3.7 Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons présenté trois algorithmes qui permettent à deux agents mobiles qui possèdent deux étiquettes différentes de faire le rendez-vous avec détection dans un graphe non orienté et connexe. Les deux premiers fonctionnent dans le modèle local ainsi que le modèle global : un pour les agents à grande énergie dans des graphes arbitraires, et l’autre pour les agents à énergie limitée dans des graphes de taille bornée.
Nous avons montré que dans ce deuxième cas, le temps du rendez-vous avec détection pour des agents à énergie limitée est exponentiellement plus grand que le meilleur temps du rendez-vous effectué par des agents à grande énergie. Plus précisément, pour réaliser le rendez-vous dans des graphes de taille bornée, les agents à énergie limitée doivent utiliser un temps polynômial en la plus grande étiquette, tandis que les agents à grande énergie peuvent le faire en temps polylogarithmique en la plus petite étiquette. Le troisième algorithme fonctionne seulement pour les agents à énergie limitée dans le modèle global, mais il est beaucoup plus rapide : il permet à deux agents d’effectuer le rendez-vous avec détection dans la classe des graphes de taille bornée en temps logarithmique en l’étiquette la plus petite. Nous avons prouvé que ce temps est optimal.
Le rendez-vous avec détection peut être considéré comme une procédure de pré-traitement pour la résolution d’autres problèmes importants dans des graphes. Parmi ces problèmes les plus connus, on cite celui de la construction d’une carte d’un graphe anonyme par un agent. Il est bien connu dans la littérature qu’un seul agent ne peut pas réaliser une telle carte s’il n’a pas la possibilité de marquer les nœuds du graphe (par
exemple, un seul agent ne peut pas connaître la taille d’un anneau orienté s’il ne peut pas marquer sa position initiale). Ce problème ne peut pas être résolu même si on utilise deux agents qui ne peuvent pas communiquer entre eux ; dans ce cas, chaque agent ne serait pas au courant de l’existence de l’autre et par conséquent se comporterait comme s’il était le seul agent présent dans le graphe.
En revanche, nos algorithmes de rendez-vous avec détection qui permettent à des agents d’utiliser les bips comme moyen de communication, peuvent servir, avec une simple modification, à construire la carte d’un graphe par deux agents. L’algorithme réalisé pour des agents à grande énergie peut être utilisé pour accomplir cette tâche dans des graphes arbitraires, et les deux algorithmes élaborés pour les agents à énergie limitée peuvent être utilisés pour réaliser cette tâche dans des graphes de taille bornée.
Il faut mentionner que dans nos trois algorithmes, la symétrie est brisée au moment où les agents déclarent le rendez-vous. Dans le cas des algorithmes dans le modèle local, un des agents entend deux bips dans le nœud de la rencontre et l’autre entend un seul bip dans ce nœud. Dans le cas de l’algorithme dans le modèle global, un des agents a la variablerole=attentetandis que l’autre a role=marche.
Voici comment on peut modifier nos algorithmes. À la ronde qui suit la déclaration du rendez-vous, les agents peuvent démarrer simultanément la procédure suivante. Un des agents reste immobile et se comporte comme un jeton stationnaire ; cet agent émet des bips à chaque deux rondes. En revanche, l’autre agent exécute silencieusement l’ex-ploration du graphe avec un jeton stationnaire décrite par exemple dans l’article [16]
mais en remplaçant chaque ronde de l’exploration par deux rondes consécutives ; dans la première ronde, l’agent se déplace comme indiqué dans l’exploration de [16] et dans la seconde ronde, il reste immobile dans le nœud actuel. Les bips de l’agent immobile permettent à l’agent qui se déplace de reconnaître l’emplacement du jeton (agent im-mobile) à chaque visite, de terminer l’exploration et de construire la carte du graphe.
