Profil d’aimantation : quantification des vecteurs d’ondes

Pour une épaisseur L de la couche magnétique, on calcule les vecteurs d’ondes kset kbautorisés, sachant que l’un se déduit de l’autre par l’Eq. 9.11. L’équation à résoudre se trouve en partant des profils des ondes de spin que l’on injecte dans l’Eq. 9.12.

Dans un cas général, les ondes de spin détectées vont dépendre de la valeur de l’anisotropie de surface Ks aux interfaces. Dans la littérature, on considère le plus souvent des conditions aux limites symétriques[141][199] ce qui suppose la même anisotropie de surface à l’interface substrat/couche magnétique, et couche magnétique/vide. Dans la réalité, cette condition n’est très certainement pas remplie. On se propose ici d’étudier le cas général en considérant des conditions aux limites asymétriques avec K±

s la valeur de l’anisotropie de surface en ±L/2. Les conditions étant asymétriques, les modes que nous observerons seront un mélange de modes pair et impair. Le profil des modes dans la couche est alors :

( ˆ

δθ(z) = A_1θcos k_bz + A_2θsin k_bz + B_1θcosh k_sz + B_2θsinh k_sz ˆ

δφ(z) = A_1φcos k_bz + A_2φsin k_bz + B_1φcosh k_sz + B_2φsinh k_sz (9.14) où les Ai et Bi sont les inconnues du système. Pour trouver les vecteurs d’ondes, on com-mence par injecter les expression des (9.14) dans le terme en ˙δθ de l’Eq. 9.3 (on néglige le terme d’amortissement). Cette première étape permet de relier les Aiθ et Biθ aux Aiφ et Biφ. En identifiant terme à terme, on obtient directement :

A1θ = ^γ ω^{FBA1φ B1θ =} γ ω^FSB1φ (9.15) A_2θ = ^γ ω^{FBA2φ B2θ =} γ ω^FSB2φ (9.16) avec FB = ^Fφφ Ms + k2 bD_ex et FS = ^Fφφ Ms − k2

sD_ex. On utilise ensuite les conditions aux limites de Rado-Weertman. On obtient alors un système d’équation (cf Annexe A) dont on calcule le déterminant que l’on égalise à 0. Par commodité, on note 2Ks^±

DMs = κ^±_s en ±L/2. L’équation de conditions aux limites permettant de trouver kb et ks est alors :

0 = −2k_bk_sF_BF_Sκ_s⁺κ⁻_s +ⁿ− D_exk_bF_Bk_s²(k²_b + k_s²)(κ⁺_s + κ⁻_s) cos k_bL +^h(F_S²k_b²− k2

sF_B²)κ⁺_sκ⁻_s + D²_ex(k_b²+ k_s²)²k²_sk²_bⁱsin k_bL)^osinh k_sL

−F_Sk_bk_s^h− 2F_Bκ⁺_sκ⁻_s cos k_bL + D_exk_b(k_b²+ k_s²)(κ⁺_s + κ⁻_s) sin k_bLⁱcosh k_sL (9.17) avec kb relié à kspar l’Eq. 9.11. Pour calculer les profils d’aimantation, on résout numérique-ment l’Eq. 9.17 sur ks. On obtient ainsi kb et ks.

Les amplitudes des fonction trigonométriques des profils sont obtenues en utilisant le système d’équation nous ayant permis de calculer le déterminant. On exprime alors toutes les amplitudes en fonction de A1φ que l’on normalise (les expressions complètes peuvent être retrouvées dans l’appendice A). Pour une onde de spin donnée, on calcul sa fréquence en utilisant l’Eq. 9.8 puis son profil spatial avec l’Eq. 9.14. Les différents types de profils que l’on va obtenir vont dépendre des valeurs des anisotropies de surfaces considérées. On définit le numéro du mode en fonction du nombre de zéro de la fonction ˆδθ (en dehors de ±L/2).

Piégeage nul et mode uniforme

En prenant Ks = 0 c’est à dire aucun piégeage en surface, les vecteurs d’ondes sont quantifiés avec kb = ^nπ_L, et la fréquence des modes confinés est proportionnelle à n2

modeoù nmodecorrespond au numéro du mode (Fig. 9.3a). Ici les modes sont uniquement des modes de volumes et même s’il existe des solutions pour les vecteurs d’ondes de surface (ks), la contribution de ces modes aux profils est nulle.

Pour Ks = 0 l’observation d’un mode uniforme en kb = 0 est possible. Ceci s’explique par le fait que pour ce mode les dérivées de chaque composante de l’aimantation sont bien constantes et égales à 0 dans toute l’épaisseur, sans que l’aimantation soit nulle (Fig. 9.3b). La conséquence de la présence de ce mode est qu’il ne variera pas avec l’épaisseur de l’échantillon rendant ainsi aisée son identification (Fig. 9.5a). Toutefois, dans le cas où nous serions sensible à l’aimantation moyenne des modes dans la couche, seul le mode uniforme serait visible, tous les autres ayant une moyenne nulle.

Faible piégeage K_s> 0

Lorsque le piégeage est faible en surface, les ondes de spin que l’on observe seront des modes hybrides surface/volume. Par rapport à Ks = 0, les kb glissent en bloc vers des valeurs plus grande faisant que les modes ne sont plus confinés avec un vecteur d’onde en nπ/L. La con-séquence est que les modes pairs auront une aimantation moyenne non nulles. Toutefois, les fréquences de chaque mode dépendront de l’épaisseur de l’échantillon, et il n’y aura pas de mode uniforme.

De plus, en considérant des modes asymétriques, les modes résultants seront mixtes pair/im-pair. Par exemple, sur Fig. 9.3d le mode 0 n’est pas plat et ressemble plus à un mode impair, tandis que le mode 1 commence à ressembler à un mode pair. La principale conséquence est que l’intégrale du mode 1, originellement impair, a désormais une valeur non nulle.

9.1 Modes couplés surface/volume 161

Figure 9.3: Illustration de l’effet de l’anisotropie de surface sur les fréquences et sur les profils des modes. Dans les figures a, c et d sont portées les relations de dispersions des modes de volume (en rouge) et des modes de surface (en noir). Les symboles correspondent aux k_b (carré rouge) et k_s(carré noir) autorisés. Sur les figures b, d et e sont portés les profils correspondant à chaque anisotropie de surface des trois premières ondes de spin.

Piégeage fort (Fig. 9.3e,f

Lorsque le piégeage est suffisamment fort (typiquement > à 50 µJ/m2), les profils en ˆδθ des ondes de spin finissent par être nul en surface ce qui correspond à une des condition de Kittel ( ˆδθ = 0 en ±L

2). Les fréquences quant à elles continuent de suivre la tendance visible pour un piégeage intermédiaire. Notons que dans ce cas qui se rapproche des conditions de Kittel, le mode 0 n’est plus un mode uniforme mais toujours un mode pair dans la couche.

Piégeage non nul : K_s< 0

Dans le cas où Ks < 0, on peut commencer à observer des modes d’ondes de spin purement de surface, pair ou impair par rapport au centre de la couche (Fig. 9.4c et d). On dénomme ces modes pur surface car leurs vecteurs d’ondes ne se trouvent que sur la relation de dispersion des ondes de surfaces et obéissent à la condition kb = ik_s. L’intérêt principal de ces ondes est que l’on peut obtenir une intégrale non nulle beaucoup plus facilement qu’avec des modes hybrides.