Continuit´ e

2.2 Continuit´ e.

L’objectif de cette section n’est pas de faire un cours complet sur la continuit´e des fonctions de plusieurs variables, mais de donner un premier aper¸cu de ce qui se passe dans ce cadre, afin de faciliter votre compr´ehension d’un cours ult´erieur.

Nous mettrons donc essentiellement l’accent sur ce qui est similaire ou diff´erent par rapport aux fonctions d’une seule variable.

2.2.1 Suites dans R² et R³.

Une suite (~u_k)_k∈N de vecteurs de Rⁿ est simplement la donn´ee des n suites deR qui sont les coordonn´ees des~uk i.e. ~uk = (xk, yk) dans R² et ~uk = (xk, yk, zk) dansR³. On dit alors qu’une suite (~u_k)_k∈N de Rⁿ converge si chacune de ses coordonn´ees converge.

Remarque.

L’´etude des suites de Rⁿ se ram`ene donc `a l’´etude de n suites r´eelles et n’est donc ni plus ni moins compliqu´ee que l’´etude des suites r´eelles.

Exemple:

• La suite (¹_k,₂¹k,(1−1/k)^k

k∈N converge vers (0,0,1/e), car _k¹ → 0, ₂¹k →0 et (1−1/k)^k→1/e lorsque k → ∞.

• La suite (¹_k,2^k,(1−1/k)^k

k∈Nne converge pas, car la deuxi`eme coordonn´ee de cette suite, 2^k→+∞ lorsque k → ∞.

Remarque.

Que signifie cette convergence ? Exactement comme dansR, dire qu’une suite (~u_k)_k∈N deRⁿ converge vers~v ∈Rⁿ signifie que ~u_k est aussi proche que l’on veut de~v pour peu que k soit assez grand.

Mais que veut dire proche ? Cela signifie que l’´ecart entre ~u_k et ~v devient petit, c’est-`a-dire que~u_k−~v est petit.

Quand dit-on qu’un vecteur est petit ? ´Evidemment quand sa longueur est petite, c’est-`a-dire quand sa norme est petite.

Que signifie aussi petit que l’on veut ? Cela signifie que si on fixe un nombreε >0, on peut rendre la norme de ~u_k−~v plus petite que ce nombre.

Enfin, comment exprimer math´ematiquement “pour peu que k soit assez grand”? Cela veut dire qu’on peut trouver un entier K tel que si k≥K alors...

Ainsi, on peut donner la d´efinition suivante de la limite :

D´efinition.

On dit qu’une suite (~u_k)_k∈N de Rⁿ convergevers~v ∈Rⁿ si pour tout ε >0, il existe K tel que, sik > K alors k~u_k−~vk< ε.

On retrouve ainsi la d´efinition de convergence de suites dansR o`u la valeur absolue

|.|a ´et´e remplac´ee par la norme k.k.

Remarquons enfin que l’ensemble des vecteurs~u tels quek~u−~vk< ε est une boule de centre~v et de rayon ε (dans le plan R², les “boules” sont des disques, dansR ce sont des intervalles).

G´eom´etriquement, la convergence de (~uk)k∈N vers ~v signifie que si on prend une boule autour de~v, alors tous les termes d’indice assez grand de cette suite sont dans cette boule.

u0 u

3

u₁ u

2

boule de rayonε

v u

u u u

u

4 5 7 6

8

Figure 2.3: Une suite convergente dansR²

Remarque.

Une boule B centr´ee en~v est de la forme ~v +B⁰ ={~v +~u : ~u ∈ B⁰} avec B⁰ une boule centr´ee en~0.

2.2.2 Fonctions continues.

A nouveau, on va calquer la d´` efinition de la continuit´e des fonctions de plusieurs variables sur la d´efinition de la continuit´e des fonctions d’une seule variable. On a donc deux possibilit´es, soit utiliser la d´efinition `a l’aide des suites, soit utiliser la d´efinition en termes deε, η avec la norme jouant le rˆole de la valeur absolue. Ainsi : D´efinition.

Soit f~ : Rⁿ → R^p une fonction d´efinie sur Rⁿ et soit ~v ∈ Rⁿ. On dit que f~ est continue en ~v si pour toute suite (~u_k)_k∈N de vecteurs qui converge vers ~v, f(~~ u_k) converge vers f(~~ v).

Ou de fa¸con ´equivalente :

f~ estcontinue en ~v si, pour tout ε > 0, il existe η > 0 tel que si k~u−~vk < η alors

2.2. CONTINUIT ´E. 57

f(~~ u)−f(~~ v)< ε.

Cette d´efinition (mettons en terme de suite) dit que, quel que soit le chemin suivant lequel ~uk s’approche de~v, f(~~ uk) s’approche de f(~~ v).

D´efinition.

