Définition du Workforce Scheduling and Routing Problem

2.1. Modélisation sous forme de graphe

Soit un graphe = ( , ℰ), où est l’ensemble des nœuds et ℰ l’ensemble des arrêtes.

Soit = { , , … _{| |}} l’ensemble des employés. = ∪ ∪ où est l’ensemble des

visites à réaliser, = { , … , _{| |}} est l’ensemble des dépôts de départ des employés et = { , … , _{| |}} est l’ensemble des dépôts d’arrivée des employés.

(Misir et al., 2010) donnent une définition précise des principales caractéristiques des employés et des visites dans le cadre du Home Health Care Problem. Ces définitions sont tout à fait en adéquation avec le problème du WSRP, et certaines sont utilisées pour définir les visites et les employés.

Une visite est caractérisée par :

 Une fenêtre de temps [ ; ] durant laquelle la visite doit être effectuée.

 Une durée de service , pour le WSRP cette durée est déterministe, mais elle pourrait dépendre de l’employé réalisant la visite ou stochastique.

 Une localisation (ou zone géographique).

 Un coût dépendant de l’employé effectuant la visite.  Un critère de qualité de service qui est fonction de .

 Un nombre d’employés nécessaires pour effectuer la visite. Si > 1 alors la visite est dupliquée en visites ′ , … , identiques. Si plusieurs employés sont requis, il est généralement important voire, essentiel qu’ils se coordonnent. Cet aspect de synchronisation et de coordination est un défi majeur des problèmes de WSRP, VRPTW et HHC, et est l’objet intégral de l’étude du chapitre 4. Ces contraintes ne sont pas présentes pour le WSRP introduit dans ce chapitre.

 Le temps de transport _, de la visite à la visite est supposé indépendant des employés.

Un employé est caractérisé par :

 Une fenêtre de temps [ ; ] (aussi appelée fenêtre de travail). La définition de la fenêtre de temps de travail peut varier en différents scénarii : le temps de déplacement peut être considéré comme du temps de travail ; un employé peut être contraint de violer sa fenêtre de temps de travail si cela est nécessaire pour exécuter une visite. Pour le WSRP, le temps de déplacement n’est pas considéré comme du temps de travail et un travailleur est autorisé à travailler au-delà de sa fenêtre horaire, mais ces dépassements d’horaires sont pénalisés dans la fonction objectif.

 Un contrat de travail autorisant ( = 1) – ou non ( = 0) – à réaliser

la visite . Le contrat peut être vu comme équivalent à la définition des compétences proposées par (Cordeau et al., 2010), où chaque visite réclame une ou plusieurs compétences particulières dont une au moins doit être possédée par l’employé réalisant cette visite.  Un dépôt de départ .

 Un dépôt d’arrivée .  Une liste de compétence.

 Une valeur binaire qui vaut 0 si la visite n’est pas dans une région souhaitée par l’employé, ou qui vaut 1 si elle ne l’est pas.

Les dépôts de départ et les dépôts d’arrivée peuvent être, pour un employé donné, les

mêmes ( = ) ou différents ( ≠ ). Similairement, pour l’ensemble des employés, les

dépôts peuvent être tous identiques (∀ , ∈ , = (Eveborn et al., 2006)) ou tous différents (∀ , ∈ , ≠ (Castillo-Salazar et al., 2016)). Cette représentation des différents dépôts permet de prendre en compte tous les scénarii possibles suivant les politiques de chaque entreprise les employés partent directement de chez eux ou ils débutent leur tournée à partir d’un dépôt central, puis ils retournent directement chez eux ou doivent repasser par le dépôt central avant de rentrer chez eux.

Le critère de service , établi par (Castillo-Salazar et al., 2016), englobe trois termes et

 ∈ [0 ; 1], la préférence de l’employé à travailler dans la zone géographique dans laquelle se trouve la visite . = 0 signifie que l’employé ne souhaite pas effectuer la visite à cause de sa zone géographique. Un proche de 1 signifie que l’employé est d’accord pour réaliser la visite.

 ∈ [0 ; 1], la préférence du client demandant la visite par rapport à l’employé . = 0 signifie que l’employé n’est pas du tout apprécié pour réaliser la visite. Une valeur proche de 1 signifie, au contraire, que l’employé est très vivement approuvé.

