Probl` eme de satisfaction de contraintes pond´ er´ ees : WCSP

a part cn2mddg, tous les autres compilateurs n´ecessitent ainsi de convertir d’abord l’ins-tance CSP en format CNF avant d’ˆetre compil´ee en langage cible. Quant aux m´ethodes d’approximation, malgr´e la simplification de l’objectif des m´ethodes exactes, plusieurs probl`emes apparaissent notamment en termes de qualit´e de borne fournie et de niveau de confiance correspondant. Ainsi, il semble judicieux de tenter d’am´eliorer les m´ethodes exactes pour #CSP. Vu l’int´erˆet majeur des m´ethodes structurelles vis-`a-vis du probl`eme du comptage, nous nous int´eressons dans le cadre de cette th`ese `a am´eliorer les m´ethodes exactes structurelles notamment #BT D.

2.4 Probl`eme de satisfaction de contraintes pond´er´ees : WCSP

Malgr´e le tr`es large ´eventail de probl`emes qu’il couvre, le cadre CSP se trouve dans l’impuissance de mod´eliser certaines notions en pratique. Par exemple, il se peut qu’il soit impossible de satisfaire simultan´ement toutes les contraintes ou qu’il existe des contraintes contradictoires. Dans ce cas, la mod´elisation peut ˆetre raffin´ee en choisissant d’ignorer cer-taines contraintes. En outre, mˆeme si, au contraire, le probl`eme admet plusieurs solutions, ces diff´erentes solutions n’ont pas forc´ement le mˆeme poids dans le sens o`u l’utilisateur pourrait avoir une pr´ef´erence pour l’une par rapport `a l’autre. Dans ces cas, les contraintes exprimeraient plutˆot une propri´et´e d´esir´ee et non pas une n´ecessit´e absolue. Le but consiste alors `a ´eviter le plus possible de violer ces contraintes. Des exemples appuyant ces cas de figure existent dans plusieurs domaines comme la planification, l’allocation de ressources [Cabon et al., 1999], le routage des v´ehicules, les ench`eres combinatoires [Sandholm, 2002], la bioinformatique et le raisonnement probabiliste [Pearl, 1988] . . . C’est ainsi que le cadre CSP a ´et´e ´etendu afin de prendre en compte ces contraintes dites souples [Schiex et al., 1995; Gale and Sotomayor, 1985]. Au contraire, une contrainte devant ˆetre n´ecessairement satisfaite est dite une contrainte dure. Nous parlons ainsi des CSP valu´es (VCSP) [Schiex et al., 1995] qui constituent un cadre g´en´erique englobant de multiples formalismes [Schiex, 1992; Rosenfeld et al., 1976; Dubois et al., 1993; Ruttkay, 1994; Freuder and Wallace, 1992; Fargier and Lang, 1993; Fargier et al., 1995, 1993]. La cadre CSP a ainsi gagn´e consid´erablement en expressivit´e.

En particulier, le probl`eme de satisfaction de contraintes pond´er´ees (WCSP) [Freuder and Wallace, 1992; Schiex, 2000; Larrosa, 2002] va faire l’objet de cette partie. Il s’agit d’une sous-classe des CSP valu´es. `A travers la notion de pond´eration des contraintes, elle int`egre la pr´ef´erence et le souhait. Elle est bas´ee sur la notion de coˆut. Ainsi, une affectation donn´ee est caract´eris´ee par son coˆut. Plus le coˆut est ´elev´e, moins l’affectation est pr´ef´erable. Le fait que les coˆuts des diff´erentes contraintes sont combin´es grˆace `a un op´erateur qui n’est pas idempotent (dont le nombre d’applications a un effet sur le r´esultat), n’est pas sans cons´equences sur les m´ethodes de r´esolution ou sur le filtrage pouvant ˆetre r´ealis´e. En plus, la recherche n’est pas interrompue, dans le cas du probl`eme WCSP, au premier ´echec comme dans le cas du probl`eme CSP. L’extension des m´ethodes initialement propos´ees dans le cadre CSP n’est pas alors directe. Nous choisissons de travailler sur ce probl`eme puisqu’il est simple, repr´esentatif et puisque `a partir de ce probl`eme nous pouvons d´ej`a rencontrer les difficult´es des autres CSP valu´es mentionn´ees ci-dessus. Nous nous int´eressons alors dans cette partie aux m´ethodes de filtrage et de r´esolution con¸cues dans le cadre WCSP. En particulier, nous nous focalisons notamment sur les m´ethodes structurelles que nous visons `a am´eliorer dans le cadre de cette th`ese.

