Prise en compte de la distorsion dans les critères de validation d’un SSM

Dans cette section, nous allons étudier l’impact de la distorsion sur le calcul des trois critères. Nous allons aussi définir deux nouvelles mesures : la généralité absolue et la spécificité absolue, afin de prendre en compte la distorsion des formes initiales lors de la validation des correspondances. 8.7.3.1 Méthodes

Soit A = {S1, ..., Si, ...SN} l’ensemble des formes d’apprentissages initiales et soit ´A = { ´S1, ..., ´Si, ... ´SN} l’ensemble des formes de la base d’apprentissage en correspondance.

Nous avons vu dans la section précédente que le calcul automatique des correspondances par les approches IMCP-GMM-MDL, IMCP-GMM et MDL introduit une distorsion des surfaces initiales dans les formes en correspondance. Afin de mesurer l’impact de cette distorsion sur le calcul des mesures de la généralité, la spécificité et la compacité, nous allons réaliser l’expérience suivante. Nous avons lancé le calcul des correspondances pour la méthode IMCP-GMM-MDL avec 6 itérations. Nous avons, après chaque itération, calculé les 3 critères.

Les résultats sont présentés dans les figures 8.24, 8.25, et 8.26. Nous avons choisi de réaliser cette expérience uniquement pour la méthode IMCP-GMM-MDL, car le but ici est d’étudier l’existence ou non d’une influence de la distorsion sur ces trois critères. Nous avons vu que dans la méthode IMCP- GMM-MDL, la distorsion était décroissante suivant le nombre d’itération. Ce choix nous permet d’analyser l’impact de la distorsion sur les trois critères de validation du SSM.

Dans la littérature [38, 40], les trois critères sont calculés sur l’ensemble ´A, c’est-à-dire sur les

formes en correspondance. Par conséquent, ces critères n’incluent pas le phénomène de distorsion introduite aux instances d’apprentissage lors du calcul des correspondances.

Nous proposons par conséquent deux nouveaux critères : la généralité absolue et la spécificité absolue afin de prendre en compte la distorsion des formes. Nous définissons ces deux critères de la manière suivante :

A) La généralité absolue : Tout comme le critère de généralité, elle permet de mesurer la capacité du modèle statistique à générer des instances n’appartenant pas à sa base d’apprentissage.

Gabs(m) = 1 N

N X

n=1

(| ˆSi(m) − ´Si|) + D(i) avec :

— ˆSi(m) l’instance synthétisée pour reproduire au mieux l’instance ´Si à partir d’un modèle sta- tistique ne contenant pas ´Si dans sa base d’apprentissage et utilisant m modes de variation. — D(i) représente l’erreur RMS de la distorsion calculée entre la surface originale Si et la surface

en correspondance ´Si

B) La spécificité absolue : Comme pour la spécificité, elle permet de mesurer la capacité du modèle statistique à générer des instances appartenant à la même famille (fémur, tibia...etc) que les objets d’apprentissage. Sabs(m) = 1 N N X n=1

(|Srandomeˆ i(m) − ´Si|) + D(i) avec :

— _Srandomeˆ _{i(m) est une instance générée aléatoirement à partir du modèle statistique de forme} en utilisant les m premiers modes de variation. ´Si est l’instance de la base d’apprentissage la plus proche de_Srandomeˆ _{i(m) en terme d’erreur RMS (distance point-à-surface).}

— D(i) représente l’erreur RMS de la distorsion calculée entre la surface originale Si et la surface en correspondance ´Si

Nous avons calculé les deux nouvelles mesures proposées pour les trois approches IMCP-GMM- MDL, IMCP-GMM et MDL. Les résultats sont présentés dans les figures 8.27 et 8.28.

8.7.3.2 Résultats

La figure 8.24 montre le critère de compacité de la méthode IMCP-GMM-MDL suivant l’itération. On remarque que la compacité diminue rapidement au début des itérations puis se stabilise entre l’itération 5 et 6.

La figure 8.25 montre le critère de généralité de la méthode IMCP-GMM-MDL suivant l’itération. L’erreur de la généralité augmente avec le nombre d’itérations.

La figure 8.26 montre le critère de spécificité de la méthode IMCP-GMM-MDL suivant l’itération. L’erreur de la spécificité augmente avec le nombre d’itérations.

Les résultats de la généralité absolue pour les méthodes IMCP-GMM-MDL, IMCP-GMM et MDL sont présentés dans la figure 8.27. La méthode IMCP-GMM-MDL obtient la meilleure erreur de généralité absolue avec un RMS inférieur à 1.06 mm et qui diminue jusqu’à 0.82 mm avec plus de modes de variation. La méthode IMCP-GMM est légèrement meilleure que la méthode MDL concernant le critère de généralité absolue. Les résultats de ces deux méthodes convergent en augmentant le nombre de modes de variations utilisés dans le SSM.

Les résultats concernant le critère de spécificité absolue pour les méthodes IMCP-GMM-MDL, IMCP-GMM et MDL sont présentés dans la figure 8.28. L’erreur de la spécificité absolue est assez

similaire pour les trois méthodes. Bien que IMCP-GMM-MDL soit légèrement meilleure que les deux autres, l’erreur de la spécificité absolue converge vers 1.52 mm pour la méthode IMCP-GMM-MDL et MDL alors que l’erreur est de 1.59 mm pour la méthode IMCP-GMM.

