Problème de conduction instationnaire 1D

Le problème de conduction instationnaire est résolu au sein de l’épaisseur de peinture (Tp(x,t)) pour le système schématisé figure2.33.

0

1

x*

Figure2.33 – Schéma du problème 1D.

Avec plusieurs hypothèses, en réduisant les variables x, Tp et t du problème avec les valeurs

caractéristiques du problème, la mise en équation du problème est la suivante :

∂T∗ p ∂x∗(x ∗ _{= 0) = 0(Adiabatique) (2.13)} ∂T∗ p ∂t∗(x ∗ = 1) = 1 − F (t∗_)T∗ p(x ∗ = 1) − 1 Bip ∂T∗ p ∂x∗(x ∗_{= 1) (2.14)} ∂T∗ p ∂t∗ = F op ∂2_T∗ p ∂x2∗ (2.15)

Avec les valeurs adimensionnées déterminées par :

x∗ = x ep (2.16) T_p∗ = Tp− Tl Tp,stat− Tl (2.17) t∗ ₌ t τ = thstat ρwCp,wew (2.18)

Ce qui fait apparaître deux nombres adimensionnels caractéristiques d’une étude de conduc- tion à travers une paroi, le nombre de Biot :

Bip =

hconv,stat.ep

λp (2.19)

et le nombre de Fourier qui caractérise la part du flux de chaleur qui est transmise au corps à un instant donné (à un temps τ) par rapport à la chaleur stockée par ce corps :

F op = ρwCp,wew ρpCp,pep . λp hconv,statep = αpτ e2 p (2.20)

L’étude de Kawamura [54] (introduit dans l’état de l’art) permet la résolution de ce problème où un autre nombre sans dimension β est introduit qui correspond à la capacité thermique réduite de la paroi chauffée par celle du fluide. Il intervient dans le calcul de F(t∗_{) :}

β = hstat.Mth λl.ρl.Cp,l

= Nu.ρw.Cpw.ew ρl.Cp,l.Dh

(2.21) avec Mth la capacité thermique de la paroi calculée comme Mth= ρw.Cpw.ew.

Elle représente ainsi la tendance du matériau à emmagasiner la chaleur et à la restituer au fluide. Plus la capacité thermique est grande, plus grande sera la quantité d’énergie échangée au cours d’une variation de la température de ce corps. Pour donner un exemple, pour une épaisseur de peinture de 50µm, la capacité thermique de la peinture est de 90 J.m−2_.K−1 tandis que celle du clinquant pour une épaisseur aussi de 50µm est de 198 J.m−2_.K−1_.

Si le régime est permanent alors hconv est constant et F(t∗)=1 à chaque moment. Or Ka-

wamura introduit un coefficient de transfert dépendant du temps qui tend vers cette valeur stationnaire et F(t∗_)=f(t∗_{). Cependant, l’hypothèse d’un coefficient de transfert h constant} n’est pas correcte pour l’étude du régime en convection transitoire car il a tendance à suréva- luer les résultats. C’est le h transitoire qui est retenu dans la suite. Ce coefficient htrans tend

vers un h stationnaire : hstat qui est fixé dès le début dans le modèle.

Le moment où la peinture influence le plus le système est lorsqu’il y a un changement brutal de température, c’est à dire à l’apparition d’un changement brusque de température, comme aux premiers instants de chauffe ou lorsque l’ébullition se déclenche.

Du fait que le nombre de Biot n’est plus négligeable à travers l’épaisseur de la couche de peinture, il y a un gradient thermique à travers celle-ci, figure 2.34. Même si celui-ci est faible pour les fines épaisseurs, il reste une erreur commise sur la mesure de la température.

(a) Effet de l’épaisseur de peinture sur l’estimation de

la température pour une faible épaisseur. (b) Effet de l’épaisseur de peinture sur l’estimation dela température pour une forte épaisseur.

Figure 2.34 – Différence de température entre la température côté air et celle côté liquide ∆T∗ _{à travers le dépôt de peinture pour 2 épaisseurs (25µm en a) et 75µm en b)) pour} hstat=1000W.m−2.K−1.

Les deux épaisseurs sont choisies car caractéristiques des dépôts des conditions expérimen- tales. L’épaisseur de 25µm est une couche de peinture optimisée et recherchée, alors qu’une épaisseur de 75µm correspond au cas où le dépôt n’est pas contrôlé. Il existe donc une dif- férence entre la température de paroi et la température mesurée quel que soit le dépôt de peinture. Pour les faibles épaisseurs (25µm), cette différence reste tout de même faible avec un

écart de température d’environ 1.5% au maximum en valeur absolue au bout de 10ms. Tandis que pour les dépôts de peinture plus importants (75µm), l’écart maximum atteint est de 8% en valeur absolue au bout de 58ms. C’est un temps suffisamment long pour modifier de façon significative la mesure.

La contribution Φ∗_{de l’inertie thermique de la partie solide (de même dimension que ρ.C}

p.e)

sont répartis selon trois niveaux croissants de précision dans son estimation (équation 2.22 et figure 2.35) et sont calculés comme :

       (1) Φ∗ _{= −ρ} w.Cp,w.ew.dT ∗ p dt∗ (2) Φ∗ = −(ρw.Cp,w.ew+ ρp.Cp,p.ep).dT ∗ p dt∗ (3) Φ∗ _{= −}_ρ wCpwew.dT ∗ w dt + ρpCpp. R 1 dT∗ p dt dx ∗ (2.22)

(a) Évolution de Φ∗_{pour une faible épaisseur de pein-}

ture. (b) Évolution de Φ

∗_{pour une forte épaisseur de pein-}

ture.