2.4.1 Formalisme

Nous d´ebutons par une d´efinition formelle du probl`eme de satisfaction de contraintes pond´er´ees (WCSP) [Freuder and Wallace, 1992; Schiex, 2000; Larrosa, 2002]. Une instance WCSP se base sur une structure de valuation S(k) qui est un triplet ({0, 1, . . . , k}, ⊕, ≥) o`u :

• k ∈ {1, . . . , ∞} tel que k repr´esente le coˆut maximal pouvant ˆetre attribu´e, • ⊕ est d´efinie comme a ⊕ b = min{k, a + b},

• ≥ est l’ordre standard sur les entiers naturels.

Le premier ´el´ement de ce triplet est l’ensemble de coˆuts pouvant ˆetre ordonn´es par ≥. Les coˆuts maximum et minimum sont respectivement k et 0. L’op´eration ⊕ est utilis´ee pour combiner les coˆuts. Un op´erateur ⊖ est aussi d´efinie pour compenser les valeurs additionn´ees.⊖ est d´efinie comme a ⊖ b = a − b si a < k et k sinon [Schiex, 2000]. D´efinition 58 Une instance WCSP est un triplet (X, D, W ) avec :

• X = {x1, x₂, . . . , x_n} l’ensemble de n variables

• D = {Dx1, D_x2, . . . , D_xn} l’ensemble des domaines de variables comme dans le cas d’un CSP

• W = w∅∪ Wunaires∪ W+ l’ensemble de fonctions de coˆut de taille m qui est l’union de :

– w_∅ le coˆut devant ˆetre pay´e par toute affectation,

– W_unaires = {w1, . . . , w_i, . . . , w_n} avec wi une fonction unaire associ´ee `a la variable xi telle que i∈ {1, . . . , n} et wi : Dxi → {0, 1, . . . , k} associe `a chaque valeur v ∈ Dxi un coˆut entre 0 et k,

– W⁺ repr´esente le reste des fonctions de la forme w_i1,...,ip d´efinie sur les va-riables {xi1, x_i2, . . . , x_ip}(p ≥ 2) (toutes les fonctions de cette forme ne sont pas forc´ement d´efinies) telle que w_i1,...,ip : D_xi1 × Dx_i1 × . . . Dx_ip → {0, 1, . . . , k} associe `a chaque tuple un coˆut entre 0 et k.

Le coˆut k correspond `a une affectation compl`etement interdite (exprimant une con-trainte dure).

Notons que si k = 1 une instance WCSP est r´eduite au cas classique d’une instance CSP.

2.4.2 S´emantique

Nous regardons dans cette partie la s´emantique associ´ee `a une instance WCSP. En outre, nous remarquerons l’augmentation du niveau d’expressivit´e par rapport au cadre CSP.

D´efinition 59 Le coˆut d’une affectation A telle que XA ⊆ X est d´efinie par : w_∅⊕P

xi∈XAwi(A[xi])⊕P

{x_i1,...,x_ip}⊆XAwi1,...,ip(A[xi1. . . xip])

Si le coˆut d’une affectation compl`ete est nulle, l’instance est coh´erente au sens CSP du terme.

D´efinition 60 ´Etant donn´ee une instance WCSP P = (X, D, W ), une affectation A est coh´erente ssi le coˆut de A est strictement inf´erieur `a k.

Le but du probl`eme WCSP consiste `a trouver une affectation compl`ete coh´erente ayant le coˆut minimum. Ce probl`eme est NP-difficile.

Revenons maintenant sur l’exemple 1.

