Approche théorique de la diffusion inélastique

II.4 Diffusion inélastique de l’électron

II.4.1 Approche théorique de la diffusion inélastique

Suivant la théorie diélectrique, la fonction diélectrique ε (q,ω) donne une description compréhensive de la réponse du milieu, comme un ensemble d’interactions des électrons avec les atomes, à la perturbation d'un point de charge externe. [3]

La section efficace différentielle de la diffusion inélastique de l’électron est donnée par Pines and Nozières (1966).

Qui détermine complètement la probabilité des événements de diffusion inélastique à savoir, la distribution de perte d’énergie et la distribution de la diffusion angulaire

Où : 

a0 : Rayon de Bohr.

Ћω et q sont respectivement la perte d’énergie et le moment de transfert issues d’un électron d’énergie cinétique E pénétrant un solide dont la fonction dielectrique est ε(q,ω ).

λin est le libre parcours moyens inélastique de l’électron.

Im{-1/ε(q,ω)} : la fonction de perte d’énergie.

CHAPITRE

 

II:

 

MODELISATION 

 

Les analyses du pouvoir d’arrêt et du libre parcours moyen inélastique pour les électrons libres sont caractérisés par la contribution dominante des excitations dues aux ; ionisations des couches internes, la création des paires électrons-trous et l’excitation due aux mouvements collectifs des électrons de valence. Théoriquement, la réponse diélectrique d’un gaz d’électron à été vastement étudiée principalement en utilisant de la fonction dielectrique de type Lindhard sous une approximation de phase aléatoire RPA (random phase approxiation). Les analyses du pouvoir d’arrêt et des libres parcours moyens inélastiques pour les électrons libres indiquent que la RPA décrit très bien les processus inélastiques presque pour tous les matériaux d’électrons libre, cela a été clairement vérifié dans le spectre expérimental d’excitation Im (-1/ε(ω)), qui montre un pic net dans l’énergie du plasmon et plusieurs bout de pic due au couches intérieures. [2]

En outre la relation de dispersion de plasmon prédite par la théorie de RPA concorde parfaitement avec l’expérimental pour des faibles valeurs de q’s.

La RPA modifié (En introduisant quelques corrections) peut aussi être appliquée pour d’autres métaux simples et les semi-conducteurs qui ont une simple structure de bande.

En revanche la complication réside dans les matériaux de transition et les métaux nobles, due à la présence des pics de perte largement répandus dans le spectre d'excitation et qui sont largement associés aux transitions entrebande. [2]

Certainement, des connaissances rigoureuses doivent être basées sur les calcules de la structure de bande. Un tel calcul n’a été effectué que pour ε(ω) par Maksimov et al. [2]

CHAPITRE

 

II:

 

MODELISATION 

 

Toutefois plusieurs méthodes semi empirique pour dériver ε (q,ω) ont été appliquée. Souvent Im (-1/ ε (q,ω)) est obtenu par l’extrapolation de Im(-1/ ε(ω)) à (q, ω) plane sous forme d’une somme de plusieurs termes de la fonction diélectrique de type Drude-Lindhards. [2]

Une méthode améliorée a été récemment suggéré par Penn [1987] pour le calcul du libre parcours moyen inélastique qui consiste à employer directement les data expérimentaux de ε(ω) pour l’expansion de Im (-1/ ε(ω), en série infinie du terme Drude-Lindhards, évitant ainsi tout ajustement des paramètres. [2]

On considérant que la distribution des charges se présente sous une symétrie sphérique dans la cellule de Wigner-Seitz, et on négligeant le terme d’échange-corrélation entres les électrons ainsi que l'auto-cohérence et la correction de vertex, l’approximation de Penn de Im {-1/ εp(q,ω)} est donnée par :

Les coefficients d’expansions sont donné par :

optiques pour ε(ω) sont disponibles pour des pertes d’énergies allant jusqu'à la 10000eV. Ces derniers sont compilés dans la base de données de [Palik] [24].

