II.2 Cadre théorique d’interprétation des expériences
II.2.3 Problème de diffusion simplifié
À partir de la température mesurée et de l’évaluation du membre de gauche de l’Équation (II.24), une estimation des sources de chaleur est alors possible au cours d’un essai. Cependant, la mesure par thermographie infrarouge donne uniquement accès au champ de température surfacique, alors que l’Équation (II.24) est locale volumique et régit les variations de température tri-dimensionnelles engendrées par des sources de chaleur de nature volumique. Or, résoudre le problème thermique inverse (3D) en s’appuyant uniquement sur la mesure de la température surfacique est impos- sible (au sens où le problème n’admet pas de solution unique) sans informations complémentaires sur la distribution spatiale des sources de chaleur. Une manière de contourner cette difficulté est d’utiliser des éprouvettes dont une des dimensions est largement inférieure aux deux autres (éprou- vettes minces). Dans cette configuration, le problème de diffusion peut être ramené à un problème bidimensionnel rendant ainsi possible l’utilisation des données thermiques surfaciques. La mise en équation de ce problème a déjà été réalisée à de nombreuses reprises dans la littérature pour diverses configurations expérimentales [Chrysochoos et al., 1989;Chrysochoos et Louche, 2000;Louche et Chrysochoos, 2001;Wattrisse et al., 2002 ;Maquin, 2006;Pastor, 2007;Poncelet, 2007;Berthel,
4. On considère ici que le processus d’endommagement est purement dissipatif, c’est-à-dire que la puissance mécanique volumique dissipée par l’endommagement est entièrement convertie en chaleur.
2007 ;Doudard et al., 2010]. Les hypothèses et les simplifications qui en découlent sont brièvement présentées dans la suite.
II.2.3.1 Hypothèses simplificatrices liées aux conditions expérimentales
Le volume de l’éprouvette associé à la zone utile surfacique observée expérimentalement est dé- fini en Figure II.1. Dans le cadre de nos essais, les principales hypothèses adoptées sont les suivantes :
z e L l Zone utile y x Air Air l t
Figure II.1 – Schématisation de la zone utile de l’éprouvette.
• La propagation du flux de chaleur au sein de la plaque est décrite par une loi linéaire de type Fourier : ~q = −k ·−−→grad(T ). L’éprouvette étant considérée comme un milieu homo-
gène orthotrope, le tenseur des conductivités k (W.m−2.K−1) exprimé dans le repère local
d’orthotropie Rortho(~l,~t, ~z) s’écrit sous la forme :
k= kl 0 0 0 kt 0 0 0 kz Rortho (II.25)
• Les paramètres ρ, C et k sont des constantes indépendantes de l’état thermodynamique (ǫe, T, d, α
j).
• La durée des essais étant relativement courte (de l’ordre de la minute), la température de la salle d’essai Tamb et les sources de chaleur externes dues aux échanges thermiques par
rayonnement rext sont supposées constantes au cours du temps. L’équation de la chaleur
implique alors pour un état initial avant sollicitation : rext≈ −div
k·−−→grad(T0)
.
• Les processus de déformation sont supposés quasi statiques (pas de striction locale), en consé- quence les vitesses de déformation sont considérées faibles. Même si les matériaux étudiés présentent une faible conductivité (kii < 1W.m−2.K−1), ce qui peut favoriser l’apparition
d’un gradient spatial important, la contribution du terme convectif dans l’expression de la dérivée particulaire du champ de température est négligée devant celle de la dérivée partielle temporelle5 : ˙T = ∂T
∂t + ~v ·
−−→
grad(T ) ≈ ∂T∂t.
• Au cours d’un processus dissipatif, les variations de température engendrées par les cou- plages thermomécaniques sont supposées faibles devant celles induites par les mécanismes dissipatifs. En conséquence, la source de chaleur due aux couplages thermomécaniques est négligée devant le terme de dissipation intrinsèque : p′
ch≈ φint.
Sous ces hypothèses, en désignant θ = θ(~x, t) = T (~x, t) − T0 comme la variation de température
II.2 Cadre théorique d’interprétation des expériences
réécrit dans le repère global lié à l’éprouvette (Figure II.1) :
ρC∂θ ∂t − " kxx ∂2θ ∂x2 + 2kxy ∂2θ ∂x∂y + kyy ∂2θ ∂y2 + kzz ∂2θ ∂z2 # = p′ ch (II.26)
où les termes kxx, kxy, kyyet kzz = kz sont les termes du tenseur des conductivités exprimés dans le
repère global R(~x, ~y, ~z). Les échanges thermiques avec l’extérieur sur la frontière de l’éprouvette sont modélisés par des lois linéaires de coefficient hiregroupant l’ensemble des phénomènes de transferts
thermiques : convection, rayonnement et conduction. Pour tout point matériel appartenant à la frontière de l’éprouvette de normale ~n, ces conditions aux limites s’expriment sous la forme générale suivante :
− k ·−−→grad(T (~x, t)) · ~n = hi(T (~x, t) − T0) (II.27)
II.2.3.2 Équation de la chaleur bidimensionnelle
La température mesurée expérimentalement θmes(x, y, t), correspond à la température en sur-
face de l’éprouvette θ(x, y, ±e
2, t). Or pour une éprouvette dite mince e ≪ L, l, la variation de
température mesurée à la surface de l’éprouvette est supposée être une estimation représentative de la variation de température moyennée dans l’épaisseur :
θmes(x, y, t) = θ(x, y, ± e 2, t) ≈ θ(x, y, t) = 1 e Z e 2 −e 2 θ(~x, t) dz (II.28)
[Louche, 1999] a démontré la validité de cette hypothèse en s’appuyant sur des simulations numé- riques réalisées sur un matériau polymère. La proximité des paramètres utilisés lors de ce travail avec ceux des matériaux étudiés par la suite justifie le choix de l’approximation pour les diffé- rentes configurations testées. En tenant compte de cette hypothèse, l’intégration de l’équation de la chaleur dans l’épaisseur conduit à l’expression simplifiée suivante :
ρC ∂θ ∂t + θ τth2D ! − kxx∂ 2θ ∂x2 + 2kxy ∂2θ ∂x∂y + kyy ∂2θ ∂y2 ! = p′ ch (II.29) où τ2D
th = ρCe2h est un temps caractéristique, défini en fonction du coefficient d’échange thermique
par convection et rayonnement h. Il caractérise les fuites thermiques sur les faces de l’éprouvette de normale ±~z.
Enfin, à partir des cartes de température mesurées, de la connaissance des paramètres liés au matériau et de la géométrie de l’éprouvette, l’évaluation du membre de gauche de l’Équation (II.29) permet l’estimation des champs de source de chaleur moyennés dans l’épaisseur. Or, les champs de source étant directement liés à la dissipation intrinsèque φint (φint ≪ p′ctm), une estimation de
l’énergie dissipée en chaleur peut alors être obtenue, pour peu que l’on connaisse le volume sur lequel les mécanismes dissipatifs sont actifs. Comme nous allons le décrire dans la partie suivante, à partir de l’estimation de l’énergie dissipée en chaleur nous allons pouvoir effectuer un bilan énergétique complet sous sollicitation monotone. L’évaluation de la proportion d’énergie mécanique irréversible dissipée en chaleur nous permettra alors d’estimer le taux de restitution d’énergie.