1.6 Changement de mesure dans le système de particules look-down
1.6.2 Le Q-processus d’un Λ-Fleming-Viot
(Xs−∞ν(du) +uν(du)) =ds uν(du).
On en déduit le résultat suivant :
Proposition. [65]. Le processus P0≤s≤t∆Xs∞1{j1(s)=1}, t≥0 est un processus de Lévy à sauts purs, de mesure de Lévy uν(du), c’est-à-dire un subordinateur d’exposant de Laplace ψ0(λ)−ψ0(0+).
En d’autres termes : l’immigration provient de l’individu au niveau 1, et on retrouve le fait que cet individu génère une fraction xde la population selon la mesure de Lévy biaisée uν(du).
(Attention à ne pas confondre ce résultat avec la loi de reproduction de la particule de niveau 1 dans le modèle du Λ-Fleming-Viot vue en section 1.5.3.) Le même résultat avec l’ajout d’une composante brownienne (α6= 0) est plus délicat à obtenir, et fait l’objet d’une remarque dans l’article [65].
1.6.2 Le Q-processus d’un Λ-Fleming-Viot
Nous avons conditionné en section 1.2.5 un CB vérifiant {τ0(X) < ∞} p.s. à l’évènement {τ0(X) = ∞} par le biais d’un passage à la limite, et avons appelé le processus résultant Q-processus. Sous une condition explicite (que nous donnons en (1.39)), le Λ-Fleming-Viot vérifie
1.6 Changement de mesure dans le système de particules look-down 29
la propriété d’absorption p.s., au sens oùRt est, pourt assez grand, p.s. réduit à une masse de Dirac en le type aléatoire ξ0(1). Ceci signifie que le seul type ξ0(1) subsiste au bout d’un temps suffisamment long. Notre objectif est maintenant de conditionner tout Λ-Fleming-Viot qui vérifie la propriété d’absorption p.s. à la non absorption. Cet objectif avait déjà été menée à bien à l’aide de techniques analytiques dans le cas de la diffusion de Wright-Fisher, on pourra consulter Lambert [86], qui pointe lui-même vers les travaux de Kimura [73]. Nous proposons une approche nouvelle, basée sur le système de particules look-down, qui permet de calculer le générateur du Q-processus, et permet en outre d’expliquer la forme de ce générateur.
Nous supposons donc dans toute cette section que Z(dx) =R(dx) est un Λ-Fleming-Viot, et on rappelle que l’exposant de Laplace du subordinateur U est lié à la mesureΛpar l’équation (1.32).
On choisit de travailler avec l’espace des types E ={1, . . . , K0}plutôt que [0,1] par commodité.
Un outil important dans cette étude est le changement de filtration. On définit à cet effet les deux filtrations d’intérêt :
– (Ft=σ{(ξs(n), n∈N),0≤s≤t}) la filtration associé au système de particules.
– (Gt=σ{Rs,0≤s≤t}) la filtration associée au processusR.
On considère le processus R conditionné à la coexistence desK premiers types à l’instantt, pour K entier fixé compris entre 1 etK0 :
∀A∈ Gt, P(R(≥t) ∈A) =P R ∈A|
K
Y
i=1
Rt{i} 6= 0,
Il n’est pas aisé de définir la structure probabiliste du processus R(≥t) à tfixé. Néanmoins, pour t grand, on peut en s’aidant du système de particules look-down prouver queR(≥t) restreint à une fenêtre de temps [0, s] près de l’origine, admet une structure simple, qui peut être décrite en fonction d’un nouveau système de particulesξ∞. Un élément clef dans l’analyse est l’introduction deL(t) le premier niveau auquel lesK premiers types sont apparus dans le système de particules originalξ :
L(t) = inf{i≥K,{1, . . . , K} ⊂ {ξt(1), . . . , ξt(i)}}.
On définit le système de particules ξ∞, semblable au système de particules original ξ, avec deux différences majeures : les K premiers types sont forcés d’occuper les K premiers niveaux, puis les évènements de reproduction impliquant au moins 2 des K premiers niveaux sont interdits, de sorte que les K premiers types restent aux K premiers niveaux à tout instant ultérieur. La définition précise est la suivante :
(i) La suite finie (ξ0∞(j),1≤j≤K) est une permutation uniforme de {1, . . . , K}, et la suite (ξ∞0 (j), j ≥K+ 1) est une suite aléatoire indépendante échangeable, de fréquence asymptotique
R0∞de loi :
P(R∞0 ∈A) =E 1A(R0) QK
i=1R0{i}
E(QKi=1R0{i})
! .
(ii) Les évènements de reproduction sont gouvernés par la restriction de la mesure de Poisson N (définie dans à la section 1.5.1 lors de la construction de R) à l’ensemble
V :=n(s, π), π|[K]={{1},{2}, . . . ,{K}}o, où π|[K]désigne la restriction de la partition π à {1, . . . , K}.
Par un argument d’absolue continuité, on montre que le système de particulesξ∞ ainsi construit est bien défini, et admet une mesure de de Finetti notée R∞t :
R∞t (dx) = lim
N→∞
1 N
N
X
n=1
δξ∞
t (n)(dx),
NotonsPK la loi du processus de Markov (L(t), t≥0) issu de K. Nous pouvons alors énoncer le Théorème suivant.