Exemple 2 Robert ajoute une nouvelle contrainte c5`a son instance P : c5= ({x2, x3}, x2 = x<sub>3</sub>). Malheureusement, son instance devient ainsi incoh´erente. Il ne peut donc pas satis-faire simultan´ement toutes les contraintes. Il ´etablit alors des priorit´es : il pr´ef`ere ne pas satisfaire la contrainte ci plutˆot que de ne pas satisfaire ci+1avec i∈ {1, . . . , 4}. Il associe donc un coˆut de i `a chaque tuple interdit de c<sub>i</sub>. En revanche, il n’accorde pas d’importance `

a la somme d’argent qu’il donne `a chaque enfant. Une solution optimale a un coˆut de 1 et consiste `a donner au premier fils 20 euros, au deuxi`eme fils 1 euro, au 3`eme fils 1 euro, au 4`eme fils 2 euros, au 5`eme 1 euro et au dernier 5 euros. En exploitant le cadre WCSP, Robert pourrait exprimer d’autres souhaits comme le fait de r´eduire l’´ecart entre les sommes d’argent per¸cues par ses enfants par exemple.

Nous d´efinissons maintenant l’´equivalence entre deux instances WCSP.

D´efinition 61 Deux instances WCSP P et P^′ d´efinies sur le mˆeme ensemble de variables sont dites ´equivalentes si elles poss`edent la mˆeme distribution de coˆut sur les affectations compl`etes. Ainsi, quelle que soit l’affectation totaleA le coˆut associ´e `a A dans P est ´egal `

a celui de A dans P′.

Cette notion d’´equivalence est essentielle pour les notions de coh´erence locale et les m´ethodes de filtrage d´efinies dans le cadre du probl`eme WCSP.

2.4.3 Coh´erences locales et filtrage

Dans cette partie, nous regardons de plus pr`es les coh´erence souples, les techniques de filtrage et les algorithmes de maintien de coh´erence qui ont ´et´e ´etendus `a partir du cadre CSP pour s’adapter au cadre WCSP. La valeur de la fonction de coˆut d’arit´e nulle w_∅ est tr`es importante pour la recherche de solutions. Elle permet d’´elaguer des sous-probl`emes ayant une borne inf´erieure plus grande que la meilleure solution trouv´ee jusque-l`a. 2.4.3.1 Op´erations pr´eservant l’´equivalence

Tout d’abord, nous allons regarder les op´erations qui transforme une instance WCSP en une autre instance WCSP qui lui est ´equivalente. Une telle op´eration est appel´ee EPT (pour Equivalent Preserving Transformation) [Cooper and Schiex, 2004]. L’op´eration de base est l’op´eration shift (algorithme 2.6) qui consiste `a d´eplacer un coˆut α entre une fonction de coˆut w<sub>Y</sub>′ et un tuple t<sub>Y</sub> tel que Y ⊂ Y′. Le coˆut α peut ˆetre positif ou n´egatif. En revanche, ces d´eplacements de coˆut ne doivent pas cr´eer des coˆuts n´egatifs dans le probl`eme. C’est pourquoi, toute addition et soustraction r´ealis´ee doit garantir que le r´esultat est positif ou nul. Le coˆut associ´e au tuple t_Y est alors incr´ement´e de α (ligne 1). Cette incr´ementation est compens´ee pour tout tuple t_Y′ dont sa projection sur Y est ´egal `a t<sub>Y</sub> en retranchant α de son coˆut associ´e. Si α est positif, ce d´eplacement constitue une op´eration de projection, sinon il s’agit d’une op´eration d’extension. Notons que si le r´esultat d’une op´eration atteint k cela permet de d´etecter des tuples incoh´erents. Dans [Cooper and Schiex, 2004], les auteurs proposent trois op´erations de coh´erence d’arc souple `

Algorithme 2.6 : Shift (t_Y, w_Y′, α)

Entr´ees : Un tuple tY, une fonction de coˆut w_Y′, un coˆut α

1 w_Y(t_Y)← wY(t_Y)⊕ α

2 pour chaque t_Y′ tel que t_Y′[Y ] = t_Y faire

3 w_Y′(t_Y′)← wY′(t_Y′)⊖ α xi v_i1 2 vi2 w_∅= 0 (a) xj v_j1 1 v_j2 2 xi vi2 w_∅= 1 (b) xj v_j1 v_j2 1 xi vi2 w_∅= 1 (c) xj v_j1 v_j2 xi vi2 w_∅= 2 (d) xj v_j1 v_j2

Figure2.5 – Quatre instances WCSP ´equivalentes.

• P roject(wY, x_i, v_i, α) = shift((x_i, v_i), w_Y, α) avec α > 0 qui projette la valeur α de la fonction de coˆut w_Y au couple (x_i, v_i).