À la fin de l’exploration, l’agent qui possède la carte va se trouver dans le même nœud avec l’agent immobile et il peut donc l’informer de la fin de l’exploration en émettant un bip à la dernière ronde à laquelle l’agent immobile est toujours en situation d’écou-ter. Une fois que l’agent immobile entend le bip, les agents changent les rôles : celui qui était immobile va faire l’exploration pour avoir la carte du graphe et celui qui a fait la carte va jouer le rôle du jeton stationnaire. Il faut noter qu’un agent n’a pas la possibilité de communiquer la carte déjà acquise à l’autre agent en raison du modèle de communication très restrictif.
Rendez-vous déterministe dans les arbres utilisant les tableaux blancs
4.1 Motivation
L’exploration et le rendez-vous, effectués par des agents mobiles dans des réseaux modélisés par des graphes connexes et non orientés, sont parmi les problèmes les plus largement étudiés en calcul distribué. Dans l’exploration, un seul agent mobile doit visi-ter tous les nœuds d’un graphe pour, par exemple, collecvisi-ter les données situées dedans.
En revanche, le rendez-vous est une tâche qui se fait par deux agents, placés initialement dans différents nœuds du réseau, dans le but de se rencontrer. Nous nous intéressons aux algorithmes d’exploration et de rendez-vous qui fonctionnent dans le même envi-ronnement étudié dans le chapitre précédent, c’est à dire dans des graphes anonymes dont les nœuds possèdent des numéros de port qui peuvent être lus par les agents. Le déplacement des agents se fait d’une manière déterministe et synchrone.
Une remarque intéressante est que l’exploration peut être considérée comme un cas particulier du rendez-vous dans lequel un des agents reste immobile pour toujours et
l’autre fait le parcours du graphe. Puisque l’agent immobile se trouve dans un nœud arbitraire du graphe, le rendez-vous nécessite que l’autre agent visite tous les nœuds en pire cas. Le temps de l’exploration est calculé par le nombre total de rondes nécessaires pour visiter tous les nœuds par un agent tandis que celui du rendez-vous est représenté par le nombre de rondes nécessaires pour faire la rencontre à partir du moment où le dernier agent a été activé. Voici une question très intéressante : Serait-il possible d’avoir un algorithme déterministe qui permet de faire le rendez-vous en un temps proportionnel à celui de l’exploration ? La réponse à cette question est négative, même dans des graphes très simples, si les agents n’ont pas la possibilité de marquer les nœuds du graphe. En effet, les auteurs de [41] ont prouvé que le rendez-vous dans un graphe à deux nœuds nécessite un temps logarithmique en la plus petite étiquette, tandis que l’exploration de ce simple graphe prend évidemment le temps1. Cette différence dans le temps d’exécution est due à la nécessité de rompre la symétrie entre les agents afin de se rencontrer ; si le marquage des nœuds est impossible alors le rendez-vous doit se faire en un temps proportionnel à la longueur de la représentation binaire de la plus petite des deux étiquettes des agents participants. En revanche, si le marquage est autorisé alors ce problème peut être résolu par le simple algorithme suivant : chaque agent marque son nœud de départ avec sa propre étiquette, performe l’exploration du graphe pour trouver la marque de l’autre et ensuite se rencontrer dans la position initiale de l’agent qui possède la plus petite étiquette. Cet algorithme prend un temps proportionnel à celui de l’exploration la plus efficace mais nécessite en pire cas des marques de la taille logL oùL est la grandeur de l’espace des étiquettes possibles.
Par conséquent, il est naturel de se poser la question sur la plus petite taille de messages pouvant être laissés par des agents dans des nœuds pour réussir à faire le rendez-vous en un temps proportionnel à celui de l’algorithme d’exploration le plus efficace. Afin de considérer cette question, nous formalisons la possibilité de laisser des
messages dans des nœuds par la notion bien connue destableaux blancs qui se trouvent dans chaque nœud. Tous les tableaux blancs ont la même taille W, ce qui signifie que, lors de la visite d’un nœud, chaque agent peut lire le contenu actuel du tableau blanc, peut l’effacer et écrire des messages dont la taille ne dépassera pas W bits qui peuvent alors être lus par l’agent lui-même lors d’une visite ultérieure ou lus et effacés par l’autre agent. Initialement, tous les tableaux blancs sont vides.