wm @P
@wm
qP
avec P polyn^ome de degreq en w1;:::;wM, fonction de divers parametres dont tous les coe-cients energetiques.
On retrouve l'expression d'un isotherme de Langmuir en posantq = 1 ou bien en considerant que toutes les energies d'interaction entres les solutes en phase adsorbee sont nulles.
3.3 Le probleme inverse
La resolution du probleme inverse a pour but l'identi cation de la fonction isotherme. Cette fonc-tion n'est jamais precisement connue et le fait que seules quelques valeurs particulieres peuvent etre calculees rend impossible l'utilisation de methodes d'approximation classique. Connais-sant les conditions experimentales et les resultats experimentaux, on veut trouver la fonction isotherme. Plusieurs approches pour resoudre ce probleme vont maintenant ^etre presentees. La premiere a ete realisee par Sepulveda [S94, JS94], tandis que les quatre autres sont l'objet de ce chapitre.
3.3.1 La methode du gradient
Le but de cette methode ([S94]) est d'identi er les coecients des isothermes presentes ci-dessus connaissant le chromatogramme experimental et les conditions initiales. On se ramene alors alors a un probleme de minimisation sous contraintes d'une fonction co^ut de nie dans l'espace des parametres caracterisant le modele d'isotherme choisi. Pour resoudre ce probleme, on de nit un Lagrangien associe et on resout sous certaines hypotheses de regularite le systeme adjoint, ce qui permet alors d'appliquer une methode de gradient conjugue.
Cette methode a montre qu'elle etait capable de resoudre des problemes a deux corps en chro-matographie liquide-solide avec un isotherme de Moreau-Valentin de degre 2 (5 coecients a identi er) a partir de vrais chromatogrammes experimentaux. Les inconvenients de cette methode sont principalement l'importance du choix du point de depart (pour le gradient con-jugue) et du type d'isotherme que l'on va utiliser pour l'identi cation ce qui implique qu'il faut conna^tre le plus grand nombre d'informations possibles.
3.3. Le probleme inverse 47
3.3.2 Les methodes evolutionnaires
Nous allons maintenant presenter plusieurs methodes utilisant les algorithmes d'evolution. Par rapport a la methode du gradient, l'avantage de ces algorithmes est que leur reussite n'est pas liee a l'initialisation de la population.
3.3.2.1 La fonction de perfomance
Dans ces methodes la performance d'un individu sera le resultat de la comparaison entre un chromatogramme experimental et le chromatogramme obtenu en resolvant le probleme direct. Ce probleme direct sera resolu gr^ace aux conditions experimentales et en utilisant l'individu comme isotherme (voir laFigure 3.4).
# " ! # " ! - -? 6 Z Z Z Z Z Z Z ~ + ? experimentalesConditions Resultats experimentaux
Simulation numeriquesResultats
Comparaison Modele d'isotherme Fitness de l'individu (individu)
Figure 3.4: Calcul de la performance d'un individu pour le probleme inverse.
La resolution du probleme direct en utilisant l'individu I revient donc a resoudre numeriquement le probleme
(
@zw+@t(w+I(w)) = 0; 0zL;t >0
w(0;t) =winj(t); w(z;0) =winit(z) (3.3)
ou (z;t) 2 [0;L][0;+1[, w(z;t) = (w1(z;t);:::;wM(z;t))T est le vecteur des quantites des corps chimiques se propageant dans la colonne.
La performancef d'un individu est donc donnee par :
f =XM
i=1
48 Chapitre 3. Identi cation de l'isotherme en chromatographie ouW(t) =fWi(t)gMi
=1 est le chromatogramme experimental et w(z;t) =fwi(z;t)gMi
=1 est la solution de (3.3).
On verra par la suite qu'il sera necessaire et/ou plus ecace d'utiliser plusieurs conditions experimentales (et donc plusieurs chromatogrammes experimentaux) au cours de l'evolution (on dira qu'on utilise plusieurs points test). La performance d'un individu sera alors
f = 1N N X n=1 M X i=1 1 pnikWni(t) wni(L;t)kL2 (3.5)
ouN est le nombre de conditions experimentales , Wn(t) =fWni(t)gMi
=1 est le n-ieme chro-matogramme experimental, wn(z;t) = fwni(z;t)gMi
=1 est la solution du probleme (3.3) corre-spondant a la n-ieme condition experimentale et pni represente la quantite du corps i injecte lors de l'experience n. Ce dernier coecient permet d'avoir une representation egale de chaque experience au niveau de la tness.
Les paragraphes suivants presentent l'ensemble des methodes evolutionnaires que nous allons utiliser dans ce chapitre.
3.3.2.2 Les reseaux de neurones comme modele d'isotherme
Les reseaux de neurones peuvent constituer un bon modele d'isotherme car, comme on l'a vu au chapite 1, ils sont capables d'approcher toutes les fonctions continues. Par rapport au modele de Langmuir ou Moreau-Valentin, ce modele presente a priori l'avantage d'^etre plus general et donc il n'est pas necessaire de choisir un type d'isotherme avant une identi cation comme pour la methode du gradient.
Nous avons tout d'abord utilise des reseaux feed-forward mais, lorsque les resultats n'etaient pas juges susamment bons, nous avons utilise les reseaux recurrents qui en sont un sur-ensemble. Comme on l'a vu au chapitre consacre aux reseaux de neurones (chapitre 1), les reseaux recurrents peuvent ^etre utilises de deux manieres : soit dynamiquement pour les phenomenes de-pendant du temps ou bien statiquement et dans ce cas la sortie est un etat d'equilibre (lorsqu'il existe) atteint apres stabilisation. Etant donne que la fonction isotherme ne depend pas du temps c'est la deuxieme utilisation qui a ete choisie.
Par ailleurs, pour optimiser a la fois les poids des connexions et la structure du reseau, nous avons utilise l'algorithme evolutionnaire inspire de l'algorithme GNARL [A94] qui a ete presente au chapitre 2.
3.3.2.3 Les fractions rationnelles comme modele d'isotherme
Cette methode utilise les fractions rationnelles comme modele d'isotherme. Connaissant l'ensem-ble des points de contr^ole repartis uniformement sur un domaine D IRM ainsi que leurs valeurs, on peut calculer par interpolation par fraction rationnelle la valeur d'un point quelconque appartenant a D. On considerera pour l'instant connu le nombre de points de contr^ole a n de veri er la validite de cette approche mais, si l'on veut appliquer cette methode pour un probleme concret, il faudra faire ce choix qui necessitera alors des informations supplementaires (comme pour le choix de l'isotherme dans la methode du gradient).
Partant de ce modele, on peut alors utiliser un reseau de neurones pour identi er gr^ace a notre algorithme les valeurs de ces points, auquel cas on se ramene au cas ci-dessus, sauf les autres
3.4. Introduction aux resultats 49