• Soit f~ : R² → R^p et soit ~u₀ = (x₀, y₀) ∈ D(f). On d´~ efinit les application partielles oufonctions partielles f~_x, ~f_y :R→R^p def~en~u₀ par

f~_x :R → R^p

x 7→ f~(x, y₀) et f~_y :R → R^p y 7→ f~(x₀, y).

• Soit f~ :R³ →R^p et soit ~u₀ = (x₀, y₀, z₀)∈ D(f~). On d´efinit alors les applica-tions partielles f~_x, ~f_y, ~f_z :R→R^p de f~en~u₀ par

f~_x :R → R^p

x 7→ f~(x, y₀, z₀) et f~_y :R → R^p

y 7→ f(x~ ₀, y, z₀) et f~_z :R → R^p z 7→ f~(x₀, y₀, z). Autrement dit, on fixe toutes les variables sauf une et on regarde la fonction qui ne d´epend plus que de cette variable. Attention `a ne pas confondre avec les fonctions coordonn´ees def~qui sont encore fonction de (x, y, z).

Si f~ est continue en ~u₀ et si ~u_k s’approche de ~u₀ parall`element `a un des axes de coordonn´ee, alors f~(~u_k) s’approche de f~(~u₀). Mais, dans ce cas, on ne regarde en fait que les applications partielles et le r´esultat suivant est alors intuitif :

Proposition 2.2.1

• Soit~u₀ = (x₀, y₀)∈R² un vecteur etf~ :R² →R^p une fonction continue en~u₀. Alors les applications partiellesf~_x etf~_y sont respectivement continues enx₀ et y₀.

• Soit ~u₀ = (x₀, y₀, z₀)∈R³ un vecteur et f~ :R³ →R^p une fonction continue en

~

u₀. Alors les applications partielles f~_x, ~f_y et f~_z sont respectivement continues en x₀, y₀ etz₀.

Preuve.

Faisons la preuve dans R². Soit donc (x₀, y₀)∈R² et supposons quef~soit continue en (x₀, y₀). Soit alors (t_k) une suite r´eelle qui converge vers x₀, t_k → x₀. Alors la suite (t_k, y₀) converge vers (x₀, y₀) donc

f~_x(t_k) = f(t~ _k, y₀)→f(x~ ₀, y₀) =f~_x(x₀)

et f~_x est bien continue en x₀. La preuve pour f~_y est strictement similaire de mˆeme que pour R³. Celle-ci est donc laiss´ee en exercice. 2 La r´eciproque de cette proposition est fausse ! Pour qu’une fonction soit continue, il

faut que toutes les fa¸cons d’approcher ~u₀ donnent la mˆeme limite et pas seulement les directions parall`eles aux axes des coordonn´ees. Par exemple, soit f la fonction f : R² → R donn´ee par f(x, y) =

(

1 si xy6= 0

0 sinon , alors f n’est pas continue en (0,0) car f(x, x)→x→0 16=f(0,0) = 0. Par contre, ses deux applications partielles en (0,0), `a savoir f_x(y) =f(0, y) = 0 et f_y(x) =f(x,0) = 0 sont continues.

Toutes les r`egles sur la continuit´e des fonctions d’une variable restent valables, `a savoir :

Th´eor`eme 2.2.2

• Soit ~u₀ ∈ Rⁿ et soient f , ~~ g;Rⁿ → R^p deux fonctions continues en ~u₀ et soit λ∈R. Alors

1. f~+~g, λ ~f et Df , ~~ g

E

sont continues en ~u₀.

2. Sip= 1 i.e. sif, g;Rⁿ→R, alors f.g est continue en ~u0.

3. Plus g´en´eralement, si f :Rⁿ→R et si g :Rⁿ →R^p sont continues en~u₀, alors f.g :Rⁿ →R^p est continue en~u₀.

4. Sip= 3 i.e. sif , ~~ g :Rⁿ→R³, alors f~∧~g est continue en ~u₀.

• Soit ~u₀ ∈Rⁿ, soit f~ :Rⁿ→R^p et~g :R^p →R^q deux fonctions telles que f~soit continue en~u₀ et~g soit continue en f~(~u₀). Alors ~g◦f~est continue en ~u₀. Les preuves sont les mˆemes que pour les fonctions d’une variable.

2.2.3 Exemples et contre exemples.

• Les polynˆomes et les fractions rationnelles sont continues sur leurs domaines de d´efinition.

• En particulier, toutes les applications lin´eaires Rⁿ→R^p sont continues.

• La fonction f :

R² → R

(x, y) 7→

(x²−y²

x²+y² si(x, y)6= (0,0)

0 sinon

.

SurR²\{(0,0)}c’est une fraction rationnelle dont le d´enominateur ne s’annule pas, donc f est continue sur R²\ {(0,0)}.

Regardons l’application partielle en (0,0) : f_x(t) = f(t,0) = 1 si t 6= 0 et f_x(0) =f(0,0) = 0 doncf_xn’est pas continue et, par suite,f n’est pas continue en (0,0).