Les arbres de Lévy, et les décompositions de Bismut et de Williams

Nous décrivons dans cette section une procédure pour donner un sens à la généalogie d’un CB(ψ) en terme d’arbre réel. Nous proposons ensuite une décomposition de cette généalogie par rapport à un pointx de l’arbre :

– choisi selon la mesure de masse m(dx) (Bismut).

– choisi de sorte qued(ρ, x) soit maximal (Williams).

Nous précisons enfin comment ces généalogies permettent de définir la généalogie duQ-processus.

Soit un processus de Lévy Y = (Yt, t≥0) d’exposant de Laplace ψ donné par (1.4), dont les trajectoires sont à variation infinie, et qui ne dérive pas vers +∞. Le Gall et Le Jan lui associent dans [94] un processus des hauteurs (Ht, t≥0) défini comme suit. On note

Yˆ_s^t=Y_t−Y_(t−s)−, 0≤s≤t, le processus retourné à l’instant tet

Sˆ_s^t = sup

r≤s

Yˆ_r^t

le processus du supremum. Le processus des hauteurs à l’instant t,H_t, est alors défini comme le temps local au niveau 0 et à l’instant t du processus ˆS^t−Yˆ^t. Le processus des hauteurs, qui n’est pas une semi-martingale, admet cependant un temps local, dont il existe une version conjointement mesurable notée (L^t_s, t≥0, s≥0), continue et croissante ens.

On a la généralisation suivante du théorème de Ray-Knight, due à Duquesne et Le Gall [37].

Théorème (Théorème de Ray-Knight généralisé). Supposons que le CB(ψ) soit critique ou sous-critique, à trajectoires de variation infinie. Alors le processus (L^t_τ−r, t≥0) est un CB(ψ) issu de r, avec τ−r=τ−r(Y).

Remarque1.3.1. Lorsqueψ(λ) = 2λ², le processus des hauteurs a la loi d’un mouvement brownien standard réfléchi, et donc le théorème de Ray-Knight ci-dessus dit que la famille des temps locaux d’un mouvement brownien réfléchi stoppé lorsque le temps local en 0 excèder est un CB(ψ) issu de r, encore appelé diffusion de Feller. Ce résultat constitue le second théorème de Ray-Knight, dû indépendamment à Ray [109] et Knight [75].

Supposons que le CB(ψ) est critique ou sous-critique, à trajectoires de variation infinie, et vérifie la condition de Grey (1.6). Duquesne et Le Gall [37] prouvent alors que le processus des hauteurs

1.3 Généalogie des CB : Les arbres réels 11

est continu en la variable t. Dès lors, il est possible de considérer l’arbre réel associé T_g pour g(s) =Hs∧τ−r, où τ−r=τ−r(Y). L’arbre réelT_g ainsi défini est alors compact. On noteraP_r la loi de l’espace métrique T_g ainsi défini muni dedg.

On peut encore définir l’arbre T^g sous la mesure d’excursion ndu processusY −I, oùI désigne l’infimum de Y :I_t = inf_0≤s≤tY_s pour t≥ 0. Soit g(s) = H_s une excursion du processus des hauteurs sousn. Nous noteronsNla "loi" de l’espace métrique égal àT_g muni ded_g. Le lien entre N et Ns’énonce alors comme suit : si T est distribué selon N, alors (L^t_τ0, t≥0) est distribué selonN.

Pour t≥0 fixé, la famille des temps locaux (L^t_s, s≥0, t≥0) induit une mesure d_sL^t_s sur (0, τ₀), et nous notons`<sup>t</sup>(du) la mesure image de la mesuredsL<sup>t</sup><sub>s</sub> par l’applicationp. Ainsi, `^t est une mesure sur l’arbre T_g qui vérifie, pour toute fonctionϕmesurable bornée,

Z

On donne maintenant les décompositions de Bismut et de Williams sous la mesure d’excursion n de Y −I. Etant donné deux espaces métriques (T, d, ρ) et (T⁰, d⁰, ρ⁰) et un élémentx₀ deT, on introduit une opération de greffe. Définissons

T˜ =T ~(T⁰, x₀),

Soit h∈ [0,∞]. Considèrons l’espace métrique T^h = [0, h], muni de sa distance naturelle. On pose maintenant :

définit encore un arbre réel. Noter que cette construction, dans laquelle nous greffons un nombre infini d’arbres, est bien licite. Nous renvoyons à Le Gall Le Jan [94] et Duquesne Le Gall [37]

pour la démonstration de la décomposition de Bismut suivante.

Théorème (Décomposition de Bismut). SupposonsT construit à partir d’un CB(ψ) critique ou sous-critique, à trajectoires de variation infinie, et qui satisfait la condition de Grey. Nous avons alors la relation :

Nous choisissons (T, x) distribué selon N(dT)m(dx) : cela signifie que T est distribué selon N(m(T), dT) puis, conditionnellement à T, quex est de loi m(dx)/m(T). Alorsd(ρ, x) a pour densité e^−ψ0(0+)h par rapport à la mesure de Lebesgue dh sur R⁺, et conditionnellement à d(ρ, x) =h,T est distribué comme T^B,h.

