Sabrina Petit-Bergez
Résumé. — Nous présentons dans cet article une nouvelle définition de stabilité des schémas numériques pour les problèmes faiblement bien posés. Nous en donnons une caractérisation du type Von Neumann, nous évaluons le taux de convergence et nous le comparons à l’ordre théorique du schéma, basé sur l’erreur de troncature. Nous illustrons nos résultats sur des exemples.
La notion de problème faiblement bien posé remonte probablement à Gårding, mais le manque d’exemples en a ralenti l’étude approfondie (voir cependant [1]).
L’introduction des couches PML (Perfectly Matched Layers) pour simuler la pro-pagation des ondes électromagnétiques en milieu non borné [2], et les problèmes faiblement bien posés auquels elle donne lieu, en a ravivé l’intérêt [3].
En effet, la méthode consiste à modifier l’équation en dédoublant le système et en ajoutant un terme d’ordre 0. Alors que le problème de départ est fortement bien posé, le problème PML n’est que faiblement bien posé.
Le but de cet article est de définir une nouvelle théorie pour la discrétisation des problèmes faiblement bien posés, dans le cas uni-dimensionnel, qui prend en compte la perte de régularité. On appliquera cette théorie à un exemple et on comparera les résultats théoriques aux résultats numériques.
1. Problèmes faiblement bien posés On considère le problème de Cauchy :
(1)
∂tU(t, x) +A∂xU(t, x) +BU(t, x) =0 x∈R, t≥0,
U(0, x) =U0(x) x∈R,
avecU(t, x),U0(x)∈RN,A,B∈ MN(R).
Définition 1.1. — Le problème (1) est dit faiblement bien posé de défautq1s’il existe α≥0,K > 0, tels que pour toutU0∈Hq1(R), le problème (1) a une unique solution U∈ C0(R+, L2(R))telle que,∀t≥0,
SABRINA PETIT-BERGEZ
Dans le cas oùq1=0, le problème est dit fortement bien posé.
Pour déterminer si un problème est faiblement bien posé, on étudie le symbole P(iξ) = iξA+B. En effet, le résultat suivant [1] permet de se ramener à un calcul d’exponentielle de matrice :
Proposition 1.2. — Le problème (1) est faiblement bien posé de défautq1si et seulement si
∀ξ∈R,∀t > 0, kexp(−P(iξ)t)k ≤Keαt(1+|ξ|q1).
On introduit une nouvelle caractérisation des problèmes faiblement bien posés dans le cas uni-dimensionnel, au moyen du spectreσ(A)deA.
Proposition 1.3. — Le problème (1) est faiblement bien posé si et seulement si, on a les deux conditions suivantes :
(i) les valeurs propres deAsont réelles,
(ii) ∃C > 0,∀z∈C,|z|> C,∀λ(z)∈σ(P(z)), λ(z) =λ0z+fλ(z), oùfλest bornée sur|z|> Cetλ0∈σ(A).
La preuve de cette proposition est basée sur le développement en série de Puiseux des valeurs propres. Cette caractérisation présente l’intérêt de contrôler les valeurs propres deP(z)et non uniquement la partie réelle.
2. Etude de la stabilité faible
On considère un schéma à un pas en temps que l’on écrit sous la forme : Q−1Vn+1=Q0Vn,
avec(QσVn)j=Pp
ν=−rAνσVj−νn−σpourσ∈{−1, 0}.
On introduit le symbole du schéma :
Qb = (Qd−1)−1Qc0,
On définit, de manière analogue à la caractérisation de la proposition 1.2, la nou-velle notion de stabilité qui prend en compte la perte de régularité :
Définition 2.1. — Le schéma est faiblement stable de défautq2si
∃C,∀ξ∈h
La proposition suivante permet de se ramener à l’étude des valeurs propres deQb:
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PROBLÈMES FAIBLEMENT BIEN POSÉS ET DISCRÉTISATION
Proposition 2.2. — Supposons qu’il existeK > 0,θ∈Ntels que pour toutξ∈[−πh,πh], on aitkQ(ξ) −b Idk ≤K∆t(1+|ξ|θ). Alors le schéma est stable si et seulement si les valeurs propresλ(ξ)deQ(ξ)b vérifient
∀ξ∈h
−π h,π
h
i,|λ(ξ)|≤eαS∆t.
Cette caractérisation permet, par exemple, d’étudier le schéma de Lax-Wendroff suivant :
Proposition 2.3. — Si le problème continu est faiblement bien posé, alors le schéma de Lax-Wendroff (2) est faiblement stable sous condition CFL :∀λ∈σ(A),λ∆x∆t≤1.
3. Taux de convergence
Le but de cette partie est de donner une estimation du taux de convergence du schéma.
Afin de comparer les résultats théoriques aux résultats numériques, nous éva-luons la différence entre la solution approchée et l’évaluée de la solution exacte aux points de la grille. On considère donc l’opérateur d’évaluationEdéfini par :
∀u∈ C0(R),∀j∈Z, (Eu)j=u(xj) =u(j∆x).
On a alors le résultat suivant :
Théorème 3.1. — On suppose que le problème de Cauchy (1) est faiblement bien posé et que le schéma est faiblement stable. On prend comme condition initialeV0=EU0∈L2(hZ).
On suppose de plus qu’il exister > 0,ρ≥0,C > 0et0≤δ < 1tels que :
Ce résultat montre que le comportement dans le cas faiblement bien posé est ana-logue à celui du cas fortement bien posé : pour une donnée initiale suffisament ré-gulière, le taux de convergence du schéma est égal à son ordre de convergence.
Les graphiques ci-dessous montrent l’erreur en norme L2 observé numérique-ment en fonction du pas d’espace∆x ainsi qu’une droite dont la pente est le taux de convergence théorique soit 2. Dans chacun des deux exemples,AetBsont des matrices de taille3,Aayant 1 pour seule valeur propre. On choisitγ= ∆x∆t =0.9. Et
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Donnée initialeH11/2 Donnée initialeH9/2
Ces résultats sont en accord avec le théorème 3.1 : pour une régularité suffisament grande le taux de convergence vaut 2 ce qui est bien l’ordre du schéma de Lax-Wendroff.
Dans le cas de données initiales peu régulières, on peut également évaluer théori-quement le taux de convergence. Pour cela, on pourra consulter [4].
Références
[1] Kreiss, Heinz-Otto and Lorenz, Jens,Initial-boundary value problems and the Navier-Stokes equations, Pure and Applied Mathematics, 136, Academic Press Inc., 1989.
[2] Berenger, Jean-Pierre,A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves, J.
Comput. Phys., 114, 1994, 2, 185–200.
[3] Abarbanel, Saul and Gottlieb, David,A mathematical analysis of the PML method, J. Comput.
Phys., 134, 1997, 2, 357–363.
[4] Petit-Bergez, Sabrina,Problèmes faiblement bien posés : discrétisation et applications, Thèse de l’Université Paris 13, en préparation .
Sabrina Petit-Bergez
LAGA - Institut Galilée - Université Paris 13, 99, avenue J.B. Clément, 93430 Villetaneuse.
E-mail :spetitmath.univ-paris13.fr
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