Calcul et validation 3D

Nous pr´esentons dans la suite un ensemble de r´esultats issus de la mˆeme configuration, mais cette fois en 3D. Les dimensions selon l’axe y ne sont donc plus infinies et sont pr´esent´ees sur la figure 4.6. y x y = − 6 m y = −6 m y = 6 m y = 6 m z 5 6 7 8 9 10 11 12

Fig. 4.6 – Configuration de la figure 4.2 consid´er´ee en 3D et vue de dessus.

4.1.2.2.1 Diffractions par les faces sup´erieures en 3D.

Dans un premier temps, nous pr´esentons les r´esultats obtenus en ne consid´erant que les arˆetes diffractantes d´elimitant les deux faces sup´erieures (donc, comme si l’on ´etait dans une configuration 2D `a ceci pr`es que la source est ponctuelle). Les figures 4.7(a), 4.7(b) et 4.7(c) repr´esentent la pression obtenue en fonction de la hauteur du r´ecepteur `a 500 Hz, 1 kHz et 1,5 kHz, tandis que la figure 4.8 correspond aux diff´erences de niveaux calcul´es selon les deux m´ethodes `a ces trois fr´equences.

De la mˆeme mani`ere qu’en 2D, nous pouvons observer sur les figures 4.7(a), 4.7(b) et 4.7(c) que la formule de Capolino et Albani assure la continuit´e de la pression lors du franchissement de la zone de transition des deux parall´el´epip`edes. Par contre, nous observons cette fois que les niveaux calcul´es selon la m´ethode classique sont sup´erieurs aux niveaux obtenus selon notre

74 Chapitre 4 : Diffraction multiple dans des environnements complexes.

approche ; ceci est dˆu au fait que nous utilisons cette fois la formulation 3D (et non plus 2D) des param`etres de distance au sein des coefficients de Pathak et Kouyoumjian (cf. page 18).

(a) Pression pour f = 500 Hz. (b) Pression pour f = 1 kHz.

(c) Pression pour f = 1,5 kHz.

Fig. 4.7 – R´esultats obtenus selon la m´ethode classique et la m´ethode bas´ee sur la formule de Capolino et Albani `a 500 Hz, 1 kHz et 1,5 kHz.

Fig. 4.8 – Diff´erence entre les niveaux calcul´es selon la m´ethode classique et les niveaux calcul´es en utilisant la formule de Capolino et Albani.

Sur la figure 4.8, nous constatons une l´eg`ere augmentation de l’´ecart en zone d’ombre profonde entre les r´esultats obtenus selon la m´ethode classique et les r´esultats obtenus en

4.1 Diffraction par une succession de plateaux. 75

utilisant la formule de Capolino et Albani par rapport aux r´esultats 2D. Elle passe en effet de 5 `a 6 dB. Comme en 2D, nous constatons dans la zone de transition une augmentation des variations de la pression et l’´ecart entre les r´esultats obtenus selon les deux m´ethodes peut alors atteindre 10 `a 20 dB, avant de redescendre `a un niveau n´egligeable `a partir d’une hauteur de 11 m, l`a o`u la diffraction sur l’arˆete 1 devient pr´edominante.

4.1.2.2.2 Diffractions par les arˆetes lat´erales.

Nous nous int´eressons maintenant aux contributions des arˆetes lat´erales num´erot´ees sur la figure 4.6. Comme dans les cas pr´ec´edents, les arˆetes lat´erales 7 et 8 du parall´el´epip`ede de droite sont situ´ees en zone de transition des arˆetes 5 et 6 du parall´el´epip`ede de gauche. De mˆeme, en y = -6 m, les deux arˆetes lat´erales 11 et 12 sont situ´ees en zone de transition des arˆetes 9 et 10. Nous pr´esentons les contributions lat´erales `a 500 Hz, 1 kHz et 1,5 kHz respectivement sur les figures 4.9(a), 4.9(b) et 4.9(c).

(a) Pression acoustique re¸cue pour f = 500 Hz.

(b) Pression acoustique re¸cue pour f = 1 kHz.

(c) Pression acoustique re¸cue pour f = 1,5 kHz.

Fig. 4.9 – Contribution de la diffraction par les arˆetes lat´erales, calcul´ee selon la m´ethode classique et la m´ethode bas´ee sur la formule de Capolino et Albani `a 500 Hz, 1 kHz et 1,5 kHz.