• Extend(xi, v_i, w_Y, α) = shift((x_i, v_i), w_Y,−α) avec α > 0 qui ´etend la valeur α du couple (xi, vi) `a la fonction de coˆut wY.

• UnaryP roject(xi, α) = shift(∅, wi, α) avec α > 0 qui envoie un coˆut de w_i `a w<sub>∅</sub>. L’application de l’op´eration shift `a une instance WCSP P produit une instance WCSP P′ ´equivalente `a P [Schiex, 2000].

Exemple 3 Consid´erons l’exemple de la figure 2.5. La figure 2.5(a) montre deux variables x_i et x_j poss´edant chacune deux valeurs dans son domaine : v_i1 et v_i2 pour x_i et v_j1 et v_j2 pour x_j. Une fonction de coˆut binaire w_ij lie x_i et x_j. Les couples de valeurs associ´ees `a x<sub>i</sub> et x<sub>j</sub> ont soit un coˆut nul, soit un coˆut de 1 et, dans ce cas, les valeurs correspondantes sont li´ees par une arˆete. Par exemple dans la figure 2.5(a), le couple (v<sub>i1</sub>, v<sub>j2</sub>) a un coˆut de 1 tandis que (v<sub>i2</sub>, v<sub>j2</sub>) a un coˆut nul. `A chaque valeur est associ´ee un coˆut indiqu´e en haut de la valeur. L’absence d’annotation signifie que le coˆut unaire associ´e `a la valeur en question est nul. Le coˆut associ´e par exemple `a v_j2 est 2. Finalement la valeur de w_∅ est aussi montr´ee. Nous supposons que k = 3. Les figures 2.5(b), (c), (d) montrent trois autres instances WCSP ´equivalentes. En effet, nous pouvons d´eduire celle de la figure 2.5(b) en remarquant que nous pouvons appliquer U naryP roject(x_j, 1) ce qui fait augmenter la va-leur de w_∅ `a 1. En outre, nous pouvons constater que nous pouvons ensuite appliquer P roject(w<sub>ij</sub>, x<sub>i</sub>, v<sub>i1</sub>, 1) ce qui fait augmenter le coˆut associ´e `a v_i1 `a 3. En atteignant la valeur maximale, nous pouvons d´eduire que cette valeur est incoh´erente. Elle ne sera alors plus repr´esent´ee dans les instances WCSP suivantes. Ensuite, nous remarquons que nous pouvons appliquer Extend(x<sub>j</sub>, v<sub>j2</sub>, w<sub>ij</sub>, 1) `a l’instance WCSP de la figure 2.5(b) pour ob-tenir celle de la figure 2.5(c). Finalement, nous pouvons appliquer P roject(wij, xi, vi2, 1) suivie de U naryP roject(x_i, 1) et d´eduire l’instance WCSP de la figure 2.5(d). En appli-quant alors une s´erie de transformations pr´eservant l’´equivalence des instances WCSP la fonction w_∅ a d´esormais une valeur de 2. Cela va permettre essentiellement de renforcer la

capacit´e de la recherche `a ´elaguer des sous-probl`emes inutiles. Notons que la valeur v_i1 non montr´ee dans les trois derni`eres WCSP peut ˆetre effectivement supprim´ee en maintenant une coh´erence locale qui est la coh´erence de nœud que nous allons rappeler ci-dessous. 2.4.3.2 Coh´erences souples

`

A l’instar des coh´erences dures, les coh´erences souples visent `a produire une instance WCSP qui est ´equivalente `a l’instance d’origine mais ayant un meilleur w_∅. Le but est alors d’am´eliorer la performance des m´ethodes de r´esolution en raffinant w_∅ et en augmentant la capacit´e `a ´elaguer des valeurs incoh´erentes. ´Etant donn´ee une notion de coh´erence locale souple, une valeur ou un tuple sont dits coh´erents s’ils satisfont cette coh´erence et incoh´erents sinon.

Coh´erence de nœud(NC) La plus simple des coh´erences locales est la coh´erence de nœuds qui est d´efinie pour les coˆuts unaires.

D´efinition 62 [Larrosa, 2002] Une variable xi satisfait la coh´erence de nœud (NC) ssi ∀vi∈ Dxi, w_i(v_i) + w_∅ < k et il existe une valeur v_i∈ Dxi telle que w_i(v_i) = 0. v_i est alors le nœud support de x_i. Une instance WCSP est nœud coh´erente ssi toutes ses variables satisfont la coh´erence de nœud.

