Problèmes théoriques de tournées de véhicules

Le transport, la collecte et la distribution de biens ou de personnes constituent un des enjeux majeurs de la chaîne logistique et présentent de nombreux intérêts sociaux, économiques et environnementaux. Ces enjeux sont de plus en plus cruciaux dans nos sociétés actuelles où la recherche de gain de temps et/ou l’amélioration des performances sont omniprésentes. L’ensemble des problèmes d’optimisation concernant le transport, la collecte et la distribution est regroupé sous la dénomination de problème de tournées (de véhicules) ou « routing problems ». Cette appellation générique regroupe un grand nombre de problèmes avec des caractéristiques très différentes.

Les problèmes de tournées de véhicules sont composés d’un ensemble de clients, d’un ensemble de véhicules et d’un graphe modélisant un réseau routier. L’objectif de ces problèmes est de déterminer : d’une part, à quel véhicule est affecté chaque client ; et d’autre part, dans quel ordre un véhicule visite les clients qui lui sont affectés. Ces deux considérations sont souvent très fortement liées.

Généralement, les problèmes de tournées de véhicules sont divisés en deux classes en fonction de la position des clients.

1) Si les clients sont situés sur les arcs du graphe, il s’agit alors d’un problème de tournées sur arcs (Arc Routing Problem – ARP), par exemple : le problème du postier chinois

(Chinese Postman Problem – CPP) (Eiselt et al., 1995) et le Capacitated Arc Routing Problem (CARP ) (Golden and Wong, 1981).

2) Si les clients sont localisés sur des points précis du réseau, alors il s’agit d’un problème de tournées sur nœuds (Node Routing Problem – NRP), par exemple : les problèmes de visites de clients avec notamment le problème du voyageur de commerce (Traveling Salesman Problem – TSP) (Dantzig et al., 1954; Gutin and Punnen, 2006) et le Vehicle Routing Problem (VRP) (Dantzig and Ramser, 1959; Braekers et al., 2016) ; les problèmes généraux de collecte et livraison (General Pickup and Delivery Problems – GPDP) qui modélisent le transport de biens (Toth and Vigo, 2014) ; et le Dial-A-Ride Problem (DARP) qui modélise le transport de personnes (Stein, 1978; Cordeau and Laporte, 2003).

La Figure 3 représente les différentes classes des problèmes de tournées de véhicules.

Problèmes de tournées de véhicules

Node Routing Problems - NRP Non prise en compte

d’un service - TSP

- VRP

Prise en compte d’un service - GPDP - DARP Arc Routing Problems - ARP

- CPP - CARP

Figure 3 Les classes des problèmes de tournées de véhicules

Dans la majorité des problèmes de tournées de véhicules, l’objectif est de minimiser une distance ou un coût lié à la distance parcourue. Ce type de critère est celui utilisé pour le TSP ou encore le VRP (Braekers et al., 2016). Pour ces problèmes, le critère de la distance n’est pas fonction des dates de passage des véhicules sur les nœuds. Les problèmes de type GPDP et DARP prennent en compte un critère de qualité de service et la fonction objectif dépend généralement des dates de passages des véhicules chez les clients (Cordeau and Laporte, 2003; Firat and Woeginger, 2011). De plus, dans ces problèmes les clients ont des contraintes sur le temps passé dans le véhicule et les tournées ont des contraintes sur leur durée totale. Si les tournées sont connues, il est relativement facile d’obtenir les dates de passage des véhicules sur les nœuds pour les problèmes de type TSP et VRP. L’évaluation de ces dates requiert des algorithmes plus complexes si la notion de qualité de service entre en jeu, comme pour le GPDP et le DARP.

Pour les recherches présentées dans ce manuscrit, la modélisation du transport est proche de celles de problèmes de tournées sur nœuds en particulier des General Pickup and Delivery Problems (GPDP), car les biens doivent être transportés d’un sommet à un autre du réseau. Les prochaines sections se concentrent donc sur ces types de problèmes.

