1.4 Produit scalaire, produit vectoriel, produit mixte
1.4.1 Produit scalaire
u, ~v ∈ E, λ~u+µ~v ∈ E. Cette nouvelle condition dit donc que si E contient deux vecteurs ~u, ~v non colin´eaires, alors E contient tout le plan engendr´e par
~ u et~v.
Le th´eor`eme suivant se d´emontre facilement (preuve en exercice) : Th´eor`eme 1.3.3
Soient ~u, ~v deux vecteurs non colin´eaires. Alors
• la droite engendr´ee par~uest un sous-espace vectoriel de R3,
• le plan engendr´e par ~u et~v est un sous-espace vectoriel de R3.
1.4 Produit scalaire, produit vectoriel, produit mixte.
i j
e3
e2
e1
k
g F a
Figure 1.3: Une bille dans une goutti`ere
Souvent, en physique, le rep`ere standard (~i,~j, ~k) n’est pas bien adapt´e au probl`eme.
Par exemple, dans la figure 1.3, une bille glisse sans rouler dans une goutti`ere. Il est alors plus facile d’´ecrire les ´equations qui r´egissent son mouvement dans un rep`ere (~e1, ~e2, ~e3) ´etablit selon la goutti´ere : ~e1 dans la direction de plus grande pente de la goutti`ere, ~e2 horizontal et perpendiculaire `a la goutti`ere enfin ~e3 perpendiculaire aux deux pr´ec´edents. Alors, l’acc´el´eration ~a est de la forme ~a = a1~e1, la force de frottement estF~ =−F ~e1 la r´eaction du support est R~ =R~e3. Il ne reste plus qu’`a exprimer la gravit´e~g =
D−g~j, ~e3 E
~
e3 (voir la signification de hi partie 1.4.1).
1.4.1 Produit scalaire.
D´efinition.
Leproduit scalairede deux vecteurs de R2est d´efini pour~u= (x, y),~v = (x0, y0) par
h~u, ~vi=xx0+yy0.
Les physiciens emploient souvent la notation ~u·~v =h~u, ~vi=xx0+yy0.
Lanorme euclidienne d’un vecteur deR2 est d´efinie pour~u= (x, y)par k~uk= px2+y2.
Le produit scalaire de deux vecteurs de R3 est d´efini pour ~u = (x, y, z), ~v = (x0, y0, z0) par
h~u, ~vi=xx0+yy0+zz0.
La norme euclidienne d’un vecteur de R3 est d´efinie pour ~u = (x, y, z) par k~uk=p
x2+y2+z2.
Deux vecteurs ~u, ~v deR2 (ou R3) sont dits orthogonaux sih~u, ~vi = 0. On note alors ~u⊥~v.
Remarque.
— En g´en´eral, on dit simplement “norme” au lieu de norme euclidienne.
— La norme d’un vecteur est sa longueur.
— Le vecteur~0 est le seul vecteur orthogonal `a tous les vecteurs.
Propri´et´es :
Si~u, ~v, ~w∈R2 (ou R3) et si λ∈R, alors 1. h~u+~v, ~wi=h~u, ~wi+h~v, ~wi;
2. h~u, ~v+w~i=h~u, ~vi+h~u, ~wi; 3. hλ~u, ~vi=h~u, λ~vi=λh~u, ~vi; 4. h~u, ~vi=h~v, ~ui;
5. h~u, ~ui ≥0 et h~u, ~ui= 0 si et seulement si~u=~0.
On remarque quekuk=p
h~u, ~uiet qu’on a 1. k~uk ≥0 et k~uk= 0 si et seulement si~u=~0 ; 2. kλ~uk=|λ|k~uk;
3. |h~u, ~vi| ≤ k~ukk~vket|h~u, ~vi|=k~ukk~vksi et seulement si ~u et~v sont colin´eaires ; 4. k~u+~vk ≤ k~uk+k~vk;
5. k~uk − k~vk≤ k~u+~vk. Preuves.