Par exemple, l’instance WCSP de la figure 2.5(a) n’est pas nœud coh´erente puisque x_j ne satisfait pas cette propri´et´e. En revanche, l’instance WCSP de la figure 2.5(b) est nœud coh´erente. Cette propri´et´e permet de supprimer des valeurs comme v_i1 lorsque son coˆut atteint la valeur de 3 ou d’augmenter w_∅ en projetant le coˆut 1 de x_j `a w_∅ pour l’instance WCSP de la figure 2.5(a). Nous consid´erons alors par la suite que la valeur v_i1 est supprim´ee de Dxi. N C peut ˆetre maintenu en O(n.d).

Coh´erences d’arc souples : les supports La notion de coh´erence d’arc souple im-plique un ensemble de variables et une fonction de coˆut les liant. Elle se base sur la notion de support simple et de support complet.

D´efinition 63 ´Etant donn´ees une variable x_i, une valeur v_i ∈ Dxi et une fonction de coˆut w_Y telle que xi∈ Y :

• un support d’arc simple de (xi, v_i) pour w_Y est un tuple t_Y tel que t_Y[x_i] = v_i et wY(tY) = 0.

• un support d’arc complet de (xi, v_i) pour w_Y est un tuple t_Y tel que t_Y[x_i] = v_i et w_Y(t_Y) + Σ_xj∈Y,j6=iw_j(t_Y[x_j]) = 0.

Coh´erence d’arc (AC) La plus simple des coh´erences d’arc souples est la coh´erence d’arc bas´ee sur la notion de supports simples. D’apr`es Larrosa et Schiex [Larrosa and Schiex, 2004], une valeur est arc coh´erente si elle poss`ede un support AC simple dans chaque fonction de coˆut. Une instance WCSP P satisfait la coh´erence d’arc g´en´eralis´ee (GAC) ssi pour chaque variable x_i et chaque valeur v_i ∈ Dxi et pour chaque fonction de coˆut w_Y telle que|Y | > 1 et xi ∈ Y , il existe un support simple pour (xi, v_i) dans w_Y. P est GAC^∗ si P est GAC et N C. Par exemple, l’instance WCSP de la figure 2.5(a) n’est pas AC puisque (x_i, v_i1) n’admet pas un support simple tandis que l’instance WCSP de la figure 2.5(d) est AC. Maintenir AC peut casser N C. Par exemple, l’instance WCSP de la figure 2.5(c) est N C mais pas AC. En lui appliquant P roject(wij, xi, vi2, 1) elle devient

AC mais n’est plus N C, puisque la variable x_i poss`ede une seule valeur v_i2 ayant un coˆut de 1. En lui appliquant U naryP roject(xi, 1) en plus, nous obtenons l’instance WCSP de la figure 2.5(d) qui est AC et N C donc AC^∗. L’instance WCSP de la figure 2.5(d) est une fermeture AC de l’instance WCSP de la figure 2.5(a). AC^∗ peut ˆetre renforc´e pour une instance WCSP binaire en O(m.d³) [Larrosa and Schiex, 2004].