4.1. Problème de visites de clients

Un des problèmes de tournées de véhicules parmi les plus connus est le problème du voyageur de commerce (Traveling Salesman Problem – TSP) formalisé par (Dantzig et al.,

1954). L’objectif du TSP consiste à trouver la route (ou tour), permettant à un voyageur de commerce de partir d’une ville (généralement nommée dépôt), de visiter une unique fois toutes les villes et de rentrer dans sa ville de départ, en minimisant la distance parcourue. Le TSP est l’objet de nombreuses publications et d’états de l’art (Larranaga et al., 1999; Gutin and Punnen, 2006; Applegate et al., 2011).

Le problème du TSP est modélisé sous forme de graphe dans lequel les sommets représentent les villes à visiter et les arcs modélisent les routes entre les différentes villes. Chacun des arcs (les routes donc) reliant deux sommets (deux villes) est pondéré par un poids qui correspond à la distance à parcourir entre ces deux villes. Une solution du TSP consiste à définir l’ordre dans lequel le voyageur doit visiter un ensemble des villes et correspond à cycle hamiltonien dont la somme des distances est minimale.

Le Vehicle Routing Problem (VRP) est une extension du TSP, introduite par (Dantzig and Ramser, 1959). Dans ce problème, l’objectif est similaire à celui du TSP, et consiste à visiter l’ensemble des villes en minimisant la distance totale parcourue (Toth and Vigo, 2002). Pour le VRP, la terminologie utilisée n’est plus « villes », mais « clients » (qui sont toujours représentés par les sommets du graphe). Dans le cas du TSP, il n’y a qu’un unique véhicule (ou voyageur) qui doit passer par toutes les villes, tandis que dans le cas du VRP, il s’agit d’une flotte composée de plusieurs véhicules qui doivent visiter l’ensemble des clients. Une tournée est définie par un véhicule et une route, débutant à un dépôt et terminant au même dépôt, qui permet de visiter un sous-ensemble de clients. Une solution doit respecter les contraintes suivantes : chaque client n’est visité qu’une unique fois par une et une seule tournée ; chaque véhicule effectue au plus une tournée ; et tous les clients doivent être visités par un véhicule. Les livres de (Toth and Vigo, 2002; Gendreau et al., 2008; Toth and Vigo, 2014) sont des références internationales concernant les problèmes de VRP et de leurs extensions. (Braekers et al., 2016) proposent un état de l’art récent du VRP prenant en compte 277 articles publiés entre 2009 et juin 2015.

Les problèmes du TSP et du VRP sont la base de nombreux autres problèmes de tournées de véhicules qui sont définis en ajoutant différentes contraintes et/ou objectifs (Toth and Vigo, 2002, 2014). Le VRP comporte souvent des contraintes sur la capacité des véhicules (Capacited Vehicle Routing Problem – CVRP), ou sur la longueur maximale des tournées, ce qui permet de modéliser les contraintes d’autonomie des véhicules ou de législation. Pour le CVRP, une demande (de collecte ou de livraison) à respecter est associée à chaque client et à chaque véhicule est associée une capacité maximale de demandes qu’il peut satisfaire. Une autre extension du VRP fait régulièrement l’objet d’étude : le VRPTW (Vehicle Routing Problem with Time Window) (Pureza et al., 2012; Vidal et al., 2013), dans ce cas, chaque client possède une fenêtre de temps (time window) pendant laquelle le client doit être visité. (Gendreau and Tarantilis, 2010) introduisent un état de l’art se focalisant uniquement sur les problèmes de VRPTW et (Lahyani et al., 2015) présentent un état de l’art des problèmes de type VRP qui sont enrichis de contraintes additionnelles.

4.2. Problèmes généraux de collecte et livraison

La définition de la classe des problèmes de collecte et livraison (GPDP) est proposée par (Savelsbergh and Sol, 1995). Dans ces problèmes, il ne suffit plus de visiter les différents clients comme pour les problèmes de TSP et de VRP ; il faut en plus prendre en compte une demande des clients pour une quantité de produits ou un service. (Berbeglia et al., 2007; Parragh et al., 2008) proposent des états de l’art des problèmes de type GPDP.

Le Vehicle Routing Problem avec collecte et livraison (VRP with Pickup and Delivery – VRPPD) est une extension du VRP où chaque client requiert une quantité de produits, et les véhicules ont une capacité maximale (Dumas et al., 1991; Tasan and Gen, 2012; Pradenas et al., 2013). Une solution est un ensemble de tournées telles que toutes les demandes soient satisfaites (il est interdit de livrer plus ou moins de produits), et que la charge maximale des véhicules soit respectée. L’objectif est de minimiser la distance totale parcourue.

