1. État de l'art
1.3. Problématiques d’identification
D’une manière générale, un problème d’identification consiste à minimiser la différence de comportement entre un modèle et un système réel. Par système, on désigne ici tout objet au sein duquel des variables de différentes natures interagissent avec des entrées et produisent des signaux observables : les sorties. Un système peut alors être représenté schématiquement par la figure 1.19.
Système
Sortie Perturbation non mesurable Entrée Perturbation mesurablefigure 1.19. Schématisation d'un système [Lju99].
Le problème d’identification consiste à déterminer un modèle et les paramètres de ce modèle afin de minimiser l’écart entre ce modèle et le système réel. Cela suppose de définir un critère d’erreur qui quantifie l’écart entre le modèle et la réalité. L’identification est donc une démarche expérimentale pour laquelle on peut distinguer quatre étapes [Lju99]:
- Acquisition des données expérimentales (entrées et sorties).
Chapitre 1. État de l'art
- Identification des paramètres du modèle choisi à partir des données expérimentales.
- Validation du modèle identifié.
L’identification peut être considéré comme une démarche itérative entre ces étapes (figure 1.20).
figure 1.20. Procédure d’identification d’un système [Lju99].
Dans la littérature, le problème de l’identification est largement abordé du point de vue de l’automatique [Sou06]. En effet, pour pouvoir contrôler et commander un système, il est primordial de posséder une modélisation correcte qui permette de connaître les entrées nécessaires pour obtenir une sortie voulue [LaF98]. Cependant, l’identification est un problème qui se pose dans de nombreux domaines de l’ingénierie et pour lesquels des méthodologies variées existent.
1.3.1. Structure du modèle
Le choix de la structure du modèle dépend du type de problème abordé. On peut distinguer deux types de modèles : les modèles de connaissance et les modèles de représentation [WaP94].
Un modèle de représentation est un ensemble de fonctions mathématiques qui permettent de reproduire le comportement d’un système indépendamment de sa structure physique. On utilise ces modèles lorsque les phénomènes physiques mis en jeu sont trop complexes pour pouvoir identifier tout les paramètres, ou lorsque l’on ne connaît pas a priori le fonctionnement interne du système. On appelle couramment ce type de modèle des "boîtes noires" et les paramètres d’un tel modèle n’ont pas nécessairement de signification physique. Il existe différents types de fonctions qui sont des "approximateurs universels" : les réseaux de neurones, les ondelettes, les fonctions radiales (RBF).
Ces fonctions sont utilisées dans des domaines aussi variés que l’identification des codes postaux pour le tri automatisé du courrier [DMS02], la détections de fissures dans les structures mécaniques [LiW98] ou la
Chapitre 1. État de l'art reconnaissance de personnes par analyse de photos du visage[TFV98]. Elles sont aussi utilisées pour la modélisation dynamique des suspensions automobile destinée aux systèmes de suspension actives ou semi-actives [GHY04] [HNH99]. A l’opposé, le modèle de connaissance (ou modèle phénoménologique) tente de reproduire le comportement du système réel par l’analyse des phénomènes physiques à l’origine de son fonctionnement. Les paramètres d’un tel modèle sont alors des grandeurs physiques internes au système. Dans le cas de la modélisation de systèmes mécaniques, il s’agira alors par exemple de paramètres géométriques, d’inertie, d’amortissement et de rigidités.
Indépendamment du type de modèle utilisé, une difficulté majeure des problèmes d’identification consiste à choisir un modèle dont la complexité soit adaptée au système étudié. Un modèle insuffisamment complexe ne permettra pas de reproduire correctement le système réel.
On pourrait penser qu’un modèle plus complexe peut toujours mieux représenter les résultats expérimentaux et le choix du modèle est alors un compromis entre complexité et performance. Cependant lorsque les données expérimentales sont bruitées, les degrés de liberté supplémentaires d’un modèle trop complexe peuvent servir à modéliser une réalisation particulière du bruit. L’identification du même système à partir de données expérimentales différentes aboutira alors à un jeu de paramètres et un comportement du modèle différent. Le modèle trop complexe ne permettra pas alors de donner une bonne prédiction du comportement du système [WaP94].
De plus, lorsque le nombre de paramètres est trop important, certains paramètres sont non identifiables. Un paramètre p est dit non identifiable si il i
existe une infinité de valeurs de p telles que les sorties du système soient égales i
aux sorties du modèle [SeF01]. Dans le cas d’un modèle de connaissance, la non-identifiabilité pose le problème du réalisme du modèle. Même si le modèle identifié possède un comportement identique au système de référence, il n’existe aucune certitude que les paramètres identifiés correspondent aux paramètres réels.
1.3.2. Identification des paramètres
Une fois la structure du modèle déterminé, l’identification des paramètres consiste à déterminer le jeu de paramètres qui définissent le meilleur modèle compte tenu du but fixé à la modélisation. Cette détermination passe par la définition d’un critère j
( )
p , fonction scalaire des paramètres p du modèle, qu’il faudra optimiser. Le critère compare l’ensemble des résultats expérimentaux, exprimés sous la forme d’un vecteur sy , avec les sorties du modèle ym(p).
Les critères quadratiques, aussi appelés critères des moindres carrés ou norme 2, sont de loin les plus utilisés à cause de leur caractère intuitif et du fait qu’ils s’adaptent bien aux calculs d’optimisation. Ces critères peuvent s’écrire sous la forme : ) ( ) ( ) (p eT p Qe p mc j = ,
où Q est une matrice de pondération et e(p) la différence entre le modèle et les données expérimentales : e(p)=ys −ym(p).
Malgré leur utilisation presque universelle, les critères quadratiques ne sont pas toujours les plus adaptés au problème d’identification rencontré. Il existe d’autres critères utilisables tels que les critères en valeur absolue (ou
Chapitre 1. État de l'art norme 1), en maximum (ou norme infinie), ou encore les critères bayesiens [WaP94] [Sou06].
Les paramètres p qui minimisent le critère choisi peuvent être obtenus avec diverses méthodes d’optimisations. Différents facteurs interviennent dans le choix de la méthode d’optimisation selon qu’il s’agisse d’un problème linéaire ou non linéaire, si le nombre de paramètres est plus ou moins important, si le problème est contraint ou non contraint.
Lorsque l’on aborde l’identification des systèmes mécaniques il apparaît que le domaine de la robotique est le plus étudié. En mode statique, la précision d’un robot dépend non seulement de la qualité de ses asservissements, mais également de l’exactitude du modèle géométrique utilisé. Or le modèle théorique (de conception) ne prend pas en compte les défauts des segments et des transmissions du mécanisme [KhD99]. Pour l’identification géométrique des robots on cherche à identifier les constantes du modèle géométrique directe (longueurs et angles) de telle sorte que la pose de l’organe terminal (position et orientation) du modèle coïncide avec celle du robot réel pour un jeu de paramètres articulaires donné.