1.4. PRODUIT SCALAIRE, PRODUIT VECTORIEL, PRODUIT MIXTE. 23
• Si ~u = (x, y) 6=~0, alors x 6= 0 (ou y 6= 0) alors x2 > 0 (resp. y2 > 0) et alors x2+y2 > x2 etk~uk>√
x2 =|x|>0 (resp.k~uk>|y|>0).
• kλ~uk=p
hλ~u, λ~ui=p
λh~u, λ~ui=p
λ2h~u, ~ui=|λ|p
h~u, ~ui=|λ|kuk.
• Pour tout λ∈R,
k~u+λ~vk2 =h~u+λ~v, ~u+λ~vi=h~u, ~ui+hλ~v, λ~vi+h~u, λ~vi+hλ~v, ~ui
=λ2k~vk2+ 2λh~u, ~vi+k~uk2.
Posons P(λ) = aλ2 +bλ+c avec a = k~vk2, b = 2h~u, ~vi et c = k~uk2. D’apr`es la relation pr´ec´edente, P(λ) = k~u+λ~vk2 ≥ 0 pour tout λ et le polynˆome P n’a pas deux racines r´eelles distinctes. Par cons´equent son discriminant est
∆ =b2−4ac≤0 i.e. 4h~u, ~vi2−4k~uk2k~vk2 ≤0. On a bien|h~u, ~ui| ≤ k~ukk~vk. Si|h~u, ~ui|=k~ukk~vk, alors le discriminant de P est nul et P a une racine r´eelle double λ0. Donc P(λ0) = k~u+λ0~vk2 = 0 et par suite~u+λ0~v =~0 :~uet~v sont bien colin´eaires.
• On en d´eduit que
k~u+~vk2 =k~uk2+k~vk2+ 2h~u, ~vi
≤k~uk2+k~vk2+ 2k~ukk~vk= k~uk+k~vk2
. On a donc bien k~u+~vk ≤ k~uk+k~vk.
• En appliquant ceci `a~u+~vet−~v, on obtientk~uk=k~u+~v−~vk ≤ k~u+~vk+k~vk et donc k~uk − k~vk ≤ k~u+~vk. En ´echangeant ~u et ~v on obtient k~vk − k~uk ≤ k~u+~vk et donck~uk − k~vk≤ k~u+~vk.
Les autres identit´es sont triviales. 2
Remarque.
Si~e1, ~e2 ∈ R2 ou R3 sont deux vecteurs orthogonaux non nuls alors ils ne sont pas colin´eaires. En particulier, si~e1, ~e2 ∈R2 ne sont pas nuls et sont orthogonaux, alors det(~e1, ~e2)6= 0.
De mˆeme, si~e1, ~e2, ~e3 ∈R3 sont deux `a deux orthogonaux et sont non nuls, alors ils ne sont pas coplanaires.
En particulier, si~e1, ~e2 ∈R2 ne sont pas nuls et sont orthogonaux, alors det(~e1, ~e2)6= 0.
En effet, si λ~e1+µ~e2 =~0 alors kλ~e1+µ~e2k= 0. Mais, comme ~e1, ~e2 sont orthogo-naux,
kλ~e1+µ~e2k2 =λ2k~e1k2+µ2k~e2k2
donc λk~e1k = 0 et µk~e2k = 0. Mais, comme ~e1 et~e2 ne sont pas nuls, k~e1k 6= 0 et k~e2k 6= 0 donc λ=µ= 0. Ainsi~e1 et~e2 ne sont pas colin´eaires.
La preuve pour trois vecteurs deR3 est similaire.
D´efinition.
On appellerep`ere orthogonaloubase orthogonaledeR2 un syst`eme de deux vecteurs
(~e1, ~e2) de R2 tels que ~e1 ⊥ ~e2. On dit que la base est orthonormale si de plus k~e1k=k~e2k= 1.
On appellerep`ere orthogonaloubase orthogonaledeR3 un syst`eme de trois vecteurs (~e1, ~e2, ~e3) de R3 tels que ~e1 ⊥ ~e2, ~e1 ⊥ ~e3 et ~e2 ⊥ ~e3. On dit que la base est orthonormale si de plus k~e1k=k~e2k=k~e3k= 1.
