1.3 Le drift d’aire dans la convergence de modèles markoviens en topo-
1.4.3 Produits shuffle et quasi-shuffle
Les produits quasi-shuffle ont été introduits par M. Hoffman dans son article [45]. Ils représentent une généralisation des produits shuffle et sont liés aux algèbres de Hopf.
Définitions. Les définitions qu’on donnera ici sont proches de celles du [47],
même si on laisse de côté certains détails algébriques.
Définition 1.4.5 (produit quasi-shuffle). Soit k un corps contenu dans C, A un ensemble dénombrable de « lettres » et kA l’espace vectoriel dont A est la base. On suppose que kA est muni d’un produit « ◦ » qui est associatif et commutatif. Soit
⟨A⟩ = V ect{a1. . . an: ai ∈ A} (1.43)
l’algèbre (non-commutative) de polynômes sur A (⟨A⟩ est l’espace vectoriel (sur k) engendré par tous les « mots » qu’on peut former à partir des « lettres » de A). On définit alors le produit quasi-shuffle « ∗ » sur ⟨A⟩ de manière récursive par
et en demandant que le mot vide qu’on note 1 soit l’élément neutre pour ce produit. Exemple : Pour a, b, c ∈ A, ab ∗ c = abc + cab + acb + (a ◦ c)b + a(b ◦ c).
On a le résultat suivant (prouvé dans [47]).
Propriété 1.4.2. (⟨A⟩ , ∗) est une algèbre commutative.
Le produit shuffle, qui a été défini avant le produit quasi-shuffle, ne contient plus le terme dépendant de « ◦ ».
Définition 1.4.6 (produit shuffle). Soit k un corps contenu dans C, A un ensemble dénombrable de "lettres". Soit
⟨A⟩ = V ect{a1. . . an : ai ∈ A} (1.45)
l’algèbre (non-commutative) de polynômes sur A (⟨A⟩ est l’espace vectoriel (sur k) engendré par tous les « mots » qu’on peut former à partir des « lettres » de A). On définit alors le produit shuffle « » sur ⟨A⟩ de manière récursive par
∀a, b ∈ A, ∀u, v ∈ ⟨A⟩ , au bv = a(u bv) + b(au v) (1.46) et en demandant que le mot vide qu’on note 1 soit l’élément neutre pour ce produit.
Exemple : Pour a, b, c ∈ A, ab c= abc + cab + acb.
La propriété 1.4.2 reste vraie pour « » : (⟨A⟩ , ) est une algèbre commutative. De plus, en définissant sur ⟨A⟩ le coproduit
∀w ∈ ⟨A⟩ , ∆(w) = !
uv=wu ⊗ v
(1.47) on a le résultat suivant ([47], avec des légères modifications) qui nous permet de faire le lien avec les chemins rugueux.
Théorème 1.4.3. (⟨A⟩ , ∗, ∆) et (⟨A⟩ , , ∆) sont des algèbres de Hopf.
Remarque. Les produits et ∗ sont des opérateurs de concaténation, alors que
∆ peut être interprété comme opérateur de déconcaténation. Intuitivement, ils fournissent donc l’essentiel pour un cadre d’algèbre de Hopf : non seulement on
sait composer deux éléments de l’algèbre, mais on peut aussi retrouver toutes les manières dont un élément de l’algèbre peut être obtenu.
Application aux sommes et aux intégrales itérées. Nous allons maintenant
brièvement expliquer comment ces deux produits s’appliquent aux sommes et intégrales itérées. Plus précisément, on va montrer que le produit « » donne la loi du produit des intégrales itérées par rapport à une courbe (xt)t à valeurs dans
Rd, alors que le produit « ∗ » décrit le produit des sommes itérées pour une suite (yn)n ∈ (Rd)N.
Dans le cas des intégrales itérées, d’ordres k et l respectivement, d’un chemin
x dans V , le produit de leur projections sur ei1 ⊗ . . . ⊗ eik et ej1 ⊗ . . . ⊗ ejl
respectivement (formule (1.33)) donne la projection de l’intégrale itérées d’ordre
k+ l sur ep1 ⊗ . . . ⊗ epk+l, où p
1. . . pk+l = i1. . . ik j1. . . jl.
Lorsqu’on multiplie les projections sur ei1 ⊗ . . . ⊗ eik et ej1 ⊗ . . . ⊗ ejl de deux
sommes itérées correspondant à une suite dans V (formule (1.35)), on retrouve la projection sur ep1 ⊗ . . . ⊗ epk+l de la somme itérée d’ordre k + l, mais aussi
des termes supplémentaires qui viennent du fait que les diagonales, de mesure de Lebesgue nulle et donc négligeables dans le cas des intégrales, sont prises en compte sous la mesure de comptage. Ces termes supplémentaires déterminent le caractère
quasi-shuffle du produit.
Tout ceci sera expliquer plus longuement au chapitre 3, dans la section 3.4.1.
1.4.4 Présentation des principaux résultats
Le passage entre chemins rugueux géométriques et chemins rugueux non-géométriques.
Soit (Rk, Fk)k une chaîne de Markov cachée sur E × V (comme définie dans
1.3.13) et (Rn, Xn)n la marche de Markov cachée correspondante (i.e. pour k ≥ 1, Fk = Xk− Xk−1). On sait qu’à partir d’un plongement suffisamment régulier de
(Xn)n, on peut construire un chemin rugueux géométrique dans G2(V ) de manière
canonique. Soit (X(N )
canonique dans G2(V ) qui lui correspond est la signature de niveau 2 ∀t ∈ [0, 1], S2(X(N ))0,t = $ Xt(N ), & 0<s1<s2<t dXs(N )1 ⊗ dXs(N )2 %
qui est un élément de C1−var([0, 1], G2(V )).
