Processus de Poisson `a effets al´eatoires : la fragilit´e en temps

D´efinition du mod`ele

Les mod`eles `a fragilit´e dans le cadre des processus de comptage ont ´et´e introduits

par Nielsen et al. (1992). On consid`ere ici que chaque processus individuel N

_i

(t) est

un processus de Poisson, mais d’intensit´e variable entre les sujets. Cette variabilit´e est

repr´esent´ee par un effet al´eatoire multiplicatifU

_i

sur l’intensit´e :

o`u les variables de fragilit´e U

_i

, i = 1, . . . , n sont non observ´ees, ind´ependantes et

identiquement distribu´ees de densit´ef

U

(.). On peut sans perte de g´en´eralit´e consid´erer

cette distribution d’esp´erance 1, et on noteϕ =V ar(U

_i

). Conditionnellement `a la

fra-gilit´e, chacun des processus individuels est un processus de Poisson. Marginalement par

rapport `a cette fragilit´e,N

_i

(t) est un processus dont les sauts ne sont plus ind´ependants.

Intuitivement, les ´ev´enements pass´es renseignent sur la fragilit´e inconnue et donc sur le

risque propre au sujet. On parle de processus de Poisson mixtes.

Intensit´e du mod`ele et vraisemblances

Marginalement par rapport `a la fragilit´e, l’intensit´e conditionnelle au pass´e est

ob-tenue grˆace au th´eor`eme d’innovation (Andersenet al., 1993; Aalenet al., 2008), d´ecrit

en annexe A.1, qui conduit `a :

λ

i

(t) = α

0

(t) exp(β

^t

x

_i

)E(U

i

|F

t−

). (2.23)

– Vraisemblances conditionnelles et marginales

Si les fragilit´esU

i

´etaient observ´ees, la vraisemblance des observations (n

i

, u

i

, t

i1

, . . . , t

ini

)

pour le sujeti serait :

L

i

(α

0

(.),β|u

i

)f

U

(u

i

) =

"

_n i

Y

j

(u

_i

α

₀

(t

_ij

) exp(β

^t

x

_i

))

^δij

exp

−

Z

τ 0

Y

_i

(s)u

_i

α

₀

(s) exp(β

^t

x

_i

)ds

#

f

_U

(u

_i

). (2.24)

La vraisemblance marginale pour les observations (n

i

, t

i1

, . . . , t

ini

) est donc :

L

marg,i

(α

0

(.),β, ϕ) =

Z

∞ 0

"

_n i

Y

j

(u

i

α

0

(t

ij

) exp(β

^t

x

_i

))

^δij

exp{−

Z

τ 0

Y

i

(s)u

i

α

0

(s) exp(β

^t

x

_i

)ds}

#

f

U

(u

i

)du

i

.

(2.25)

2.3. MOD`ELES `A EFFETS AL´EATOIRES ET VRAISEMBLANCES 29

– Esp´erance de la fragilit´e conditionnellement au pass´e

Dans un premier temps la densit´e de la fragilit´e conditionnellement aux observations

pass´ees est calcul´ee `a partir de la formule de Bayes :

f

_Ui

(u|F

_t−

) = ^L

F t− i

(α

0

(.),β|u)f

U

(u)

L

^Ft− marg,i

(α

0

(.),β, ϕ) ^,

o`u les termes L

^Ft− i

(α

0

(.),β|u) et L

^Ft−

marg,i

(α

0

(.),β, ϕ) correspondent aux

vraisem-blances, respectivement conditionnelle `a la fragilit´e et marginale, des observations

jus-qu’`a la date t non comprise (Notons que L

^Fτ

i

(α

0

(.),β|u) = L

i

(α

0

(.),β|u) et de mˆeme

L

F_τ

marg,i

(α

₀

(.),β, ϕ) =L

_marg,i

(α

₀

(.),β, ϕ)).

En notantA

i

(t) =^R

₀^t

Y

i

(s)α

0

(s) exp(β

^t

x

_i

)dsetL(s) = E[exp(−U s)] = ^R

₀^∞

exp(−us)f

U

(u)du

la transform´ee de Laplace de la fragilit´e, on obtient l’esp´erance de la fragilit´e

condition-nellement au pass´e par un calcul d´etaill´e en annexe A.2 :

E(U

i

|F

_t−

) = ^−L

(Ni(t−)+1)

(A

i

(t))

L

(Ni(t−))

(A

i

(t)) ^{. (2.26)}

Conditionnellement aux observations sur l’ensemble du temps de suivi, l’esp´erance

de la fragilit´e est donc :

E(U

i

|F

_τ

) = ^−L

(ni+1)

(A

i

(τ))

L

(ni)

(A

i

(τ)) ^{. (2.27)}

– Estimation dans un cadre semi-param´etrique

Dans un cadre semi-param´etrique o`u l’intensit´e de base α

0

(.) est consid´er´ee comme un

param`etre de nuisance, une estimation par maximisation d’une vraisemblance partielle

est possible. L’estimation des param`etres est d´ecrite dans la partie 2.4 dans le cas d’une

fragilit´e suppos´ee distribu´ee selon une loi gamma.