Remarque 1.3.2. Lorsque ψ(λ) = 2λ², le processus des hauteurs est distribué selon la mesure d’excursion d’Itô, et on retrouve la décomposition originale de l’excursion brownienne due à Bismut [19].

Figure 1.1:A gauche : une excursion du processus des hauteurs sousnet un point uniforme sur celle-ci, associé au pointxdans l’arbre. A droite : l’arbre réel associé, de loiT^B,h, décomposé le long du chemin deρàx, de longueurh.

Soith <∞, et soitA un ensemble qui ne dépend que de la restriction de l’arbre réel à l’ensemble {x∈ T, d(ρ, x)≤h}. On a par construction la propriété de compatibilité suivante :

P(T^B,h∈A) =P(T^B,∞∈A).

De plus, on peut déduire de (1.19) et du théorème précédent que : P(T^B,h ∈A) =N(e^ψ0(0+)hL^h_τ0,T ∈A).

On rappelle de plus que (L^h_τ0, h ≥ 0) a la loi d’un CB(ψ) pris sous sa mesure d’excursion.

Maintenant, la martingale (L^h_τ0e^ψ0(0+)h, h ≥ 0) est encore la dérivée de Radon-Nikodym du Q-processus par rapport au processus de branchement original dans sa filtration naturelle (F_h, h≥0), selon (1.15). Ainsi T^B,∞ donne une généalogie auQ-processus. Ce même résultat vaut encore dans le cas discret : voir les preuves conceptuelles du théorème de Kesten et Stigum par Lyons, Pemantle et Peres [97].

On exprime maintenant la décomposition de Williams en terme d’arbre réel. On note H_max= sup{H_t, t≥0}= sup{d(ρ, x), x∈ T }

la hauteur de l’arbre réel T associé à H. On définit : µ_W,h(dT) = 2αN(dT) +

Z

(0,∞)

ν(dr)re^−rvhP_r(dT).

Soit h ≥ 0 fixé. On considère à nouveau l’espace métrique T^h = [0, h] muni de sa distance naturelle. Soit une mesure ponctuelle de Poisson ^P_iδ_(si,T_i)(ds, dT) sur le produit deT^∞×T d’intensité

1_[0,h)(s)ds µW,h−s(dT).

AlorsT^W,h =T^h ~

i∈I^h

(T_i, s_i), où I^h ={i∈ I;s_i+H_max(T_i) ≤h}, définit encore un arbre réel.

Abraham et Delmas [1] prouvent alors le Théorème suivant.

1.3 Généalogie des CB : Les arbres réels 13

Figure 1.2: A gauche : l’arbre réelT^B,h. A droite : l’arbre réel T^B,∞. Les deux arbres coïncident à distance inférieure àhde la racine

Théorème (Décomposition de Williams). Supposons T construit à partir d’un CB(ψ) critique ou sous-critique, à trajectoires de variation infinie, et qui satisfait la condition de Grey. On a : – N(Hmax≥h) =vh pour tout h >0.

– Conditionnellement à {H_max=h}, T a même loi que T^W,h. Ainsi, on a la relation :

N(F(T)) = Z

h∈R⁺

dh|∂_hv_h|E(F(T^W,h)).

Figure 1.3:A gauche : une excursion du processus des hauteurs sousndécomposée selon son supremum atteint enx. A droite : l’arbre réel associé, décomposé le long du chemin deρàx, de longueurh, de même loi queT^W,h. On notera qu’aucun des sous-arbres greffés le long deT^hne dépasse la hauteurh.

Remarque 1.3.3. Lorsque ψ(λ) = 2λ², le processus des hauteurs est distribué selon la mesure d’excursion d’Itô, et on retrouve la décomposition de l’excursion brownienne par rapport à son supremum due à Williams, voir Rogers et Williams [114], Théorème 55.11.

La décomposition de Williams fournit une seconde approche de la généalogie du Q-processus, puisqu’il est possible de montrer que les conditionnements par les évènements {H_max> h} et {H_max =h} donnent le même processus a la limite h→ ∞, voir le lemme 2.5.1. Ainsi, T^W,∞

fournit à nouveau la généalogie du Q-processus. On notera enfin queT^W,∞(L)= T^B,∞.

En résumé, nous avons vu deux méthodes pour donner une généalogie au Q-processus des CB :

– ou bien commencer par prouver l’existence du Q-processus du CB en montrant que c’est une h-transformée puis représenter cette h-transformée en terme d’arbre réel : c’est la méthode explicitée dans la section 1.2.5 et poursuivie avec la décomposition de Bismut.

– ou bien obtenir une représentation en terme d’arbre réel du processus conditionné à{H_max=h}

puis passer à la limite en h sur cette représentation, comme nous venons de le voir avec la décomposition de Williams.