De nombreuses contraintes peuvent être ajoutées au VRPPD, notamment des fenêtres de temps (Dumas et al., 1991) ; une flotte de véhicules hétérogènes ; plusieurs dépôts ; autonomie du véhicule (temps de trajet maximal pour le véhicule) ; temps de trajet maximal pour les produits ; etc. Une extension courante concerne la durée du service effectué chez le client : cette durée peut être nulle ou non. Dans le premier cas, le véhicule arrive chez un client et peut repartir aussitôt, dans le second cas, le véhicule doit attendre un certain temps avant de pouvoir repartir.

Une fenêtre de temps impose que la requête (livraison, collecte ou autre service) du client soit traitée dans un intervalle précis défini par une date au plus tôt et une date au plus tard. Cette contrainte modifie la façon de modéliser et de résoudre les problèmes de tournées de véhicules. En effet, dans un problème de VRPPD sans fenêtre de temps, une solution est simplement composée d’un ordre des visites pour chaque véhicule. Dans un VRPPD avec fenêtre de temps (VRPPDTW) (Sexton and Bodin, 1985), un véhicule peut arriver avant la fenêtre de temps du client, mais dans ce cas il doit attendre l’ouverture de celle-ci pour pouvoir commencer son service. Toutefois, le véhicule ne peut pas arriver après la fenêtre de temps. Une solution du VRPPDPTW doit contenir les tournées de chaque véhicule, mais également la date d’arrivée du véhicule chez le client, la date de début du service, la date de fin de service et la date de départ de chez le client.

La Figure 4, d’après (Chassaing, 2015), illustre par deux exemples l’arrivée du véhicule chez un client possédant une fenêtre de temps. Dans le premier cas, le véhicule arrive dans la fenêtre de temps du client et peut commencer son service tout de suite. Dans le second cas, le véhicule arrive avant la fenêtre de temps et doit attendre avant de débuter son service.

Arrivée du véhicule

Fenêtre de temps du client

Début de service Départ du véhicule Arrivée du véhicule

Fenêtre de temps du client

Départ du véhicule Fin de service Début de service Fin de service Attente minimale du véhicule

Figure 4 Exemples de fenêtres de temps pour un client (Chassaing, 2015)

Le problème du transport à la demande (Dial-A-Ride Problem – DARP) étend le VRPPDTW en prenant en considération des contraintes de durées de transport maximales et une fonction objectif avec une notion de qualité de service. L’un des premiers articles sur le DARP est proposé par (Stein, 1978) qui propose un modèle mathématique. À l’origine les problèmes de DARP concernent le transport de personnes, mais ils peuvent également être utilisés pour résoudre des problèmes de transport de biens notamment si ces derniers ont des contraintes sur leurs durées maximales de transport (transports de produits dangereux, durée de vie du produit, etc.) (Toth and Vigo, 2014). Le DARP est l’objet de nombreuses études

(Cordeau and Laporte, 2003, 2007; Firat and Woeginger, 2011). (Ho et al., 2018) proposent un état de l’art du DARP prenant en compte les articles publiés depuis 2007.

(Cordeau and Laporte, 2003) font partie des premiers à proposer une qualité de service pour les problèmes de tournées de véhicules. Ils proposent un DARP prenant en compte, dans la fonction objectif, le temps total d’attente des clients, le temps total de trajet, la durée totale de la tournée et le respect des fenêtres de temps. (Cordeau and Laporte, 2003) promeuvent une nouvelle manière de calculer les dates de services pour obtenir une solution de compromis entre les différents critères de la fonction objectif.

Les GDPD et le DARP sont très intéressants dans les enjeux de pilotage des systèmes de production avec transport, car généralement, les matières premières et les biens (en cours de production ou finis) doivent être transportés à l’intérieur même de l’usine. Souvent plusieurs véhicules (AVG, filoguidés) sont disponibles pour effectuer ces transports. De plus, le problème de transport n’a pas souvent de critère de qualité associé, et est simplement considéré comme un sous-problème du problème d’ordonnancement. Or prendre en compte la qualité de service dans le transport peut avoir un grand impact sur le problème d’ordonnancement.