5.3 Performances du protocole
5.3.2 Probabilité de succès du conditionnement
5.3.2.1 Intuition théorique
Le poblème auquel on sera confronté lorsque l’on voudra générer un état arbitraire sera de savoir quels sont les coefficients (xi, ξi, ti, τi)qu’il faudra choisir. On sera donc amené à résoudre
l’équation (5.18) avec les inconnues (α1, ..., αn), (τ1, ...τn−1), (ξ1, ..., ξn−1). Il y a plus de variables
que d’équations à notre problème, et on va pouvoir exploiter l’excédent de variables pour opti- miser la probabilité de succès de l’opération totale.
Une illustration simple de ceci peut être donnée pour le protocole élémentaire exposé au para- graphe 5.3.1.1 : toutes les superpositions de la forme |ψi = √1
1+c2 0
(c0|0i + |1i) avec c0 ∈ [0, 1[
peuvent être générées par le protocole. Mais on voit clairement que ce procédé n’est pas optimal pour la génération de tous les états : en effet, pour obtenir un état à un photon |1i en sortie, l’équation (5.24) indique qu’il faut réaliser le conditionnement sur ξ1 = 0, mais la probabilité
de succès de l’opération sera limitée par le fait que le photon a une chance sur deux d’être correctement transmis, ainsi que par le fait que même si c’est le vide qui arrive sur la détection homodyne, encore faut-il que celui-ci mène à une mesure suffisamment proche de ξ1= 0.
Avec l’utilisation du degré de liberté supplémentaire τ, ce problème disparaît car il suffit de choisir τ = 1 (cf figure 5.2) et la probabilité de succès de la génération est alors de 1.
Pour la génération de l’état vide |0i avec le dispositif, le problème est encore plus flagrant : (5.24) indique qu’il faut choisir ξ1→ +∞, ce qui mène manifestement à une probabilité de suc-
cès nulle, alors qu’un simple choix τ = 0 sans conditionnement homodyne résout immédiatement le problème avec une probabilité de succès de 1.
5.3.2.2 Traitements numériques
Nous allons quantifier l’apport du degré de liberté supplémentaire en terme de gain de pro- babilité de succès en étudiant la dépendance de celle-ci en fonction de la superposition choisie. Nous allons réaliser l’étude dans deux cas : le cas simple du protocole élémentaire, où l’état cible est donné par (5.25) et le cas où l’on veut générer une superposition à deux photons de la forme (5.26). Les deux cas ont pour point commun de ne nécessiter qu’un seul protocole de croissance. Etant donné que le fait de conditionner exactement en ξ1 sur la détection homodyne mène à
une probabilité de succès nulle, il va falloir accepter les résultats proches de cette valeur : si la quadrature mesurée (ici x0) tombe dans [ξ
1−∆xc, ξ1+∆xc], on considèrera que la transformation
a correctement eu lieu. Par contre, il est évident que l’état qu’il faudra alors considérer sera un état mélangé, et le formalisme des fonctions d’ondes pour la description de l’état ne sera plus valide.
Superposition ressource (5.25)
Pour prendre en compte la largeur de conditionnement non nulle dans la génération de l’état ressource, l’état (5.24) doit être remplacé par la fonction de Wigner calculée par :
Wout(1)(x, p) = Z ξ1+∆xc ξ1−∆xc dx0 Z Rdp 0W 1(τ x + ρx0, τ p + ρp0)W0(τ x− ρx0, τ p− ρp0), (5.32)
où W1 est la fonction de Wigner de l’état à un photon (1.84), et W0 celle du vide. On trouve,
après calcul : Wout(1)(x, p) = 1 π3/2 Z ξ1+∆xc ξ1−∆xc h 2τ2p2+ 2(τ x + ρx0)2− τ2ie−x2−p2−x02dx0. (5.33) 127
On retrouve bien, pour ∆xc= +∞ et ρ = 0, la fonction de Wigner de l’état à un photon.
Cette fonction sera ensuite à comparer avec la fonction de Wigner de l’état (5.25) : Wth(x, p) = 1 1 + c20 h c20W0(x, p) + W1(x, p) + 2√2c0 π xe −x2−p2i . (5.34)
Nous effectuerons cette comparaison en utilisant la fidélité (1.36).
Pour quantifier l’intérêt d’utiliser des lames de réflectivité variable, on se propose de fixer une fidélité cible de l’état que l’on veut générer et de maximiser la probabilité de succès en jouant à la fois sur ξ1, ∆xcet ρ.
Le calcul numérique de (5.33) et l’optimisation de la norme de cette fonction (la probabilité de succès du conditionnement) pour une fidélité cible de 99% donnent les points de la figure 5.6 (a) pour la réflectivité optimale et (b) pour la probabilité de succès maximale.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 α r optimal
(a) Réflectivité optimale en fonction du coef- ficient du vide α = c0/p1 + c20 de la formule
(5.25). 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 20 40 60 80 100 α Psucc
(b) Probabilité de succès avec (tirets bleus) et sans (trait plein rouge) optimisation de la ré- flectivité de la lame séparatrice du protocole élémentaire.
