação, εn+1R , com a utilização das Equações (3.31), (3.33) ou (3.35), para as solicitações em deformação controlada relacionadas na Seção 3.7;
4. Calculam-se novos valores para C11 e C12 que melhor ajustam a curva representada pela
Equação (2.81) ao conjunto de pares ordenados da iteração k, (S(k),C(k)); 5. Se C(k+1)11 − C11(k) C(k)11 ≥ erro e C12(k+1)− C12(k) C(k)12 ≥ erro
, retorna-se ao passo 2 e repete-se o procedimento com os novos valores de C11e C12;
6. Caso contrário, o procedimento para e mostra-se os valores de C11 e C12.
Terminado o passo 3 do algoritmo, tem-se um conjunto de pares ordenados (S,C) que serão utilizados para ajustar (fitting) a Equação (2.81), obtendo-se novos valores para C11 e
C12. O Apêndice F apresenta a técnica de ajuste de curva utilizada. Terminado o passo 4, volta-se ao passo 2 do algoritmo com os novos valores de C11 e C12. O critério de parada será quando o
erro relativo entre os valores de C11 e de C12 entre duas iterações consecutivas for menor a um
erro aceitável dado (por exemplo, 10−3).
O valor de S0é uma incógnita do problema. Dependendo de S0arbitrado, o algoritmo
pode não convergir ou convergir para valores de C11 e C12 que geram uma curva C x S que
não representa as integridades dadas no problema. Isso pode ser observado pela comparação, visual, entre as curvas C x S (gerada com os valores dados de C e com os valores de S calculados com a Equação (2.83)) e a curva C x S obtida com os parâmetros C11 e C12 e os valores de S
calculados com a Equação (2.83). Nesse caso, deve-se arbitra outro valor para S0e reutilizar o
procedimento.
1 No instante t = 0, tem-se teoricamente os valores S
0= 0, e C0= 1, indicando a não existência de dano e a total
integridade do material no instante inicial. No entanto, se o valor de S0= 0 for utilizado na Equação (2.83) o
procedimento para no primeiro passo. Para evitar que isso aconteça, utiliza-se para S0um valor inicial. Essa
aproximação inicial pode ser justificada, fisicamente, pela não existência de um material completamente íntegro, possuindo micro-trincas inerentes à sua fabricação.
Nesse procedimento, o histórico da solicitação está representado pelas pseudo- deformações. Estas podem ser obtidas a partir das deformações despertadas na estrutura pelas ações (cargas ou deslocamentos prescritos), com a utilização da Equação (2.8) ou alternati- vamente com as Equações (2.9), (2.10) e (2.11). Nesse caso, o intervalo de tempo deve ser suficientemente pequeno (por exemplo, ∆t = 0, 001 segundo), em respeito às hipóteses utilizadas na dedução dessas equações. No caso de utilizarem-se, para o cálculo das pseudo-deformações, as Equações (3.31), (3.33) ou (3.35), a exigência de ∆t pequeno não é necessária. Assim, o incremento de tempo na Equação (2.83) pode ser, por exemplo, igual ao período da solicitação. Em todos os casos, os valores das integridades serão calculados com a utilização da Equação (2.84) nos instantes correspondentes às observações das tensões durante o ensaio. Com esse algoritmo foi desenvolvido o programa CalcCxS.