 ∈ [0 ; 1], la préférence du client requêtant la visite par rapport aux qualifications de l’employé . Une valeur proche de 0 exprime un désaccord, tandis qu’une valeur proche de 1 traduit une satisfaction.

La fonction objectif comprend quatre critères hiérarchisés (Castillo-Salazar et al., 2016; Garaix et al., 2018b). Le premier critère regroupe les coûts opérationnels, c’est-à-dire, la

somme des temps de transport _, plus la somme des coûts . Il combine donc des coûts

liés aux tournées et des coûts liés à la planification. Le second critère concerne la Qualité de Service (QoS) des clients. Le troisième critère englobe les pénalités des employés violant leur fenêtre de temps et violant leur zone géographique (il correspond à la qualité de service des employés). Le quatrième critère est le nombre de visites non effectuées. La fonction objectif est la somme de ces quatre critères avec des pondérations différentes : le critère le plus important est le quatrième, ensuite le troisième, puis le second et enfin le premier. La fonction objectif peut se résumer par :

= (coûts opérationnels ) + (QoS des clients)

+ (QoS des employés) + (nombre de visites non effectuées)

Avec , , et les pondérations où < < < .

Le Tableau 3 présente les objectifs, les contraintes et les préférences du WSRP d’après la description du problème par (Castillo-Salazar et al., 2016) et (Garaix et al., 2018b). La première colonne du Tableau 3 concerne les quatre critères de la fonction objectif. La deuxième colonne concerne les contraintes qui doivent être vérifiées à tout moment : le respect des fenêtres de temps des visites et le respect des contrats entre employés et les clients. Un contrat permet de définir la liste des clients qu'un employé peut visiter. La troisième colonne a pour objet les préférences qui sont traduites par des pénalités dans la fonction objectif (second et troisième critère de celle-ci) et qui définissent la qualité de service des employés et des clients.

Tableau 3 Objectifs, contraintes et préférences dans le WSRP

Critères Contraintes Préférences

Minimisation des temps de transport et des coûts

opérationnels :

, +

Contraintes légales liées aux

contrats de travail : ^{Qualité de service des clients :}

Maximisation de la qualité de

service : ^{Fenêtre de temps des visites :} [ ; ]

Régions préférées des employés :

Minimisation du nombre de visites réalisées en dehors de

la fenêtre de temps de l’employé et du nombre d’employés travaillant dans une zone géographique non

souhaitée ( = 0)

Horaires de travail des employés :

[ ; ]

Minimisation du nombre de visites non effectuées

2.2. Représentation d’une solution

Une solution du WSRP doit bien évidemment respecter les contraintes du Tableau 3 et est définie par :

 L’affectation d’un employé à chaque visite.

 L’ordre de passage, pour chaque employé, sur les visites qui lui sont affectées.  La date d’arrivée de l’employé sur la visite .

 La date de début de service de l’employé sur la visite .  La date de fin de service de l’employé sur la visite .  La date de départ de l’employé de la visite .

Le Tableau 4 propose une instance simplifiée du WSRP où les matrices , , et

sont simplifiées en étant unitaires (ce qui n’impacte donc pas la solution). Cette instance comporte six visites ( 1, … , 6) et deux employés ( 1 et 2). Les fenêtres de temps des visites et celles des employés sont indiquées dans la seconde colonne du Tableau 4. La troisième colonne présente, le processing time des visites, le dépôt de départ et d’arrivée de chacun des employés.

Tableau 4 Exemple de WSRP

Visite Fenêtre de temps Processing time

1 [10 ; 30] = 5 2 [5 ; 33] = 8 3 [68 ; 94] = 11 4 [49 ; 90] = 25 5 [29 ; 54] = 11 6 [54 ; 95] = 20

Employé Fenêtre de temps Dépôts (départ – arrivée)

1 [35 ; 100] 1 et 1

La Figure 2 est un exemple de solution de l’instance du Tableau 4, modélisée par un graphe. Les dépôts des employés et les visites sont des nœuds du graphe et sont respectivement représentés par des carrés et des ronds. Sont rappelés, pour chaque visite, sa fenêtre de temps ( ), son processing time , la date d’arrivée de l’employé, la date de début de service, la date de fin de service et la date de départ de l’employé. Par exemple, pour la visite 2, l’employé arrive à la date = 12, il débute son service à la date = 12, il finit à la date = 20, puis attend avant de partir à la date = 29. Pour la visite 4, l’employé arrive à la date

= 42, mais attend la date = 49 pour débuter le service.