Théorème. [65]. Soit s≥0 fixé. Si :
t→∞lim
PK+1(L(t)<∞)
PK(L(t)<∞) = 0, (1.33)
alors la famille de processus (Ru(≥t),0≤u≤s) converge en loi vers le processus (R∞u ,0≤u≤s) quand t tend vers ∞.
Noter que la condition (1.33) implique l’absorption p.s. En effet, on a PK+1(L(t) < ∞) → 0 de (1.33), et donc L est infini p.s. en temps fini. Des conditions suffisantes sous lesquelles la condition (1.33) vaut sont explicitées dans l’article. On introduit, pour i≥1, les quantités :
ri = i(i−1)
2 c+
Z
(0,1]
ν(dx)1−(1−x)i−ix(1−x)i−1.
Elles représentent le paramètre de la variable aléatoire exponentielle qui gouverne le temps passé par une particule au niveau i dans le sytème de particules look-down original ξ. On a alors l’égalité suivante :
Proposition. [65]. Soit t≥0, etA∈ Gt : P(R∞∈A) =E 1A(R)
QK
i=1Rt{i}
E(QKi=1R0{i})erKt
!
. (1.34)
Noter que cette Proposition vaut sans faire l’hypothèse d’absorption p.s..
Plaçons nous désormais dans le cas K =K0 = 2. La population compte donc deux types, et nous conditionnons le processus à la survie de ces types en temps long. Dans ce cadre simple, le Λ-Fleming-Viot est maintenant assimilable au processus (Rt{1}, t≥0) à valeurs dans [0,1], et Bertoin et Le Gall donnent dans [15] son générateur infinitésimal :
Gf(x) = 1
2cx(1−x)f00(x)+x Z
(0,1]
ν(dy)[f(x(1−y)+y)−f(x)]+(1−x) Z
(0,1]
ν(dy)[f(x(1−y))−f(x)], de domaine f ∈ C2([0,1]). On obtient alors le théorème suivant, et son interprétation à suivre : Théorème. [65]. Supposons K =K0 = 2. Définissons pour f ∈ C2([0,1]), et x∈[0,1] :
G0f(x) =c(1−2x)f0(x) + Z
(0,1]
y(1−y)ν(dy)[f(x(1−y) +y)−f(x)]
+ Z
(0,1]
y(1−y)ν(dy)[f(x(1−y))−f(x)], and
1.6 Changement de mesure dans le système de particules look-down 31
G1f(x) = 1
2cx(1−x)f00(x) +x Z
(0,1]
(1−y)2ν(dy)[f(x(1−y) +y))−f(x)]
+ (1−x) Z
(0,1]
(1−y)2ν(dy)[f(x(1−y))−f(x)].
Alors l’opérateur G0+G1 est le générateur du processus (Rt∞, t≥0).
Une preuve directe dans le cadre d’un Λ-Fleming-Viot à sauts purs, c’est à dire pour lequel Λ{0}= 0, est la suivante. On écrit :
ν(dy) = 2y(1−y)ν(dy) + (1−y)2ν(dy) +y2ν(dy), puis on interprète comme suit les différents termes de la somme :
1. Le premier terme est la somme des deux mesures y(1−y)ν(dy) qui apparaissent dans l’expression deG0. Chacune de ces deux mesures correspond à l’intensité des évènements de reproduction qui concernent le niveau 1 mais pas le niveau 2, ou le niveau 2 mais pas le niveau 1, puisque ces évènements ont pour probabilité y(1−y) lorsque l’évènement de reproduction implique une fraction y de la population. Nous interprétons ces évènements comme des évènements d’immigration.
2. Le second terme correspond à la mesure (1−y)2ν(dy)qui apparaît dans le générateur G1 et correspond à l’intensité des évènements de reproduction qui n’impliquent ni 1 ni 2 : à nouveau, cet évènement a pour probabilité (1−y)2 lorsque l’évènement de reproduction implique une fractiony de la population. Le père est alors de type 1 avec probabilité x la fréquence asymptotique des particules de type 1, et de type 0 avec probabilité 1−x. Nous interprétons ces évènements comme des évènements de reproduction.
3. Le troisième terme de la somme n’apparaît ni dans l’expression deG0, ni dans celle deG1 : il correspond à l’intensité des évènements de reproduction qui impliquent à la fois les niveaux 1 et 2, mais ces évènements ont été effacés dans notre construction deR∞.
Nous donnons dans l’article une version plus générale, incluant les cas où Λ{0} 6= 0, dont la preuve est basée sur l’expression (1.34) de R∞ comme h-transformée de R. Il est intéressant de comparer le Q-processus du Λ-Fleming-Viot avec le Q-processus des processus de branchement : alors qu’il est nécessaire d’ajouter des évènements de reproduction lorsqu’on conditionne un processus de branchement à la non-extinction (voir la construction de Kesten de l’arbre de Galton-Watson conditionné à la non extinction par exemple), il faut effacer des évènements de reproduction lorsqu’on conditionne un Λ-Fleming-Viot à la non-absorption. On peut certes interpréter ξ∞ comme un système de particules où lesK premiers niveaux agissent comme K sources d’immigration, mais alors les niveaux suivants se reproduisent selon une mesure biaisée égale à (1−y)KΛ(dy), et cette mesure est dominée parΛ(dy) au sens de l’ordre stochastique.