Tous les résultats présentés sont démontrés par des preuves rigoureuses qui utilisent des méthodes combinatoires et des éléments de la théorie des graphes.
Premier problème.
Nous avons présenté en premier lieu un algorithme déterministe qui permet à deux agents de faire le rendez-vous avec détection dans un réseau arbitraire et anonyme. Cet algorithme est valable pour le modèle de communication par bips entre les agents. Pour ce qui est du temps, notre algorithme réalise le rendez-vous avec détection en temps polynomial enn et log`, où n est la taille du réseau et ` est la plus petite étiquette des deux agents. Notre deuxième résultat est une réflexion sur le fonctionnement de notre premier algorithme. Nous avons remarqué que les agents dépensent beaucoup d’énergie dans la solution que nous avons proposée. Plus précisément, le nombre total de parcours d’arêtes qu’un agent doit faire est proportionnel au temps de rendez-vous. Nous nous sommes donc posés la question suivante : si les agents ont une énergie limitée, c’est-à-dire qu’ils sont capables de faire au plus c mouvements pour un certain entier c, seront-ils toujours capables de faire le rendez-vous avec détection dans le modèle de bips. Nous avons prouvé, un résultat qui peut paraître surprenant, que le temps de ce rendez-vous est exponentiellement supérieur à celui des agents à énergie illimitée. Le dernier résultat que nous présentons dans ce projet est un algorithme déterministe qui résout le problème du rendez-vous avec détection dans le modèle de bips global pour des agents à énergie limitée en temps aussi rapide que pour les agents à énergie illimitée dans des réseaux de taille bornée. Le modèle global est un modèle plus fort qui permet aux agents de communiquer à distance.
Une version préliminaire [54] de cette étude a été présentée et publiée dans
Elouasbi, S., and Pelc, A. Deterministic rendezvous with detection using beeps. In Algo-rithms for Sensor Systems - 11th International Symposium on AlgoAlgo-rithms and Experi-ments for Wireless Sensor Networks, ALGOSENSORS 2015, Patras, Greece, September 17-18, 2015, Revised Selected Papers (2015), pp. 8597.
Pour la version complète [56], elle a été publiée dans
Elouasbi, S., and Pelc, A. Deterministic rendezvous with detection using beeps. Int. J.
Found. Comput. Sci. 28, 1 (2017), 77.
Deuxième problème.
Nous répondons à la question suivante : est-il possible d’accomplir le rendez-vous dé-terministe entre deux agents en un temps de l’ordre du temps optimal d’exploration ? Une réponse négative est immédiate si les agents n’ont pas la possibilité de marquer les nœuds du graphe, même dans la classe des arbres. Il est donc naturel de se deman-der quelle est la plus petite taille des tableaux blancs associés aux nœuds, qui peuvent être utilisés par les agents pour laisser des messages, pour leur permettre de réaliser le rendez-vous en un temps proportionnel à celui de l’exploration la plus rapide.
Nous montrons que pour les arbres de taille n, cette plus petite taille est d’ordre Θ((logL)/n), où{1,· · · , L}est l’ensemble des étiquettes que peut avoir un agent. Nous fournissons un algorithme de rendez-vous déterministe qui fonctionne en tempsO(n) en utilisant de tels tableaux blancs. Nous prouvons aussi une borne inférieure sur la taille des tableaux blancs qui est valide même pour la classe des lignes.
Troisième problème.
À l’opposé des deux premiers problèmes, nous nous intéressons dans ce cas à la ren-contre entre deux agents mobiles dans le plan. Les agents sont modélisés par des disques de diamètre 1 et la rencontre se produit lorsque ces disques se touchent. Les agents sont équipés de boussoles identiques, ont des horloges synchronisées et se déplacent à la même vitesse constante, normalisée à 1. Ils possèdent aussi des capteurs qui leur per-mettent de détecter l’odeur ; autrement dit, les agents peuvent communiquer en utilisant lereniflement.
Nous supposons que ces capteurs permettent aux agents d’estimer la distance qui les séparent sans qu’aucun d’eux ne connaît dans quelle direction se trouve l’autre. Nous considérons deux modèles d’estimation. Dans les deux modèles, un agent lit son capteur au moment de son apparition dans le plan puis à la fin de chaque déplacement. Cette lecture (avec les précédentes) détermine la décision concernant le prochain déplacement.
Dans les deux modèles, la lecture du capteur indique aussi à l’agent si l’autre agent est déjà présent.
Nous considérons deux modèles de reniflement. Dans le modèle monotone, chaque agent peut conclure pour n’importe quelles deux lectures à des moments t1 et t2, si la distance qui le sépare de l’autre agent à l’instant t1 était plus petite, égale ou plus grande que celle à l’instant t2. Dans le modèle binaire qui est plus faible, chaque agent peut savoir, à n’importe quelle lecture, s’il est à une distance inférieure à ρ ou à une distance d’au moins ρ de l’autre agent, pour un certain réel ρ > 1 inconnu par les agents. Dans les deux modèles, l’intensité de l’odeur diminue avec la distance. Dans le modèle monotone, nous supposons que le capteur est idéalement précis et peut mesurer tout changement d’intensité. Dans le modèle binaire, nous supposons seulement que le capteur peut détecter l’odeur au-dessous d’une certaine distance (sans pouvoir mesurer l’intensité) et au-dessus de laquelle l’odeur est trop faible pour être détectée.
Nous présentons des algorithmes qui permettent de faire la rencontre déterministe dans le plan. Nous montrons aussi l’impact des deux façons de renifler sur le coût de la rencontre défini comme la distance totale parcourue par les deux agents jusqu’à la réa-lisation de la rencontre. Pour le modèle monotone, nous prouvons que notre algorithme permet de réaliser la rencontre au coûtO(D), oùDest la distance initiale qui sépare les agents. Cette complexité est évidemment optimale. Pour ce qui est du modèle binaire, nous fournissons un algorithme qui permet, à deux agents qui se trouvent initialement à une distance inférieure à ρ, de faire la rencontre au coût O(ρlogλ), où λ est la plus
grande étiquette. Nous prouvons aussi que ce coût ne peut pas être amélioré en général.
Enfin, nous remarquons que dans le modèle binaire, si les agents se trouvent initialement à une distance αρ, pour une certaine constante α > 1, le reniflement n’ajoute aucune amélioration au coût de la rencontre, c’est-à-dire que le coût de la rencontre optimale en pire cas est du même ordre de grandeur que celui dans le cas où les agents ne possèdent pas la capacité de renifler.
Une version préliminaire [55] de cette étude a été présentée et publiée dans
Elouasbi, S., and Pelc, A. Deterministic meeting of sniffing agents in the plane. In Struc-tural Information and Communication Complexity - 23rd International Colloquium, SI-ROCCO 2016, Helsinki, Finland, July 19-21, 2016, Revised Selected Papers(2016), pp.
212-227.
Pour la version complète [57], elle a été publiée dans
Elouasbi, S., and Pelc, A. Deterministic meeting of sniffing agents in the plane.Fundam.
Inform. 160, 3 (2018), 281-301.