C Dirac equation B SchrÖdinger
II. 6 - Procédure de simulation Monte Carlo
II.6 - Procédure de simulation Monte Carlo
Un résultat de calcul significatif par la méthode Monte Carlo, exige une bonne statistique par la simulation d’un nombre très large de trajectoire d’électrons incidents. De plus dans la présente simulation ; l’ionisation, l’excitation, la production des électrons secondaires, ainsi que la relaxation et les émissions Auger sont prise en considération.
Premièrement on doit être sûr que parmi les trajectoires du même électron, qu’aucune trajectoire ne doit se répéter occasionnellement, par la répétition de la période du nombre aléatoire.
D’où l’utilisation d’une rangée de générateur de nombre aléatoire, chacune d’elle à ses propres racines et spécifiée pour la sélection d’une quantité physique différente
Le présent programme de simulation est composé de trois parties. La première partie représente les conditions initiales ; incluant les constantes physiques pour la spécification de l’échantillon, et du premier faisceau d’électrons ainsi que les paramètres de contrôle des options. Les tables de section efficaces sont a lors préparés avant la simulation pour gagner du temps. Permettant ainsi au processus de programmation de suivre la trace de l’électron en prenant les données des tables dont il à besoin pendant que les calcules arithmétique sont effectuées. D’où la nécessitée d’utilisation d’une espace mémoire très large pour les tabulations des sections efficaces comme des fonctions de matériel, énergie, perte d’énergie, et l’angle de diffusion
La deuxième partie est la plus importante, c’est la partie de routine de la simulation Monte Carlo, qui consiste de suivre les traces des électrons pas à pas jusqu’à la condition de coupure d’énergie (cut-off) est satisfaite. Ensuite un par un jusqu’au nombre total des électrons primaires.
CHAPITRE
II:
MODELISATION
Le processus de la dernière partie consiste à transférer dans des fichiers tous les résultats accumulés dans la simulation
La présente simulation Monté Carlo des trajectoires de l’électron pénétrant un échantillon multicouche est basée sur la description individuelle des processus de diffusion de l’électron comme il est présenté dans le schéma suivant : Figure II.13. [3]
Fondamentalement la technique de Monte Carlo utilise lEs probabilités de densité de fonction par l’injection d’un nombre aléatoire pour avoir l’énergie et la positon de l’électron après chaque collision.
FIG. II.13 Schéma représentant un modèle discret pour la simulation Monté Carlo de la diffusion de l’électron
CHAPITRE
II:
MODELISATION
Le processus de diffusion entre chaque deux successive collision est décrit par la distribution de poisson.
Pour une fonction de probabilité de distribution P(x) donnée, on peux calculer la fonction d’accumulation normalisée A(x), et déterminé par la suite la valeur spécifique de x a partir de A(x)=R pour une valeur donnée d’un nombre aléatoire uniforme R appartenant à [0,1].
( )
D’où la longueur du parcours S, dans le cas d’une diffusion d’électron entre deux collision successive obéissant au processus stochastique de Poison avec une probabilité de distribution. [3]
( )
( ) 1 . . . 3 7
s m
P s = λm− e − I I −
Où, λm est le libre parcours moyen total relié au correspondant, libre parcours mayens inélastique et le libre parcours moyen élastique à travers la relation suivante :
( )
1 1 1... 3 8
m e i n é II
λ
− =λ
− +λ
− −Un électron peut subir une diffusion lors d’un parcours S qui est déterminé par un nombre aléatoire R1 suivant la relation suivante
ln 1...( 39)
S = −
λ
m R II −CHAPITRE
II:
MODELISATION
Un autre nombre aléatoire R2 est injecté, pour déterminer la nature de la diffusion après le passage S :
L’angle de la diffusion pour la collision élastique est tiré à partir de la fonction de probabilité de diffusion angulaire (angular PDF) par l’injection d’un troisième nombre aléatoire R3
( )
L’angle azimutal est supposé isotopique pendant la collision, il est calculé directement par l’injection d’un nombre aléatoire R4
( )
Φ= 2πR ... II-4 14
Dans le cas d’une collision inélastique, la perte d’énergie est déterminée par l’injection d’un nombre aléatoire R5 dans l’expression suivante :
( ) ( )
CHAPITRE
II:
MODELISATION
Le niveau zéro de l’énergie cinétique des électrons est pris comme le niveau bas de la bande de valence.
L’angle de la diffusion inélastique est calculé par l’injection d’un nombre aléatoire R6
( ) ( ) ( )
Une fois la perte d’énergie ΔE est déterminée dans l’étape précédente par l’équation (II-42), la section efficace double différentielle peut être obtenue à partir de l’équation (II-8), en transformant la variable q par θ, tout en respectant les valeurs de la perte d’énergie et de l’angle solide.