(c) Diagramme Φ∗_{- température à faible épaisseur de}

peinture (d) Diagramme Φ

∗_{- température à forte épaisseur de}

peinture

Figure2.35 – Évolution de Φ∗(t∗) (a et b) et de Φ∗(T∗) (c et d) pour un coefficient de transfert hconv,stat=1000W.m−2.K−1 pour 2 épaisseurs différentes de 25 et 75µm déterminé de 3 façons

différentes .

Le cas (1) ne prend pas en compte l’effet de la peinture lors de la chauffe (figure 2.35, courbe en bleu). C’est ce flux qui était pris pour déterminer le flux de chaleur total avant de prendre en compte le dépôt de peinture. C’est le cas où l’erreur est la plus importante. En effet, au début, ce flux est égal à 0 ce qui implique alors que toute la puissance déposée égalerait le flux cédé au liquide. Cette estimation du flux sur-estime le flux réellement transmis au liquide.

En deuxième approximation, on prend en compte la capacité thermique de la peinture (2). C’est une approximation avec une légère erreur pour les faibles épaisseurs de peinture mais qui augmente avec celle-ci.

Enfin, le flux Φ∗ _{(3) est calculé de façon à tenir compte de la capacité thermique du clin-} quant, celle de la peinture et d’un gradient de température à travers la couche de peinture. Pour les temps courts le flux est différent de 0, du fait qu’une partie du flux part dans la peinture. Ce flux est plus compliqué à déterminer car il y a une donnée manquante, à savoir la température côté liquide.

Figure2.36 – Évolution de T∗(t∗) pour un coefficient de transfert h = 1000W.m−2.K−1 pour une épaisseur de 75µm.

Une étude sur ce paramètre est alors nécessaire pour un calcul du flux de chaleur précis. Plusieurs modèles sont testés pour retrouver la température côté liquide à partir de la tempé- rature côté air en partant du principe que la température côté liquide est une exponentielle en fonction du temps de la forme : 1-e(−a.t) _{(solution quasi-stationnaire).}

Or le dépôt de peinture perturbe cette mesure qui n’est alors plus une exponentielle simple et qui dépend de trop de paramètres, surtout au début de la chauffe (figure 2.36). Cependant, comme T∗

airest connue, il est intéressant de connaître l’évolution de la température de liquide en

fonction de celle-ci, T∗

liq(Tair∗ ). Or cette évolution peut être approchée par une fonction spéciale

connue : la fonction W de Lambert (déduite à partir des résultats numériques). Cette fonction étant la réciproque de la fonction f(w)=w.ew_{, c’est à dire que pour tous nombres complexes z}

et w, on a :

w = W (z) ⇐⇒ z = w.ew (2.23)

Ainsi le modèle à résoudre est :

T_air∗ = a.T_liq∗ .e−b.Tliq∗c (2.24)

Avec a,b et c qui sont les paramètres recherchés et qui dépendent du coefficient de trans- fert stationnaire hstat et aussi de l’épaisseur du dépôt de peinture ep. Pour déterminer ces

paramètres, des routines de régression (outils Matlab) résolvent l’équation :

T_air∗ _{− a.Tliq}∗ .e−b.Tliq∗c = 0 (2.25)

Pour vérifier que notre modèle est correct, on calcule la RMSE (Root Mean Square Error) pour savoir si l’ajustement est bon pour chaque cas étudié. La RMSE est une statistique

connue comme la racine de l’erreur quadratique moyenne. C’est une estimation de l’écart entre la composante aléatoire dans les données. C’est une valeur à minimiser et qui doit être proche de 0 pour considérer que l’ajustement est correct par rapport aux données étudiées. Ainsi, notre RMSE est bien proche de 0 (de l’ordre de 10−4_{, figure 2.37) quel que soit le cas étudié. On} considère alors toutes les prédictions comme étant suffisamment précises et le modèle robuste.

Figure 2.37 – Évolution de la RMSE pour différentes e_p et h_stat.

Une fois cette vérification faite, en prenant différents coefficients de transfert stationnaire h de 500 à 2000W.m−2_.K−1_{et plusieurs épaisseurs de peinture e}

pde 20 à 100µm, il est maintenant

possible d’obtenir une cartographie de chaque paramètre a,b et c solutions de l’équation T∗

air− a.T∗

liq.e

−b.T∗c

liq=0 :

— Le coefficient a dépend du nombre de Fourier qu’on approxime par a=(1/(5*Fo))+1. Ce qui revient à dire que :

(

Si Fo ≫ 1 → a = 1, ce qui correspond bien aux faibles épaisseurs.

Si Fo ≪ 1 → a → ∞, ce qui correspond aux fortes épaisseurs où a perturbe le plus T∗

liq.

— Le coefficient b est un paramètre homogène à T−c _{qui doit tendre vers 0 pour les}

faibles épaisseurs pour faire tendre l’exponentielle vers 1 et respecter l’équation puisque lim

ep→0

Tair = Tliq. Elle correspond au cas où l’écart entre les deux côtés est le plus fort

et qui nous informe donc sur le temps de conduction à travers l’épaisseur de peinture. Ainsi b=3.078.(-min(∆T∗₎₎1.451

— Le coefficient c est un paramètre qui doit être homogène à l’unité du paramètre b. Ce qui signifie que c doit être proche de -1.45.

Il est donc possible à l’aide de 3 paramètres connus de déterminer la température côté liquide en connaissant la température côté air. On s’intéresse alors à l’application de ce modèle au cas expérimental pour le valider.