Intéressons-nous tout d’abord à la durée de l’impulsion de sonde. Nous considérerons que la sonde ne perturbe pas le temps de vol des atomes, que les atomes poursuivent le trajet prédit par le paragraphe 3.2.1 du chapitre 3 pendant les 10 µs de sonde. Par contre, pendant ces 10 µs, les atomes ont largement le temps de se déplacer, si bien que les images de la figure 3.23 ne correspondent pas à un instantané à ∆t de l’allure du nuage mais à l’intégrale de la fluorescence obtenue pendant 10 µs.
On l’a vu au paragraphe 3.2, la probabilité P (x, y, z, ∆t) pendant le temps de vol de trouver un atome du nuage à la position (x, y, z) est donnée par le produit de 3 gaussiennes :
P (x, y, z, ∆t) = 1 (2π)3/2σx(∆t)σy(∆t)σz(∆t)×exp[− x2 2σ2 x(∆t) ]×exp[− y2 2σ2 y(∆t) ]×exp[− z2 2σ2 z(∆t) ] (A.1) où σ2
i(∆t) = σ20i+ σvi2∆t2 avec i = x, y ou z. σ0i correspond à la largeur initiale dans le piège
dipolaire et σvià la largeur de la distribution en vitesse permettant éventuellement de définir un température différente selon la direction i. Si l’on suppose que MIGOU possède une profondeur de champ infinie, la fluorescence enregistrée par la photodiode au point image de (x, y) est, à un instant donné, proportionnel à l’intégrale sur z de P (x, y, z). Ce que nous mesurons réellement au délai ∆t est ensuite l’intégrale pendant la durée de l’impulsion sonde τsonde = 10 µs et à partir de ∆t du profil de fluorescence instantané. On appelle R(x, y, ∆t), la fluorescence enregistrée sur la caméra CCD au pixel (x,y) (correspondant, du fait du grandissement de l’imagerie, au point (x,y) du plan focal de MIGOU exprimé en microns) au délai ∆t. Alors :
R(x, y, ∆t) ∝ Z ∆t+τsonde ∆t 1 σx(t)σy(t) exp[− x2 2σ2 x(t) ] × exp[− y2 2σ2 y(t) ]dt Afin de coller le plus possible à la démarche expérimentale :
– on calcule numériquement pour différentes valeurs de ∆t (de 0 à 25 µs par pas de 1 µs) les fonctions à deux dimensions R(x, y, ∆t) ;
– on ajuste alors ces fonctions par des gaussiennes à deux dimensions ;
– de la même manière que pour les données expérimentales, on trace le carré des largeurs obtenues en fonction du carré du délai (figure A.2 (a)).
Comme on s’y attend, les points obtenus ne sont tout à fait alignés le long d’une droite (elle est légèrement incurvée vers l’origine).La courbe de la figure A.2 (a) a été obtenue pour Tx = Ty = 275 µK et σ0x= σ0y = 2 µm. 30 20 10 0 σx 2 ( µ m 2 ) 700 600 500 400 300 200 100 0 ∆t2 (µs2) point expérimentaux points théoriques
ajustement linéaire des points théoriques 1000 800 600 400 200 0 Tx ( µ K ) 0.12 0.08 0.04 0 pente de l'ajustement de σx 2 en fonction de ∆t2 (µm2/µs2) ajustement linéaire : -1,25 + 7840 x (a) (b)
Fig. A.2 – (a) Carré des largeurs des gaussiennes 2D ajustant les temps de vol en fonction
du carré du délai ∆t2. La courbe théorique, tracée avec les paramètres T
x = Ty = 275 µK et
σ0x = σ0y = 2 µm, est ajustée par une droite. (b) Abaque donnant la température en fonction de
la pente de l’ajustement de la courbe théorique de gauche. Les points obtenus s’ajustent très bien par une droite.
Il s’agit maintenant de trouver un critère permettant de comparer nos calculs avec les données expérimentales. Par analogie avec la cas idéal, nous avons décidé d’ajuster à la fois les données expérimentales et nos calculs tels que ceux de la figure A.2 (a) par une droite et d’utiliser la pente de la droite pour remonter à la température. Il faut alors s’assurer que cette pente varie bien avec la température, et qu’à température donnée elle reste suffisamment robuste aux variations des autres paramètres. Les paramètres d’entrée de notre programme sont Tx, Ty, σ0x et σ0y. Pour une valeur de Tx fixée (donc une valeur de σvxfixée), nous avons calculé théoriquement la courbe
σ2
x(∆t) en fonction de ∆t2 en faisant varier : – Ty de Tx/2 à 2Tx;
– σ0xet σ0y indépendamment ou non de 1,5 µm à 2,5 µm.
La pente obtenue lors de cette étude est la même à ±0, 25 %. Elle constitue donc un bon critère pour la mesure de Tx car elle est robuste aux variations de tous les autres paramètres.
Nous avons donc tracé, sur la figure A.2 (b) un abaque de la valeur de cette pente en fonction de Tx en faisant tourner notre programme avec les conditions Tx= Ty et σ0x= σ0y= 2 µm. Cet
abaque nous permet, à partir des pentes des données expérimentales calculées lors de l’analyse brute, de remonter à la valeur de la température du nuage d’atomes froids, si on tient compte de la durée de la sonde. Sur cet abaque, les points étant quasiment alignés, on les ajuste par une droite ce qui nous donne une formule analytique.
On peut maintenant utiliser l’abaque, et y reporter les pentes des obtenues à partir des don- nées expérimentales de la figure A.1. Les pentes et températures déduites sont résumées dans le tableaux A.2. Elle sont environ 100 µK plus basses que celles obtenues par l’analyse brute, ce qui montre qu’il est important de prendre en compte la durée de l’impulsion de sonde. On se
rapproche ainsi des températures mesurées à l’aide de l’APD (paragraphe 3.2.3 du chapitre 3). Soulignons que sur la figure A.2 (a), les points expérimentaux correspondant à σ2
xs’ajustent bien par la courbe théorique à la température de 275 µK.
Psonde pente de σ2
x Tx pente de σy2 Ty
1 mW (s ∼ 1) 0,032 µm2/µs2 250 µK 0,028 µm2/µs2 220 µK
14,5 mW (s ∼ 20) 0,035 µm2/µs2 275 µK 0,035 µm2/µs2 275 µK
Tab. A.2 – Pentes de σ2
x et σy2, et températures obtenues à partir de l’analyse des temps de vol
sur la CCD, en tenant compte de l’effet de la durée de l’impulsion de sonde.
On peut alors se demander ce qui nous a poussé à choisir σ0x et σ0y autour de 2 µm. Le fait de changer ces paramètres translate verticalement la courbe de la figure A.2 (a), même si la pente de l’ensemble varie peu. Le choix que nous avons fait assure que les données théoriques de la figure A.2 (a) ajustent correctement les données expérimentales de la figure 3.24. Toutefois, les images du pièges dipolaires obtenues à l’aide de la CCD donne plutôt une taille initiale de l’ordre de 1 µm (voir image 1.9 du chapitre 1). On attribue la différence entre cette valeur théorique et la valeur expérimentale à la perte de résolution due à l’écran de phosphore de l’intensificateur. En effet, comme expliqué précédemment, celui-ci transforme un photon en une gerbe de photon « arrosant » plusieurs pixels de la caméra CCD.