A travers la relation de l’énergie et la conservation du moment donnée par
( ) h q
2/ 2 m = 2 E − 2 E ( E − Δ E ) co s ... θ ( II − 4 4 )
Et avec le changement des variables, on obtient alors
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Il peut être démontré que la distribution angulaire est proportionnelle à θ-2 pour θ petite, pour une perte d’énergie importante, l’angle de diffusion est égale à l’expression prédite par le modèle classique de collision binaire à :
Sin θ= (ΔE/E)1/2……….(II-46)
CHAPITRE
II:
MODELISATION
Cette dernière approximation pour l’angle de diffusion est très utile pour accélérer la simulation.
L’angle azimutal assumé isotopique dans le cas d’une collision inélastique et aussi déterminé par l’équation (II-41).
Les angles de diffusions dans les équations 44, 45, 46 sont données dans un système de coordonnées se déplaçant avec le traçage de l’électron (fig II.14)
Une fois ces angles sont transformés dans le système de coordonnées fixé dans l’échantillon, la position dans la prochaine diffusion peut être facilement déterminée.
On répétant ces procédures, nous obtenons la trajectoire de l'électron pénétrant. Ce dernier se termine soit dans l'échantillon lors de l’épuisement de son énergie cinétique, soit on s’évadant de la surface dans le cas contraire.
II.7 Simulation des émissions des électrons secondaires et électrons Auger
Comme il est détaillé précédemment, le processus inélastique se poursuit par la production successive des électrons secondaires, générant ainsi un grand nombre d’électrons secondaires de basses énergies. Ces derniers une fois générés ; leurs énergies, coordonnées et la direction de leurs déplacements sont stockées dans la mémoire de l’ordinateur.
Une fois la trajectoire de l’électron primaire est terminée, les informations stockées des électrons secondaires sont ainsi rappelées. Chaque électron secondaire est traité exactement comme
CHAPITRE
II:
MODELISATION
un étant un électron primaire, qui pourra de nouveau générer des électrons secondaires. Ainsi le processus du cascade se poursuit, à partir de l’énergie initiale de l’électron primaire ou de l’électron secondaire, jusqu’ à l’énergie de 1eV.
Dans le présent modèle de diffusion d’électron, nous avons assumé que chaque collision inélastique produit individuellement un électron secondaires en transférant une quantité d’énergie ΔE à l’électron d’orbite.
Dans Chaque événement d’une collision inélastique résulte deux électrons sortant:
• Le premier à une énergie cinétique égale à E1=E-ΔE et se déplaçant dans la direction caractérisée par θ et ф.
• Le deuxième électron à une énergie E2= ΔE+EF dans le cas d’une excitation de l’électron de valence, ou bien E2= ΔE+EB pour une ionisation, ou EB est l’énergie de liaison de la couche.
D’où la probabilité de distribution de perte d’énergie pour une diffusion inélastique présentée dans l’équation 11 est considérée comme la fonction d’excitation pour la génération d’électron secondaire.
Dans le cas des petits angles, qui sont dominante dans le processus inélastique, les électrons secondaires sont produits perpendiculairement à la direction de la trajectoire de l’électron incident.
On partageant l’énergie cinétique de l’électron incident, les deux électrons sortants ont alors des énergies réduites.
CHAPITRE
II:
MODELISATION
Suivant le principe de la conservation du moment angulaire en physique, l’angle polaire θ΄ de l’électron secondaire émis est relié à l’angle de l’électron incident θ par la relation suivante :
s in θ ′ = c o s ...( θ I I − 4 7 )
Est l’angle azimutal Φ′par :. . . ( I I 4 8 )
π φ
Φ = ′ + −
L’électron Auger est émis avec une direction isotopique, il est considéré comme étant générée par une source isotopique d’une charge ponctuelle.
Par conséquent, la direction de l’émission est déterminée par les angles polaires et azimutaux en injectant deux nombre aléatoires R7 et R8 dans les équations suivantes
( )
c o s
θ
′′ = −1 2R 7... II − 4 9 Et( )
2
π
R 8 . . . I I 5 0Φ ′′ = −
II.8 Génération d’une trace aléatoire
La trace d’un électron commence avec une direction et une énergie initiale. Après une interaction, il est définit par les coordonnées de sa nouvelle position ainsi que par son énergie, comme il est définit dans les laboratoires de références.
D’après la figure II- 14 : Au début de la simulation : θ =α, φ=0
CHAPITRE
II:
MODELISATION
Après la projection suivant les coordonnées polaire de la première interaction élastique on aura : X1= (r . sin θ) cosф, Y1= (r . sinθ) sinф, Z1= r . cos θ
Avec x2+y2+z2= r2
A la nième collision élastique on aura :
1 1