Probl` eme du calcul de la pression diffract´ ee par plusieurs arˆ etes

Comme nous l’avons expos´e pr´ec´edemment, le lancer de faisceaux adaptatif est capable de calculer g´eom´etriquement des trajets diffract´es plusieurs fois. En se basant sur le principe de localit´e, la m´ethode classiquement utilis´ee pour le calcul des diffractions multiples consiste simplement `a multiplier entre eux les coefficients de Pathak et Kouyoumjian d´ecrits par les formules 1.21 `a 1.31. C’est donc cette m´ethode qui ´etait initialement impl´ement´ee au sein du logiciel de lancer de faisceaux. La figure 2.13(a) pr´esente le cas d’un rayon subissant deux diffractions successives.

source

recepteur

(a) Rayon doublement diffract´e. (b) Calcul des rayons au sein d’un environnement de type urbain.

Fig. 2.13 – Probl`eme de la diffraction multiple.

Nous pouvons toutefois nous demander si cette approche de calcul des diffractions mul- tiples est suffisamment pr´ecise et valide dans toutes les configurations. Cette question est d’autant plus importante que les environnements sont complexes. Un exemple caract´eristique mettant en relief la pertinence de cette remarque est l’´etude de la propagation acoustique au sein d’environnements urbains, comme l’illustre la figure 2.13(b). Comme nous pouvons l’observer sur cette figure, nous sommes confront´es, pour une zone d’´evaluation de la pression donn´ee, `a une multitude de trajets incidents, faisant tous intervenir des diffractions multiples. Ainsi, il est n´ecessaire, sur tous les trajets, que la pression diffract´ee soit ´evalu´ee de mani`ere pr´ecise si l’on souhaite ´eviter un cumul des erreurs, ce qui pourrait consid´erablement nuire `a l’´evaluation de la pression.

2.2.2.1.1 Description de la m´ethode classiquement utilis´ee pour le calcul de la double diffraction par deux arˆetes successives.

Cette approche est illustr´ee sur les figures 2.14(a) et 2.14(b). Les deux coefficients D1 et

D2 attach´es respectivement `a la premi`ere et `a la deuxi`eme arˆete diffractante s’´ecrivent alors

en fonction des param`etres s, d, r, φ0₁, φ1, φ20, φ2, α1, α2 explicit´es sur ces figures (avec, dans

le cas du plateau, φ0₂ = 0).

Les expressions des deux coefficients sont donn´ees par l’´equation 1.32. Notons qu’une multiplication par un facteur 1/2 est n´ecessaire dans le cas du plateau [6]. En effet, le rayon qui atteint la deuxi`eme arˆete se trouve en incidence rasante et ce facteur permet d’´eviter de prendre en compte deux fois le terme associ´e `a la r´eflexion au sein des coefficients TUD.

38 Chapitre 2 : Probl´ematique. s recepteur source d r D₁ 1 φ ’ φ 1 φ 2 D 2 φ’ 2 α 1 α₂

(a) Double diffraction par deux arˆetes succes- sives. s recepteur source r φ’ 1 1 D d 2 φ φ₁ D 2 α 1 α2

(b) Cas particulier du plateau.

Fig. 2.14 – D´efinition des param`etres de la formule classique pour la double diffraction. Les param`etres a−, a+, N− et N+ sont d´efinis par les ´equations 1.28 `a 1.31. Seule l’ex- pression du param`etre de distance Li,r₂ (cf p.18) associ´e `a la deuxi`eme arˆete reste `a discuter. Deux choix sont alors possibles.

Choix d’un param`etre de distance Li,r₂ .

– un param`etre de distance couramment utilis´e en 2D aussi bien qu’en 3D est donn´e dans [18]. Il est bas´e sur le principe que la premi`ere arˆete est assimilable `a une source secondaire d’ondes cylindriques. Cette approche est tout `a fait coh´erente dans le cas d’une onde cylindrique incidente sur cette arˆete et donc dans le cas d’un calcul 2D. L2

s’´ecrit alors : _d+rdr . C’est donc ce param`etre qui a ´et´e impl´ement´e au sein de notre lancer de faisceaux pour les calculs 2D. Nous nommons cette formulation de L2 : L2Cyl.

– par contre, dans le cas de configurations 3D (onde ´emise sph´erique), nous avons choisi d’exprimer L2 au sein du lancer de faisceaux sous la forme suivante : (s+d)r_s+d+r. Ce choix

s’inspire des travaux de Tiberio et Kouyoumjian [19, 20]. En effet, ils montrent que dans le cas particulier o`u la source est align´ee avec les deux arˆetes diffractantes, cette ´ecriture de L2 assure la continuit´e de la pression de part et d’autre du plan contenant la source

et les deux arˆetes. Nous nommons cette formulation de L2 : L2Sph.

Dans la suite, lorsque cela ne sera pas pr´ecis´e, c’est le param`etre L2Sph qui est utilis´e en

pr´esence de sources sph´eriques.

2.2.2.1.2 Probl`eme d’un plateau dont l’´epaisseur est faible.

Nous pouvons remarquer que la configuration pr´esent´ee sur la figure 2.13(b) fait intervenir de nombreux trajets doublement diffract´es par des plateaux, c’est `a dire que les deux arˆetes diffractantes partagent une face commune. Nous pouvons nous demander si, lorsque l’on fait tendre l’´epaisseur du plateau vers une valeur nulle, la pression r´esultant de la multiplication des deux coefficients de diffraction attach´es aux deux arˆetes tend bien vers la pression qui serait diffract´ee par le demi-plan inifinement mince vers lequel tend le plateau (cf figure 2.15(a)).