On peut ensuite étudier la convergence en loi de (δN−1/2S2(X(N ))0,t)t dans la
topologie Cα−Höl([0, 1], G2(V )) pour α < 1/2. La limite (si elle existe) est un chemin
rugueux géométrique α-Hölder pour α < 1/2.
Nous allons montrer comment on aboutit à un chemin rugueux non-géométrique à partir d’une marche de Markov cachée (Rn, Xn)n en utilisant les sommes itérées.
Nous commençons par construire la suite (Yn)n dans T(2)(V )
Yn= ⎛ ⎝Xn, ! 1≤k1<k2≤n Fk1 ⊗ Fk2 ⎞ ⎠∈ T(2)(V )
et c’est ensuite qu’on lui associe un plongement (Y(N )
t )t∈[0,1] dont on étudiera la
convergence.
Il est facile de remarquer que (Yn)n n’est pas dans G2(V ), car le niveau 2 n’est
pas égal à 1 2Xn⊗ Xn : Sym( ! 1≤k1<k2≤n Fk1 ⊗ Fk2) = 1 2 ⎛ ⎝ ! 1≤k1<k2≤n Fk1 ⊗ Fk2 + ! 1≤k1<k2≤n Fk2 ⊗ Fk1 ⎞ ⎠ = 1 2Xn⊗ Xn− 1 2 n ! k=1 Fk⊗2
Le résultat suivant montre qu’on peut construire un plongement de (Yn)n qui
converge vers un chemin rugueux non-géométrique :
Proposition 1.4.1 (proposition 3.2.1 du chapitre 3). Soit (X(N )
t )t le plongement par interpolation linéaire de (Xn)n. On construit aussi le plongement par interpola- tion linéaire
∀N ∈ N∗, ∀t ∈ [0, 1], Zt(N ) =
⌊Nt⌋!
k=1
de Zk=*kj=1Fj⊗2 et on pose
∀N ∈ N∗, ∀t ∈ [0, 1], Y(N )t = (0, Z
(N )
t )−1⊗ S2(X(N ))0,t
On suppose de plus que E [XT1] = 0, où T1 est comme dans (3.6), et que la matrice de covariance V(XT1) vaut CId pour un certain C > 0. On pose β = E [T1].
Alors on a la convergence suivante dans la topologie Cα−Höl([0, 1], T(2)(V )) avec
α<1/2 : " δ(nCβ−1)−1/2Y(N )t # t∈[0,1] N →∞−→ " BItô t ⊗ (0, Mt) # t∈[0,1] où (BItô
t )t est le mouvement brownien rugueux au sens d’Itô et M est une matrice déterministe donnée par
M = C−1E ⎡ ⎣ ! 1≤k1<k2≤T1 Fk1 ⊗ Fk2 ⎤ ⎦
(formule (3.18) du chapitre 3). En particulier, (BItô
t ⊗ (0, Mt))t est un chemin rugueux non-géométrique.
Les constructions des limites géométrique et non-géométrique peuvent être résumées à travers le schéma 1.11. La relation qui relie la limite géométrique et la limite non-géométrique est la suivante :
BItô t ⊗ (0, Mt) = BStratt ⊗ (0, Γt) ⊗ ⎛ ⎝0, tC−1E ⎡ ⎣ T1 ! k=1 F⊗2 k ⎤ ⎦ ⎞ ⎠ −1 (1.48)
Convergence de la structure combinatoire des marches de Markov ca- chées.
On pose Ln(r) = (Lu;n(r))u∈E, qui sera un vecteur à valeurs entières. On a alors le
résultat suivant, qui met en relief une classe de convergence « universelle » pour les chaînes de Markov cachées :
(Xn)n∈ VN
plongement sommes itérées (XN t )t∈ C1−var([0, 1], V ) Ym= " Xm,*1≤k1<k2≤m∆Xk1⊗ ∆Xk2 # ∈ T(2)(V ) signature plongement Eδ N−1/2S2(X N) 0,tFt∈ C 1−var([0, 1], G2(V )) Eδ N−1/2Y N t F t∈ C 1−var([0, 1], T(2)(V ))
convergence dans Cα−Höl([0, 1], G2(V )) convergence dans Cα−Höl([0, 1], T(2)(V ))
(Xt)t∈ C
α−Höl([0, 1], G2(V )) (Y
t)t∈ C
α−Höl([0, 1], T(2)(V ))
Lien?
Figure1.11 – Chemins rugueux géométrique (en bas à gauche) et non-géométrique (en bas à droite) comme limites de processus continus issus du même processus
irréductible sur un espace d’états fini E. Pour u ∈ E et pour n ≥ 1, on pose
˜
Ln(R) = (Lu;n(R) − nπ(u))u∈E ∈ RCard(E) où π est la mesure invariante de (Rn)n.
Alors, modulo une réduction de dimension, le plongement linéaire de la propo- sition 3.4.3 de ( ˜Ln(R))n et les intégrales itérées associées SL˜n(R),k(t) pour k ≥ 2
converge dans la topologie Cα−Höl([0, 1], T(2)
1 (V )) pour α < 1/2 vers SB,1(t) = Bt, SB,2(t) = & 0<s1<s2<t dBs1 ⊗ dBs2 + Mt
où (Bt)t est un mouvement brownien Card(E)-dimensionnel, M est une matrice déterministe donnée par (3.18).