Au lieu de base orthonormale on dit encore base orthonorm´ee.
Exemple fondamental : ne sont pas colin´eaires. D’apr`es le paragraphe 1.3.3, tout vecteur ~u ∈ R2 s’´ecrit
~u=x~e1 +y~e2. Remarquons qu’alors En particulier, si la base est orthonorm´ee:
~
1.4. PRODUIT SCALAIRE, PRODUIT VECTORIEL, PRODUIT MIXTE. 25
Il en r´esulte qu’il suffit de d´emontrer le th´eor`eme 1.4.1 pour les bases orthonorm´ees.
Preuve Nous allons d´emontrer le th´eor`eme pour R3, la preuve s’adaptant `a R2 et fournissant ainsi un second preuve.
Premi`ere ´etape :que sont x, y, z? Le mˆeme calcul que pour R2 va marcher : Soit (~e1, ~e2, ~e3) une base orthonormale de R3. Supposons que ~u s’´ecrive et si ~u = x~e1+y~e2+z~e3. Alors
h~u, ~e1i=hx~e1+y~e2+z~e3, ~e1i=xh~e1, ~e1i+yh~e2, ~e1i+zh~e3, ~e1i=x
puisque h~e1, ~e1i=k~e1k2 = 1 et~e1 ⊥~e2,~e1 ⊥~e3. De mˆeme y=h~u, ~e2i etz =h~u, ~e3i. En particulier, si l’´ecriture est possible, elle est unique et alors
~
u=h~u, ~e1i~e1+h~u, ~e2i~e2+h~u, ~e3i~e3 = X3
i=1
h~u, ~eii~ei.
Il faut maintenant montrer que toutvecteur ~u s’´ecrit comme cela.
Deuxi`eme ´etape : Nous aurons besoin dans la prochaine ´etape des deux calculs suivants : En effet, en d´eveloppant le produit scalaire
k~vk2 =h~v, ~vi=
puisque,~e1, ~e2, ~e3 sont orthonorm´es,h~ei, ~eji= 0 si i6=j et h~ei, ~eii= 1.
Troisi`eme ´etape :l’´ecriture est possible pour~i,~j, ~k.
D’apr`es la premi`ere ´etape, il s’agit de montrer que
~i= Comme un vecteur est nul si sa norme est nulle, il suffit de montrer que
Pour cela, il suffit de d´emontrer que la somme S des carr´es de ces trois normes est nulle mais, d’apr`es le premier point de la deuxi`eme ´etape :
S = Mais alors, avec le second point de la deuxi`eme ´etape,
S =k~ik2−2 on a l’´ecriture voulue pour~i,~j, ~k.
Derni`ere ´etape : l’´ecriture est possible pour tout vecteur ~u deR3. En effet, on sait d´ej`a qu’il existe α, β, γ tels que
~u=α~i+β~j+γ~k.
Mais alors, avec l’´etape pr´ec´edente,
~u=α
1.4. PRODUIT SCALAIRE, PRODUIT VECTORIEL, PRODUIT MIXTE. 27
Au cours de la preuve, on a vu l’un des principaux int´erˆets des basesorthonormales: on peut facilement calculer les coordonn´ees d’un vecteur dans de telles bases et qu’ensuite il est ais´e de calculer la norme d’un vecteur et le produit scalaire de deux vecteurs `a l’aide de leurs coordonn´ees dans cette base :
Si (~e1, ~e2) est une base orthonormale de R2 et si ~u∈R2, alors
Dans R2, il est tr`es facile de construire des bases orthogonales. Il suffit de prendre un vecteur ~e1 = (a, b) 6=~0 et de se rendre compte que le vecteur ~e2 = (−b, a) est orthogonal `a~e1.
Dans R3, ceci est plus compliqu´e. On peut `a nouveau prendre un vecteur ~e1 = (a, b, c) 6= ~0 et se rendre compte que le vecteur ~e2 = (−b, a,0) est orthogonal `a