Chaque tournée est un chemin constitué d’arcs, débutant d’un dépôt de départ et finissant à un dépôt d’arrivée. La tournée de l’employé 1 (en pointillé bleu sur la Figure 2) débute au dépôt 1 puis, 1 effectue la visite 1, ensuite la visite 5, puis 6 et enfin il retourne à son

dépôt d’arrivée 1. La tournée de l’employé 2 est 2 − 2 − 4 − 3 − 2 et est dessinée

en traits pleins marron.

V1 V2 V4 V3 V5 V6 I1 I2 L2 L1 TW=[10 ; 30] Pt=5 A= 10 st=16 C=21 D=21 TW=[54 ; 95] Pt=20 A=70 st=74 C=94 D=94 TW=[29 ; 54] Pt=11 A=42 st=42 C=53 D=59 TW=[49 ; 90] Pt=25 A=42 st=49 C=74 D=74 TW=[5 ; 33] Pt=8 A=12 st=12 C=20 D=29 TW=[68 ; 94] Pt=11 A=82 st=82 C=93 D=98 3 13 4 9 8 11 12 21 [35 ; 100] [9 ; 85] [9 ; 85] [35 ; 100]

Figure 2 Exemple de solution du WSRP

La Figure 3 présente les diagrammes de Gantt de la solution : le premier diagramme est « axé » sur les employés (partie haute de la figure) tandis que le second est « axé » sur les visites (partie basse de la figure). Le premier diagramme représente la tournée de chaque employé sur un axe temporel. Le second diagramme représente la réalisation de chaque visite par un employé, sur un axe temporel. Les rectangles les plus larges représentent les fenêtres de temps des employés (sur le premier diagramme) et des visites (sur le second diagramme). Pour chaque employé, la fenêtre de temps est donnée. L’employé 1 commence sa tournée par la visite 1 en dehors de sa fenêtre de temps. Une pénalité est donc comptabilisée (cet aspect est repris en détail dans la section 4.1.2). L’employé 2 commence ses visites dans sa fenêtre de temps, mais la visite 3 finit à la date = 93 qui est une date supérieure à la fenêtre de temps de 2 ([9 ; 85]), une pénalité est également comptée.

La seconde partie du diagramme de Gantt met en évidence les dates de début des visites dans leur fenêtre de temps, puisque c’est une contrainte du WSRP. Une flèche entre deux visites représente le déplacement d’un employé entre ces deux visites. Ce diagramme montre les temps d’attente des employés : par exemple après la visite 5 (qui termine à la date = 53), l’employé ne part pas immédiatement, il part à la date = 59, il attend donc 6 unités de temps. De manière similaire, les employés ne débutent pas forcément les visites immédiatement après leur arrivée : par exemple l’employé 1 arrive à la visite 6 à la date = 70, mais débute seulement à la date = 74. L’employé 2 arrive sur la visite 4 à la date = 49, mais doit attendre l’ouverture de la fenêtre de temps de la visite avant de pouvoir commencer le service.

W2 W1 V3 V2 V1 V4 V5 V6 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Tournée de W1 Tournée de W2 st V1 V2 V5 V6 V4 V3 Légende 49 59 74

Figure 3 Diagrammes de Gantt de la solution

La solution présentée (Figure 3) n’est donc ni au plus tôt, ni au plus tard, mais une solution intermédiaire. Puisque la définition du WSRP autorise la violation des fenêtres de temps des employés (sachant que ces violations sont pénalisées dans la fonction objectif), il est important que la solution ne soit une solution ni au plus tôt, ni au plus tard. Cette pénalité empêche de réduire l’ensemble des solutions à l’ensemble des solutions semi-actives, car la solution optimale n’est pas obligatoirement semi-active. Cette propriété du WSRP est très différente de celle des problèmes d’ordonnancement classiques, notamment le Job-shop Scheduling Problem pour le critère du makespan où l’espace des solutions semi-actives contient au moins une solution optimale (voir chapitre 1 et chapitre 2).