Sur la figure 2.15(b) est pr´esent´ee une configuration qui va nous permettre de quantifier l’erreur commise sur la pression lorsque la m´ethode classique est utilis´ee et que l’´epaisseur du plateau devient faible.

Nous allons ´etudier dans cette configuration la pression doublement diffract´ee par le pla- teau en fonction de l’´epaisseur de celui-ci, qui varie alors de 0 `a 4,5 m`etres de part et d’autre de l’axe z. Sa dimension selon l’axe y est infinie ; le r´ecepteur et la source ayant la mˆeme coor- donn´ee selon l’axe y, il s’agit d’une g´eom´etrie 2D. Nous effectuons le calcul en consid´erant des

2.2 Probl´ematique. 39

0 e

(a) Cas d’un plateau dont nous faisons tendre l’´epaisseur e vers 0. source recepteur (x = −9 m) (x = +9 m) variable Epaisseur z x = 0 x

(b) Configuration d’´etude de la pression en fonction de l’´epaisseur du plateau.

Fig. 2.15 – Double diffraction par un plateau dont nous faisons tendre l’´epaisseur e vers 0. ondes incidentes cylindriques puis sph´eriques. Dans le cas d’une onde sph´erique, nous testons les deux param`etres de distance L2Cyl et L2Sph associ´es, rappelons-le, `a la deuxi`eme arˆete

diffractante du plateau.

– ondes cylindriques incidentes. Sur la figure 2.16(a) est repr´esent´ee l’att´enuation de la pression acoustique, dans le cadre de la configuration pr´esent´ee sur la figure 2.15(b), `

a une fr´equence de 2 kHz, pour une onde incidente cylindrique. Nous comparons les r´esultats obtenus par la m´ethode classique avec les r´esultats obtenus selon une m´ethode num´erique exacte destin´ee `a des calculs en 2D : la BEM 2D.

– ondes sph´eriques incidentes. Sur la figure 2.16(b) est repr´esent´ee l’att´enuation de la pression acoustique dans la mˆeme configuration, `a une fr´equence de 2 kHz, pour une onde incidente sph´erique. Nous ´etudions cette fois le comportement de la m´ethode classique en utilisant les deux param`etres de distance L2Cyl et L2Sph. Ils sont compar´es avec les

r´esultats obtenus selon la BEM 2,5D. La BEM 2,5D permet de calculer de mani`ere exacte la pression dans le cadre de configurations 2,5D, c’est `a dire lorsque la g´eom´etrie est 2D mais l’onde ´emise sph´erique.

(a) R´esultats obtenus avec la m´ethode clas- sique et la BEM 2D sur la config. 2.15(b) pour

onde incidente cylindrique, `a 2kHz.

(b) R´esultats obtenus avec la m´ethode clas- sique et la BEM 2,5D sur la config. 2.15(b)

pour onde incidente sph´erique, `a 2kHz.

Fig. 2.16 – R´esultats obtenus avec la m´ethode classique et la BEM sur la configuration 2.15(b) `

40 Chapitre 2 : Probl´ematique.

Nous pouvons remarquer, sur la figure 2.16(a), qu’en 2D, le param`etre de distance L2Cyl

fournit de bons r´esultats jusqu’`a une ´epaisseur d’environ 0,5 m`etre ; nous relevons un ´ecart avec la BEM 2D d’environ 1 dB pour cette ´epaisseur. Par contre l’erreur commise par la m´ethode classique augmente rapidement en-dessous de cette ´epaisseur, pour atteindre une valeur l´eg`erement sup´erieure `a 4 dB pour une ´epaisseur de l’ordre de 0,1 m`etre.

Nous remarquons sur la figure 2.16(b) que l’emploi du param`etre de distance L2Cyl sur

une configuration 3D entraˆıne, comme en 2D, une sous-estimation de la pression, tandis que le param`etre L2Sph la surestime. N´eanmoins, ces deux r´esultats commencent `a s’´ecarter des

r´esultats obtenus avec la BEM pour une ´epaisseur sensiblement identique, c’est `a dire de nouveau vers 0,5 m`etre.

Nous pouvons conclure de ces deux r´esultats que, quel que soit le param`etre de distance utilis´e, aucun n’est valable lorsque l’´epaisseur du plateau est faible.

2.2.2.1.3 Probl`eme du calcul de la pression en zone de transition.

La figure 2.17 pr´esente la configuration qui va nous permettre de mettre en ´evidence une seconde lacune de la m´ethode classique.

source 4,5 m 9 m 30 recepteur Frontiere de transition de la deuxieme arete 12 m φ

Fig. 2.17 – Configuration d’´etude de la pression en fonction de l’orientation du r´ecepteur par rapport `a la fronti`ere de transition de la deuxi`eme arˆete.

Fig. 2.18 – R´esultats obtenus avec la m´ethode classique et la BEM 2D dans le cadre de la configuration de la figure 2.17

Nous montrons en effet sur cette configuration que cette approche n’est plus valide lorsque le r´ecepteur se situe dans la zone de transition associ´ee `a la deuxi`eme arˆete diffractante.

2.2 Probl´ematique. 41

L’orientation du r´ecepteur par rapport `a la fronti`ere de transition de la deuxi`eme arˆete varie de -90 `a +90 degr´es.

Sur la figure 2.18, est repr´esent´ee la valeur de la pression dans le cadre de cette configu- ration `a une fr´equence de 1 kHz. Le calcul est r´ealis´e en 2D.

La figure 2.18 met bien en ´evidence la discontinuit´e de la pression acoustique lors du franchissement de la fronti`ere de transition associ´ee `a la deuxi`eme arˆete diffractante du plateau rigide.