Fermeture et terminaison du maintien de AC Le fait que l’op´erateur combinant les coˆuts n’est pas idempotent induit des changements au niveau du maintien de la coh´erence d’arc. Dans le cas d’une instance CSP, l’instance admet une fermeture AC unique. Ce n’est malheureusement pas le cas en g´en´eral d’une instance WCSP. En effet, l’application non restreinte d’EP T ne converge g´en´eralement pas vers un point fixe unique [Schiex, 2000] et peut mˆeme ne pas terminer. Plusieurs fermetures possibles sont obtenues selon l’ordre dans lequel les op´erations EP T sont r´ealis´ees. Ces fermetures peuvent ˆetre en plus de qualit´e diff´erente. Dans ce cas, nous mesurons la qualit´e de la fermeture par la valeur de w_∅ et nous esp´erons que cette valeur soit autant ´elev´ee que possible. En effet, plus cette valeur est grande, plus le pouvoir d’´elaguage des sous-espaces inutiles sera impor-tant. Or, trouver le meilleur ordre d’application des EP T est un probl`eme NP-complet [Cooper and Schiex, 2004]. Les travaux qui se sont int´eress´es `a ce probl`eme, ont vis´e `a ga-rantir la terminaison tout en cherchant `a trouver la meilleure fermeture possible. Ainsi, ils ont propos´e diff´erentes restrictions heuristiques de AC dont le maintien termine toujours d´ecoulant en plusieurs variantes telles que AC∗, DAC∗ [Cooper, 2003], F DAC∗ [Larrosa and Schiex, 2003], EAC<sup>∗</sup>et EDAC<sup>∗</sup>[Givry et al., 2005] . . . Ces heuristiques se sont av´er´ees efficaces et ont permis de s’approcher d’une fermeture de coh´erence d’arc optimale (qui maximise w<sub>∅</sub>) [Cooper et al., 2008]. Ult´erieurement, la coh´erence d’arc optimale (OSAC) a ´et´e d´efinie dans [Cooper et al., 2007]. Elle se base sur la programmation lin´eaire et permet de pr´ecalculer en temps polynomial un ensemble d’EP T maximisant la valeur de w<sub>∅</sub>. Ce-pendant, le maintien de OSAC s’est av´er´e tr`es coˆuteux en pratique. D’o`u, son utilisation a ´et´e limit´ee au pr´etraitement. Ainsi, la coh´erence V AC [Cooper et al., 2008, 2010] a ´et´e propos´ee. Elle est plus exploitable en pratique qu’OSAC au d´etriment de la puissance. Dans le cadre de cette th`ese, la r´esolution d’instances WCSP exploitera la coh´erence V AC en pr´etraitement et la coh´erence EDAC pendant la r´esolution.

2.4.4 M´ethodes de r´esolution

Nous nous int´eressons dans cette partie aux m´ethodes les plus connues pour la r´esolution des instances WCSP. Vu que le probl`eme WCSP est une extension du probl`eme CSP, la r´esolution des instances WCSP partage avec celle des instances CSP certaines similitudes comme les heuristiques de choix de la prochaine variable. Elles se basent ´egalement sur le principe first-fail. Les plus efficaces parmi les heuristiques d´efinies sont ´egalement celles qui sont adaptatives comme l’heuristique dom/wdeg [Boussemart et al., 2004].

Comme pour les autres probl`emes, les contributions de cette th`ese se focalisent sur les m´ethodes structurelles en particulier celles reposant sur une d´ecomposition arborescente comme BT D. Nous balayons dans cette partie ensuite un spectre plus large qui ne serait pas limit´e aux m´ethodes structurelles.

2.4.4.1 M´ethodes non structurelles

Dans cette partie, nous nous focalisons sur les m´ethodes non structurelles en partant de la m´ethode de base BB.

Branch and Bound (BB) Les instances WCSP ainsi que les probl`emes d’optimisation peuvent ˆetre r´esolus par le biais du Branch and Bound (s´eparation et ´evaluation) [Land and Doig, 1960; Lawler and Wood, 1966]. Il s’agit d’une variante du backtracking (BT) adapt´ee `a ce type de probl`emes. Tout au long de la recherche, elle maintient deux valeurs primordiales : une borne inf´erieure clb (pour current lower bound ) du coˆut d’une affectation compl`ete contenant l’affectation courante et une borne sup´erieure cub (pour current upper bound ) exprimant le coˆut de la meilleure solution trouv´ee jusque-l`a. Contrairement `a BT qui effectue un retour en arri`ere lorsqu’une incoh´erence est rencontr´ee, BB le r´ealise lorsque clb≥ cub. Dans ce cas, le sous-arbre correspondant `a l’espace de recherche restant `

a explorer afin d’´etendre l’affectation courante est ´elagu´e. En effet, toute extension de cette affectation aura un coˆut sup´erieur au coˆut de la meilleure solution trouv´ee jusqu’alors et ne peut pas ainsi am´eliorer cette derni`ere. Une nouvelle valeur de la variable courante est alors essay´ee. Si la valeur courante est la derni`ere valeur, BB revient sur la derni`ere variable affect´ee. Lorsque l’affectation courante devient compl`ete, cub est alors mise `a jour convenablement. Plus pr´ecis´ement, cub correspond d´esormais au coˆut de l’affectation courante. L’efficacit´e de BB d´epend notamment de la qualit´e de clb et cub. La qualit´e de clb d´epend grandement des m´ecanismes mis en œuvre pour calculer cette borne. Dans ce