CHAPITRE

 

II:

 

MODELISATION 

 

L p

ε (q,ω,ρ(ω )) est la fonction diélectrique de Lindhart qui dépend de la densité de gaz électrons σ (ωp), dont la fréquence de plasma est ωp pour un moment de transfert égale à zéro.

On tenant compte de la contribution découlant de la paire électron-trou et la création du plasmon avec la fonction de perte dielctrique lindhart, la DIMFP pour le modèle de Penn est comme suit :

La partie de paire électron-trous est donnée par :

2 -1 eh eh

La contribution paire électron-trou est représentée par la fonction de perte d'énergie de la partie correspondant à l'excitation d’un électron unique, cette dernière est donnée par :

eh

La fréquence du plasmon ωp est utilisée comme une variable qui balaye toute la gamme de perte d’énergie disponible dans la base de données. Les limites de la région paire électron-trou dans le plan (q, ω) sont définies comme suit :

eh 2

± p F p f p

q (ω,ω )= ± K (ρ(ω ))+ K (ρ(ω ))+ 2 mω h ...(II −1 4 )

CHAPITRE

 

II:

 

MODELISATION 

 

La partie correspondant à la contribution du plasmon est donnée par :

( ) ( )

^pl

Où la fonction de perte de l’excitation due au plasmon, suivant la procédure de réf [10 dans Jensen], peut être évaluée directement en raison de l'existence de l'infini positif. Elle est donnée comme suit :

ω+ est le point final de la ligne de plasmon qui se confond avec la région de paire électron-trous, satisfaisant à l'équation :

( )

hω+est la perte d'énergie minimale autorisée aux plasmons qui est déterminée à partir de la cinématique en résolvant l'équation suivante :

pl pl pl

- pl - pl

-hω h q (ω ,ρ) 2 2mE q (ω ,ρ) ...( 18)

2m ⎡ ⎤ II

= ⎣ − ⎦ −

Le libre parcours moyen inélastique (IMFP) ainsi que la perte moyenne d'énergie par unité de longueur ou le pouvoir d’arrêt (SP) sont facilement calculés par la connaissance de l’inverse du libre parcours moyens inélastique différentiel (DIMFP) donnée par :

CHAPITRE

 

II:

 

MODELISATION 

⎩ ⎭est la fonction de perte d’énergie. dq et dω sont relié respectivement au moments de transfert Ћq et à la perte d’énergie Ћω.

Les limites ^{q± =⎛⎜}_⎜ ^2m_h ^⎞⎟_⎟

(

^{E ± E-hω}

)

⎝ ⎠ représentent les moments de transferts supérieure et inférieure permises pour une énergie incidente donnée E et une perte d'énergie Ћω.

Ћ est la constante de Planck et a0 est le rayon de Bohr. Ө est la fonction échelon utilisée pour définir l'espace impulsion-énergie.

Les valeurs du pouvoir d’arrêt (SP) et du libre parcours moyen inélastique sont respectivement donnés par :

Pour les électrons de valence dans les métaux simples, tels que l’Al, le milieu peut être considéré

CHAPITRE

 

II:

 

MODELISATION 

 

comme un électron de gaz libre. La fonction diélectrique est bien décrite par la fonction diélectrique de Lindhard [Danish ref papier 19.Tung]

( )

^rL

( )

ⁱL

ε(q, )ω =ε_L q,ω =ε q,ω +iε (q, )...(ω II −22)

Où la partie réelle et imaginaire sont donnée par

r

A partir de l’équation (II-20), en constate que la région entre les deux paraboles X=4Z (Z+1) et 4Z (Z-1), où εⁱL

( )

q,ω ≠0 correspond aux excitations dues à la création des pairs électrons-trous. En

CHAPITRE

 

II:

 

MODELISATION 

 

dehors de cette zone, oùεⁱL

( )

q,ω =0 , la contribution du différentiel libre parcours moyens inélastiques est due aux plasmons. Ces derniers sont calculés à partir de la ligne de dispersion des plasmons qui est définit parε^rL

( )

q,ω =0 . 

Dans le document Calcul de l’énergie déposée des particules chargées dans la matière (Page 54-61)