Taux marginal d’´ev´enement

Conditionnellement `a la fragilit´eu

_i

, le processus consid´er´e est un processus de

Pois-son d’intensit´eY

i

(t)λ

i

(t) o`uλ

i

(t) est donn´e par l’expression (2.22). Sur l’intervalle [0;t],

la distribution du nombre d’´ev´enementsN

_i

(t) est donc d’esp´erance :

E(N

i

(t)) =E{E[N

i

(t)|u

i

]}

=E

Z

t 0

Y

i

(s)u

i

α

0

(s) exp(β

^t

x

_i

)ds

=A

_i

(t),

Ainsi, si un mod`ele `a risques proportionnels pour les covariablesX

_i

est suppos´e sur

le risque conditionnel `a la fragilit´e, l’intensit´e (2.23) n’est plus `a risques proportionnels,

mais le taux marginal d’´ev´enement l’est :

ρ

i

(t) = ^E(dN

ⁱ

^(t))

dt ^=α

⁰

^{(t) exp(β}

t

x

_i

).

Par ailleurs,

V ar(N

i

(t)) =E{V ar[N

i

(t)|u

i

]}+var{E[N

i

(t)|u

i

]}

=

Z

t 0

Y

_i

(s)α

_i

(s)ds+V ar(

Z

t 0

Y

_i

(s)α

_i

(s)u

_i

ds)

=A

i

(t) +ϕ[A

i

(t)]

²

.

Le premier terme correspond `a la variance d’un processus de Poisson d’intensit´e

Y

i

(t)α

i

(t). Le second terme correspond `a la variabilit´e extra-poissonnienne.

Cas d’une distribution gamma de la fragilit´e

Le plus souvent, on suppose la variable de fragilit´e distribu´ee selon une loi gamma,

pour des raisons de simplicit´e de l’expression de la transform´ee de Laplace et de la

vraisemblance marginale (Cook et Lawless, 2007).

La distribution gamma peut ˆetre param´etr´ee par un param`etre de forme η, et un

param`etre d’´echelleν. La densit´e de la distribution est alors :

f

U

(u) = ^ν

η

u

η−1

exp(−νu)

Γ(η) ^.

2.3. MOD`ELES `A EFFETS AL´EATOIRES ET VRAISEMBLANCES 31

L’esp´erance d’une variable U de distribution gamma de param`etresν etη est :

E(U) = ^η

ν^,

et sa variance :

V ar(U) = ^η

ν

2

.

En consid´erant une distribution de fragilit´e d’esp´erance 1, on a ν = η et on peut

alors param´etrer la distribution gamma de la fragilit´e par la seule varianceϕ =

_ν¹

, d’o`u

une densit´e :

f

U

(u) = ^u

1 ϕ−1

exp(−

u ϕ

)

ϕ

ϕ¹

Γ(

_ϕ¹

) ^.

Le nombre d’´ev´enements survenant sur une p´eriode donn´ee est alors distribu´e selon

une loi binomiale n´egative.

La transform´ee de Laplace a pour expression :

L(s) = (1 +ϕs)

⁻ϕ¹

. (2.28)

L’expression de l’esp´erance de la fragilit´e conditionnellement aux observations

pas-s´ees (2.26) devient :

E(U

i

|F

_t−

) = ^{1 +ϕN}

ⁱ

^(t

−

)

1 +ϕA

_i

(t) ^{, (2.29)}

et l’intensit´e (2.23) :

λ

i

(t) = Y

i

(t)α

i

(t)^{1 +ϕN}

ⁱ

^(t

−

)

1 +ϕA

i

(t) ^{. (2.30)}

Cette formule montre comment l’intensit´e peut ˆetre _«mise `a jour_»selon les

´ev´ene-ments survenus. Ainsi, au tempst, `a un sujet ayant subi un grand nombre d’´ev´enements

correspondra une valeur deN

i

(t

−

) et donc une intensit´e ´elev´ees, indiquant que le risque

de nouveaux ´ev´enements est accru.