Figure 8.24 – Mesure de la compacité de la méthode IMCP-GMM-MDL sur les 28 fémurs de test par itération

Figure8.25 – Mesure de la généralité de la méthode IMCP-GMM-MDL sur les 28 fémurs de test par itération

8.7.3.3 Discussion

Nous avons vu dans la section 8.7.1 qu’il existe une relation directe entre le nombre d’itération et la distorsion des formes d’apprentissage lors du calcul des correspondances. Plus le nombre d’itération est important, plus la distorsion diminue. La figure 8.29 montre cette relation.

Figure8.26 – Mesure de la spécificité de la méthode IMCP-GMM-MDL sur les 28 fémurs de test par itération

Figure 8.27 – Mesure de la généralité absolue sur les 28 fémurs de test respectivement pour les méthodes : IMCP-GMM-MDL, IMCP-GMM et MDL.

Figure 8.28 – Mesure de la spécificité absolue sur les 28 fémurs de test respectivement pour les méthodes : IMCP-GMM-MDL, IMCP-GMM et MDL.

Figure 8.29 – Évolution de la distorsion moyenne (D(i)_moyenne) par itération pour la méthode IMCP-GMM-MDL.

Les résultats de la généralité, de la spécificité et de la compacité de la méthode IMCP-GMM- MDL en fonction du nombre d’itération, nous montrent qu’il y a une relation linéaire entre le nombre d’itération et les trois critères. Étant donné que la distorsion est directement liée au nombre d’itération, nous avons donc montré qu’il existe une relation directe entre ces trois critères et cette distorsion. La compacité diminue donc en diminuant la distorsion. Les erreurs de généralité et de spécificité augmentent en diminuant la distorsion.

Le critère de généralité donne une erreur minimale en présence d’une grande distorsion, car en l’absence de détails, même les instances n’appartenant pas au SSM sont relativement simples à syn- thétiser. De même le critère de spécificité a une erreur minimale si la distorsion est maximale, puisque le modèle statistique contient peu de modes de variation en présence de distorsion. Les instances gé- nérées aléatoirement à partir de ce modèle sont alors nécessairement des formes simples et similaires à ceux de la base d’apprentissage.

En augmentant le nombre d’itérations, la distorsion des formes d’apprentissage diminue, les formes en correspondance contiennent de plus en plus de détails (figure 8.30). Leurs modélisations par le modèle statistique nécessitent donc plus de modes de variations : 20 modes pour 95% des variations à l’itération 2 et 22 modes à partir de l’itération 4, ce qui implique une diminution de la compacité.

Le critère de généralité donne une erreur de plus en plus importante si la distorsion est diminuée, car en présence de détails, les instances n’appartenant pas au SSM sont plus difficiles à synthétisées. L’erreur de la spécificité augmente aussi en diminuant la distorsion, car en présence d’un grand nombre de modes de variation (22 modes à l’itération 4), les instances générées aléatoirement par le SSM sont de plus en plus variables anatomiquement par rapport aux formes de la base d’apprentissage.

Nous avons montré que les trois critères : généralité, spécificité, et compacité sont très liés à la distorsion des formes d’apprentissage. Il n’est donc pas possible de comparer deux approches de calcul des correspondances (A) et (B) qui possèdent un niveau de distorsion différent (D1) et (D2) sans prendre en compte ces distorsions.

Nous avons donc proposé deux critères : la généralité absolue et la spécificité absolue, afin de prendre en compte la distorsion des formes initiales. Le critère de généralité absolue nous montre que la méthode proposée produit un SSM capable de modéliser et de synthétiser des formes présentes dans la base d’apprentissage avec une grande précision. L’erreur maximale est inférieure à 1.06 mm

Figure8.30 – Évolution des formes en correspondance en fonction de l’itération, en rouge les formes en correspondance sur plusieurs itérations, en gris les formes initiales.

si on utilise seulement le premier mode de variation, cette erreur diminue à 0.78 mm si nous prenons suffisamment de modes permettant d’exploiter 95% des variations.

Enfin d’autres aspects doivent également être pris en considération :

— La méthode IMCP-GMM-MDL est plus optimisée que la méthode IMCP-GMM en proposant un critère d’arrêt robuste au processus itératif de calcul de correspondances.

— La méthode IMCP-GMM-MDL est plus simple que la méthode IMCP-GMM en supprimant l’étape de raffinement de la forme virtuelle grâce à la fusion des nuages médians et de la reconstruction par poisson.

— La méthode IMCP-GMM-MDL proposée est beaucoup plus rapide que la méthode MDL, malgré l’optimisation apportée au MDL par Tobias [77]. Le temps pour la convergence des correspondances du MDL est de l’ordre de plusieurs jours (plus de 3 jours pour 28 fémurs sur un ordinateur équipe d’un processeur i5 et 4 GO de RAM), alors que la convergence des correspondances pour notre méthode IMCP-GMM-MDL est de l’ordre de quelques heures (moins de 5 heures pour 28 fémurs sur le même ordinateur).

— La méthode IMCP-GMM-MDL proposée est plus rapide que la méthodes IMCP-GMM en supprimant l’étape de raffinement de la forme virtuelle.