Tout d’abord, nous notons sur les figures 4.9(a), 4.9(b) et 4.9(c) une discontinuit´e de la pression lorsque le r´ecepteur franchit la fronti`ere de transition associ´ee aux sommets des deux obstacles, mˆeme lorsque la formule de Capolino et Albani est utilis´ee. Ceci est dˆu au fait qu’au

76 Chapitre 4 : Diffraction multiple dans des environnements complexes.

del`a de cette fronti`ere les deux arˆetes lat´erales d´elimitant la face sup´erieure du parall´el´epip`ede de droite diffractent ´egalement, en plus des arˆetes verticales de cet obstacle. Ceci est mis en ´evidence sur la figure 4.10. Ainsi, il est possible de trouver des trajets reliant la source au r´ecepteur qui sont diffract´es par l’arˆete trac´ee en rouge lorsque celui-ci franchit la hauteur des plateaux d (position R). La discontinuit´e de la pression en z = 9,5 m li´ee `a l’apparition soudaine de cette contribution peut ˆetre compens´ee en tenant compte de la diffraction par le coin form´e par l’intersection de cette arˆete avec l’arˆete verticale 8. La notion de diffraction par un coin d’arˆetes est pr´esent´ee dans le chapitre 6.

Enfin, nous observons dans la zone d’ombre du deuxi`eme obstacle un ´ecart constant entre les r´esultats obtenus selon la m´ethode classique et notre approche. Comme pour les contri- butions par les arˆetes des toits en 2D, ceci s’explique par le fait que les arˆetes verticales du deuxi`eme obstacle sont situ´ees dans la r´egion de transition du premier, quelle que soit la hauteur du r´ecepteur. La m´ethode classique est donc syst´ematiquement non valide lorsque z est inf´erieur `a 9,5 m.

Pour finir, nous pouvons noter que lorsque le r´ecepteur est suffisamment ´elev´e (z > 13, 5 m), les r´esultats obtenus selon les deux m´ethodes se rapprochent l’un de l’autre quelle que soit la fr´equence de calcul. Ceci est dˆu au fait que le r´ecepteur est alors visible par les arˆetes verticales du premier parall´el´epip`ede (arˆetes 5, 6 en z = 6 m et 9, 10 en z = -6 m). Ainsi, la double diffraction sur ces deux paires d’arˆetes devient pr´edominante sur les contributions d’ordre plus ´elev´ees.

R’ R

z = 9,5 m

5 6 7 8

source

Fig. 4.10 – Illustration du coin d’arˆete `a l’origine de la discontinuit´e de la pression diffract´ee par les arˆetes lat´erales.

4.1.2.2.3 Bilan des contributions.

4.1 Diffraction par une succession de plateaux. 77

Afin de clore cette premi`ere ´etude, nous allons afficher dans ce qui suit la pression totale r´esultant de l’addition des contributions des arˆetes lat´erales et des arˆetes formant les faces sup´erieures des deux parall´el´epip`edes. La figure 4.11 correspond au r´esultat obtenu lors du calcul complet des rayons par le lancer de faisceaux sur la configuration ´etudi´ee, les r´eflexions et les diffractions ´etant r´eparties de mani`ere quelconque le long des trajets. Le nombre total de ces interactions pour chaque trajet est limit´e `a sept.

(a) Pression acoustique re¸cue pour f = 500 Hz.

(b) Pression acoustique re¸cue pour f = 1000 Hz.

(c) Pression acoustique re¸cue pour f = 1500 Hz.

Fig. 4.12 – Contribution de la diffraction par les arˆetes lat´erales, calcul´ee selon la m´ethode classique et la m´ethode bas´ee sur la formule de Capolino et Albani `a 500 Hz, 1 kHz et 1,5 kHz.

Les figures 4.12(a), 4.12(b) et 4.12(c) repr´esentent la pression totale, respectivement, `a 500 Hz, 1 kHz et 1,5 kHz. La figure 4.13 repr´esente les diff´erences entre les niveaux calcul´es en fonction de la hauteur du r´ecepteur en utilisant la formule de Capolino et Albani et en utilisant l’approche classique. Nous avons restreint le calcul de la diff´erence entre les deux niveaux `a la zone d’ombre du parall´el´epip`ede de droite (z < 9,5 m).

Nous pouvons observer, en comparant les figures 4.12(a), 4.12(b) et 4.12(c) avec les fi- gures 4.7(a), 4.7(b) et 4.7(c) que la prise en compte des contributions li´ees aux diffractions par les arˆetes lat´erales a augment´e le niveau de la pression. Toutefois, nous pouvons observer sur la figure 4.13 que l’´ecart entre les r´esultats obtenus selon la m´ethode classique et les r´esul-

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tats obtenus selon notre approche reste toujours de l’ordre de 6 `a 7 dB dans la zone d’ombre du parall´el´epip`ede de droite.

Fig. 4.13 – Diff´erence entre les niveaux calcul´es selon la m´ethode classique et les niveaux calcul´es en utilisant la formule de Capolino et Albani.