La contribution `a la vraisemblance marginale du sujet i est alors :

L

marg,i

(α

0

(.),β, ϕ) =

Z

∞ 0

"(

_n i

Y

j

(uα

i

(t

ij

))

^δij

)

exp

−

Z

τ 0

Y

i

(s)uα

i

(s)ds

#

f

U

(u)du

=

Z

∞ 0

"(

_ni

Y

j

(uα

0

(t

ij

) exp(β

^t

x

_i

))

^δij

)

exp

−

Z

τ 0

Y

i

(s)uα

0

(s) exp(β

^t

x

_i

)ds

#u

ϕ¹−1

exp(−

^u_ϕ

)

ϕ

ϕ¹

Γ(

1 ϕ

) ^du

= ^ϕ

ni

Γ(

_ϕ¹

+n

i

)

Γ(

_ϕ¹

)

ni

Y

j

(α

0

(t

ij

) exp(β

^t

x

_i

))

^δij

(1 +ϕ^R

₀^τ

Y

i

(s)α

0

(s) exp(β

^t

x

_i

)ds)

¹ϕ+ni

. (2.31)

La validit´e de l’inf´erence sur β et ϕ `a partir de cette vraisemblance repose sur

l’hypoth`ese que conditionnellement `a la fragilit´e U

i

, la censure est ind´ependante des

´ev´enements et non informative sur la fragilit´e. L’estimation des param`etres du mod`ele

`a fragilit´e sera abord´ee `a la section 2.4.

Stratification du risque de base sur le rang de l’´ev´enement

Une g´en´eralisation du mod`ele (2.22) peut consister `a stratifier le risque de base sur

le nombre d’´ev´enements pass´es :

λ

i

(t|N

i

(t

⁻

) =j−1, u

i

) = u

i

α

j0

(t) exp(β

^t

x

_i

), (2.32)

Le processus consid´er´e n’est alors plus un processus de Poisson, mˆeme

conditionnel-lement `a la fragilit´e, puisque la survenue d’un ´ev´enement modifie le risque de survenue

de nouveaux ´ev´enements. Le mod`ele comporte donc un terme d’h´et´erog´en´eit´eu

_i

et une

d´ependance entre ´ev´enement par la stratification du risque de base. Toutefois, ce mod`ele

est peu utilis´e en pratique.

2.3. MOD`ELES `A EFFETS AL´EATOIRES ET VRAISEMBLANCES 33

2.3.2 Mod`ele de renouvellement avec effets al´eatoires : mod`ele

`

a fragilit´es partag´ees

De mˆeme qu’en temps calendaire, une extension au mod`ele correspondant `a des

pro-cessus de renouvellement stricts consiste `a introduire un effet al´eatoire sp´ecifique au

su-jet, qui induit une association entre les temps d’attente. Aalen et Husebye (1991)

intro-duisent l’utilisation de mod`eles `a fragilit´e dans le cadre des processus de renouvellement.

Conditionnellement `a l’effet al´eatoire sujet U

i

, les temps d’attente W

ij

(j = 1,2, . . .)

sont suppos´es ind´ependants. On consid`ere ainsi que les ´ev´enements survenant pour un

individu particulier sont ind´ependants entre eux, mais qu’une h´et´erog´en´eit´e entre les

sujets cr´ee une corr´elation entre ces temps d’attente : les temps d’attente d’un mˆeme

sujet sont plus «semblables» que les temps d’attente de sujets diff´erents.

Les mod`eles supposant un effet al´eatoire identique pour tous les intervalles d’un sujet

sont des mod`eles `a fragilit´e partag´ee. Le mod`ele `a fragilit´e `a risques proportionnels est

une extension directe du mod`ele de renouvellement (2.20) avec un risque conditionnel

de j-`eme (j = 1,2, . . .) ´ev´enement pour le sujet iqui s’´ecrit :

h

ij

(w|u

i

) = u

i

h

0

(w) exp(β

^t

x

_i

). (2.33)

L’effet βdes covariables sur le risque est conditionnel `a la fragilit´eu

i

. Il est possible

d’obtenir un risque marginal par int´egration de (2.33) sur la distribution de fragilit´e,

mais il n’a pas, en g´en´eral, de forme multiplicative pour l’effet des covariables.

Vraisemblances conditionnelles et marginales

Si les fragilit´esu

i

´etaient observ´ees, la probabilit´e associ´ee au r´esultat (n

i

, u

i

, w

i1

..., w

ini

)

pour le mod`ele (2.33) serait :

Dans le document Modèles multiplicatifs du risque pour des événements successifs en présence d’hétérogénéité (Page 52-58)