Les plongements

Lorsqu’on veut étudier la limite d’un processus discret (Xn)n, on doit commencer

par le plonger dans l’espace des processus continus, ce qui veut dire : choisir un plongement, i.e. la manière de relier entre eux les points du processus.

Dans Rd_{, il y a un choix immédiat et naturel : le plongement géodésique (illustré}

dans 1.8). Par plongement géodésique, nous entendons ici un plongement d’in-

terpolation géodésique : pour une suite de points dans un espace géodésique, ce

plongement consiste à joindre les points consécutifs par des courbes (continues) qui minimisent les distances entre elles. En particulier, pour une suite de points dans Rd, le plongement géodésique est l’interpolation linéaire. En effet, si on se borne à étudier la limite de (Xn)n en topologie uniforme, tout autre plongement, pourvu

qu’il soit à variation finie, ne change pas la nature de la limite. Plus précisément, en topologie uniforme, de deux choses l’une : soit le plongement ne change pas la

Une deuxième définition, équivalente à la première, définit une manière de relier deux points consécutifs de la suite par un chemin continu (plongement élémentaire) et construit ensuite le plongement en concaténant ces courbes.

Définition 4 (définition 3.3.4 du chapitre 3). Soit (xn)n une suite à valeurs dans un espace métrique S et (βn)n une suite de chemins continus βn : [0, 1] → S tels que βn(0) = xn et βn(1) = xn+1. On définit la suite (ρn)n par

ρN = β1· . . . · βN

où · est l’opérateur de concaténation de chemins. Alors on dit que (ρn)n est un plongement pour (xn)n. En particulier, le plongement géodésique est le plongement qui minimise les distances entre les points (xn)n.

Une fois dans le cadre continu, pour pouvoir étudier la limite du plongement, il faut trouver la bonne renormalisation de l’espace-temps.

Définition 1.3.16. Soit S an espace métrique qui admet une famille d’opérateur de renormalisation (Tα)α>0. Pour α, β > 0 et F : R+ → W , on pose

Tα,β(F )(t) = TαF(βt)

Soit (ρN)N un plongement de (Xn)n à valeurs dans S. Pour f : N → R+, la suite

ıN(t) = Tf (N ),NρN = Tf (N )ρN(Nt) définit un plongement renormalisé de (Xn)n.

On revient maintenant au cas où l’espace métrique est un espace vectoriel V de dimension finie. Comme on l’a déjà dit, en topologie uniforme, tous les plongements renormalisés d’un processus discret (Xn)nqui convergent ont, modulo une constante,

la même limite. Mais ce n’est plus le cas en topologie rugueuse. Ainsi, on peut distinguer de manière plus fine les limites de différents plongements, en les groupant par classes d’équivalence au sens rugueux :

Définition 5 (définition 3.3.6 du chapitre 3). Soit (xn)n une suite à valeurs dans l’espace vectoriel V . On dit que deux plongements de (xn)n au sens de la définition

3.3.4, ρN et ρ′N, sont équivalents au sens rugueux ssi leurs plongements renormalisés respectifs ıN et ı′N (au sens de la définition 1.3.16) ont la même limite dans la topologie rugueuse.

On va maintenant fournir un représentant aux classes d’équivalence ainsi formées. Vu la définition 3.3.3 de G2_{(V ), lorsqu’il est muni de la loi antisymétrique ∧, un}

élément (y, a) ∈ G2_{(V ) (où y ∈ V ) peut être interprété comme une information sur}

un chemin x ∈ C1−var_{([s, t], V ) tel que :}

xt− xs= y, As,t(x) = a (1.25)

À partir de là, on peut définir une équivalence : un chemin x′ _{: [s, t] → V est}

équivalent à x si et seulement si il satisfait (1.25) :

x′ _{∼ x ⇐⇒ x}′ satisfait (1.25).

Ce qu’identifie cette équivalence, ce sont l’accroissement entre s et t et l’accu- mulation d’aire, et non pas la trajectoire spécifique de chaque chemin. L’élément (y, a) devient alors le représentant de tous ces chemins, ce qui est illustré dans la figure 1.9. Passons maintenant aux plongements. Dans le chapitre 3 (section 3.2.1), nous verrons que la limite d’un plongement dans la topologie rugueuse est déterminée à la fois par ses incréments et par l’aire signée propre à ce plongement dans l’interprétation antisymétrique de G2_{(V ) (ou par la double intégrale dans son}

interprétation symétrique). On peut donc décrire une classe d’équivalence au sens rugueux des plongements de (xn)n par une suite de point dans G2(V ).

Propriété 1.3.8. Soit (xn)n une suite à valeurs dans V . On se place dans le cadre de la définition 3.3.6. Une classe d’équivalence au sens rugueux peut être représentée par une suite (yn, an)n∈ G2(V ).

Démonstration. On choisit un plongement de ˜ρN = β1· . . . · βN de la suite (xn)n

comme représentant d’une classe d’équivalence aux sens rugueux. On pose :

yn = xn− xn−1 an= A0,1(βn)

cadre de la définition 3.3.6. Soit (yn, an)n ∈ G2(V )N correspondant à une classe d’équivalence au sens rugueux comme expliqué dans 1.3.8. Alors il suffit de calculer la limite (dans G2_{(V )) du plongement géodésique renormalisé de (y}

n, an)n pour connaître la limite rugueuse de tous les plongements (assez réguliers, par exemple

(ρN)N tel que les ρN soient à variation bornée et uniformément bornés sur N dans la topologie correspondante) contenus dans la classe d’équivalence respective. Remarque. La proposition du chapitre 3 (3.3.3) est une conséquence qui découle

de cette propriété : la convergence d’un plongement d’une chaîne de Markov cachée vers le mouvement brownien rugueux avec une anomalie d’aire découle de la convergence vers cette limite du plongement géodésique d’une suite bien choisie de G2_{(V ). C’est en ce sens que les théorèmes 3.2.1 et 3.2.2 du chapitre 3 sont des}

corollaires du théorème 3.2.3 du même chapitre.

Plongement pour une chaîne de Markov cachée.

Dans les sections précédentes, les résultats ont été présentés dans un cadre déter- ministe. Nous allons maintenant faire la transition vers le cadre probabiliste pour les marches de Markov cachées.

• Pour une chaîne de Markov (Rn, Fn)nsur E ×V , pour tout u ∈ E, soit Vu ⊂ V

l’ensemble de toutes les réalisations possibles de F1 sous la loi P (•|R1 = u).

• Pour u ∈ E, à chaque y ∈ Vu on associe une courbe fy;u : [0, 1] → V

à variation finie et telle que fy;u_{(0) = 0 et f}y;u_{(1) = y (correspondant à}

l’incrément y), et on note Bu l’ensemble de ces courbes.

• Pour tout k ≥ 1, on associe à Fk une v.a. βk dans le sens où, pour un u ∈ E

et sous la loi P (•|Rk = u), βk donne, pour chaque réalisation y ∈ Vu de Fk

l’élément correspondant fy;u _{∈ B} u.

Pour tout k ≥ 1, la loi de βk est décrite par la loi de Fk :