Figure 5.6 – Caractéristiques de la génération à un étage sous optimisation de la probabilité de succès, pour une fidélité cible de 99%.
Avec optimisation, on voit que la probabilité de succès est toujours supérieure à 20%, et tend vers 100% pour α = c0/
p
1 + c20 = 0 et α = 1, alors que sans optimisation celle-ci ne dépasse pas 30% et tend vers 0 si l’on veut générer du vide (cas trivial). L’intérêt de ce degré de liberté supplémentaire est donc indubitable.
Superposition à deux photons (5.26)
Dans le cas où l’on considère la génération d’états de la forme (5.26), l’état produit par un protocole utilisant un conditionnement de taille non nulle sera calculé grâce à l’équation
Wout(2)(x, p) = Z ξ1+∆xc ξ1−∆xc dx0 Z Rdp 0W(1) 1 (τ x + ρx0, τ p + ρp0)W (1) 2 (τ x− ρx0, τ p− ρp0), (5.35) où W(1)
i (x, p)est la fonction de Wigner de l’état ressource αi|0i + βi|1i :
Wi(1)(x, p) = α2iW0(x, p) + βiW1(x, p) + 2√2αiβi π xe −x2−p2 . (5.36) La fonction W(2)
out peut être calculée numériquement, puis comparée (après normalisation) à la
mesure de la qualité.
La probabilité de succès de l’opération de conditionnement sera finalement donnée par l’intégrale sur R2 de W(2)
out(x, p).
Illustrons la possibilité d’optimiser les paramètres (τ, ξ1) du protocole en vue de maximiser
la probabilité de succès de l’opération. Pour ce faire, nous allons considérer la génération de quatre états de la forme (5.26) :
|ψ1(2)i = |2i (5.37a) |ψ2(2)i = 1 √ 2(|1i + |2i) (5.37b) |ψ3(2)i = 1 √ 2(|0i + |2i) (5.37c) |ψ4(2)i = 1 √
3(|0i + |1i + |2i). (5.37d)
En nous fixant une fidélité entre l’état créé par le protocole imparfait (5.35) et l’état parfait (5.36), on peut maximiser la probabilité de succès en jouant sur le paramètre ∆xc. La
dépendance de cette probabilité de succès en fonction de ξ1 et τ pour l’état (5.37b) et une
fidélité cible de 99% est par exemple montrée sur la figure 5.7 (a), révélant l’existence d’un jeu de paramètres optimal autour de (ξ1, τ2)=(0.46, 0.32). Les formules (5.28) ont été utilisées ici
pour déterminer les paramètres des états ressources d’entrée en fonction de ξ1 et τ.
(a) (b)
Figure 5.7 – Optimisation de la probabilité de succès pour la génération de superpositions à deux photons. (a) Probabilité de succès de formation de l’état (5.37b) en fonction des paramètres du protocole de croissance ξ1 et τ. (b) Probabilité de succès maximale de l’opération en fonction
de la fidélité cible pour les états (5.37a) en trait plein bleu, (5.37b) en trait tireté rouge, (5.37c) en trait mixte vert et (5.37d) en trait plein noir.
En traçant les probabilités de succès maximales en fonction de la fidélité cible, on obtient ensuite les courbes de la figure 5.7 (b) pour les quatre états (5.37). Cette figure révèle les bonnes performances de notre dispositif, étant donné que pour des fidélités cibles supérieures à 90%, des probabilités de succès de plus de 10% peuvent être atteintes, dans l’hypothèse où les états 129
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 ηp h o t F | 1! 1/√3|0! +!2/3|1! 1/√2 (|0! + |1!)
(a) Superposition à 1 photon, pour des condi- tionnements à ξ1= 0(c0= 0, trait plein bleu),
ξ1 = 1/2 (c0 = 1/
√
2, trait tireté vert) et ξ1= 1/
√
2(c0= 1, trait mixte rouge).
(b) Superposition à 2 photons, pour des condi- tionnements à ξ1 = 1/
√
2(c0 = 0, trait plein
bleu), ξ1 = 0(c0 = 1/
√
2, trait tireté vert) et ξ1=
q
1+√2
2 (c0= 1, trait mixte rouge).
Figure 5.8 – Influence des imperfections des photons utilisés pour nourrir le protocole d’ad- jonction sur la fidélité de l’état de sortie avec l’état attendu.
ressources sont disponibles à la demande.
A titre de comparaison, l’étude de la génération des états (5.37) avait également été faite dans [Fiurášek 05] et le protocole proposé ne permettait d’atteindre que des probabilités de succès de l’ordre de 10−5 pour des fidélités cibles de l’ordre de 90%. On voit donc le fort inérêt potentiel
de notre proposition.