directement au-dessus de l’ellipsoïde de WGS84, prenant ainsi en compte la forme ellip- soïdale de la Terre et donc de l’atmosphère l’entourant. Quelques autres programmes de
ray-tracing représentent la courbure terrestre de manière différente [Nafisi et al. 2012b]
pour faciliter les calculs. De telles représentations modifient la forme de l’atmosphère et donc les délais troposphériques obliques puisque les rayons ne vont pas traverser la même quantité d’atmosphère selon les hypothèses utilisées. Dans la suite, nous exami- nons l’influence de plusieurs représentations de la courbure terrestre sur les délais tropo- sphériques. Pour quantifier l’influence de la surface terrestre indépendamment de celle du géoïde et de l’asymétrie de l’atmosphère, nous calculons les délais troposphériques dans une atmosphère simpliste sans humidité au-dessus d’une Terre idéalisée, nommée dans la suite SAM : la surface terrestre est assimilée à l’ellipsoïde de WGS84 sans topographie ni
4.2. Sur la prise en compte de la courbure de la Terre 95 géoïde avec une atmosphère statique sans humidité égale à l’atmosphère standard USSA76
[COESA 1976]. Ces hypothèses d’absence de topographie et de géoïde impliquent que la pression est constante sur la surface terrestre, que les surfaces iso-géopotentielles sont les surfaces de hauteurs ellipsoïdales constantes, que les hauteurs ellipsoïdales h sont égales aux hauteurs orthométriques H et que les dérivées horizontales de l’indice de réfraction sont nulles.
Les représentations communes suivantes sont étudiées et comparées :
- La sphère approximant au mieux la courbure moyenne de l’ellipsoïde au niveau du site dépendant uniquement de sa latitude géodésique ϕsite. L’atmosphère est positionnée au- dessus de la sphère osculatrice à l’ellipsoïde de WGS84 au niveau du site. Le rayon de cette sphère est le rayon de courbure de Gauss Rg :
Rg(ϕsite) =
q
RM(ϕsite) · RN(ϕsite) (4.1)
où RM et RN sont les rayons de courbure de l’ellipsoïde de WGS84 dans les directions principales à la latitude géodésique ϕsitei.e. respectivement dans les directions du méridien et du parallèle :
RM(ϕsite) =
a2b2
(a2cos2ϕ
site+ b2sin2ϕsite)
3 2 (4.2) RN(ϕsite) = a2 q
a2cos2ϕsite+ b2sin2ϕsite
(4.3) avec a = 6378137, 0000 m le demi-grand axe de l’ellipsoïde de WGS84 et b = 6356752, 3142 m son demi-petit axe.
- La sphère de même courbure que l’ellipsoïde de WGS84 dans la direction de propagation du rayon au niveau du site. Elle est dépendante de la latitude géodésique du site ϕsite et de l’azimut initial du rayon αsite. L’atmosphère est repositionnée au-dessus d’une sphère ayant pour rayon de courbure celui du cercle osculateur de l’ellipse résultant de l’inter- section entre l’ellipsoïde de WGS84 et le plan de propagation initial du rayon. Le rayon
Re du cercle osculateur peut être calculé en utilisant la formule d’Euler :
Re(ϕsite, αsite) = 1 cos2(α site) RM(ϕsite) + sin2(α site) RN(ϕsite) (4.4) - L’ellipsoïde de WGS84. L’atmosphère est directement positionnée au-dessus de celui-ci. C’est la représentation utilisée nominalement dans le programme Horizon.
Les effets de ces représentations sur les délais troposphériques zénithaux sont nuls puisque la verticale coïncide avec la normale à l’ellipsoïde dans les trois représentations considérées, ce qui ne se vérifie pas toujours. En effet, dans le cas de l’utilisation d’une sphère de même rayon moyen à toutes les latitudes, la verticale peut être assimilée à la
Figure 4.7 – Délais troposphériques à 5◦ d’élévation à une latitude géodésique de 45◦ en
fonction de l’azimut.
normale à la sphère. Nievinski [2009] a montré qu’une telle représentation terrestre pro- voque des biais métriques sur les délais troposphériques à 5◦ tandis que Urquhart et al.
[2013] ont montré que même en prenant la normale à l’ellipsoïde comme verticale, le fait d’utiliser une sphère de même rayon moyen à toutes les latitudes induit des biais centi- métriques sur les délais troposphériques à 5◦. Au vu de ces résultats et de notre objectif
d’atteindre la précision millimétrique, nous avons exclu de notre étude, les représentations sphériques indépendantes de la latitude. Puisque la représentation de l’ellipsoïde est la plus réaliste des trois représentations de la courbure terrestre présentées ci-dessus, elle est choisie comme référence dans la suite.
La figure 4.7 montre que, à 45◦ de latitude, la différence en terme de délais tropo-
sphériques obliques à 5◦ entre la sphère approximant au mieux la courbure moyenne de l’ellipsoïde et les deux autres représentations atteint un minimum égal à -4,2 mm dans
la direction Nord-Sud et un maximum du même ordre de grandeur dans la direction Est- Ouest. La différence est nulle dans les directions intermédiaires. Ainsi, les délais obliques calculés avec la sphère approximant au mieux la courbure moyenne de l’ellipsoïde n’ont pas de dépendance azimutale et correspondent à un délai troposphérique moyen à chaque latitude. Les délais obliques calculés vers le Nord et vers le Sud sont égaux pour la sphère
de même courbure que l’ellipsoïde dans la direction de propagation contrairement à ceux
calculés avec l’ellipsoïde. Ceci est dû au fait que la forme de l’atmosphère au-dessus de l’ellipsoïde n’est pas symétrique. La différence est maximale au Nord et au Sud avec une valeur de 0,2 mm à 45◦ de latitude.
4.2. Sur la prise en compte de la courbure de la Terre 97
Figure 4.8 – Maximum de la différence des délais obliques entre les représentations de la courbure de la Terre en fonction de l’azimut pour chaque latitude géodésique.
La figure4.8représente le maximum à chaque latitude de la différence entre l’ellipsoïde et la sphère approximant au mieux la courbure moyenne de l’ellipsoïde et entre l’ellipsoïde et la sphère de même courbure que l’ellipsoïde dans la direction de propagation des délais obliques en fonction de l’azimut. Ces maxima sont toujours dans les mêmes directions i.e. dans les directions Nord-Sud et Est-Ouest. La figure4.8nous montre que la différence entre l’ellipsoïde et la sphère de même courbure que l’ellipsoïde dans la direction de propagation est toujours submillimétrique et maximum à 45◦ de latitude où l’ellipsoïde de WGS84 est
le plus asymétrique. Concernant le maximum de la différence entre l’ellipsoïde et la sphère
approximant au mieux la courbure moyenne de l’ellipsoïde à chaque latitude, il est nul aux
pôles et maximal à l’équateur. Ceci peut être expliqué par le fait qu’aux pôles les rayons de courbure des directions principales i.e. RN et RM sont égaux tandis que l’équateur est l’endroit où l’ellipsoïde est le plus asymétrique i.e. où les rayons de courbure dans les directions principales sont les plus différents.
Les figures 4.7 et 4.8 permettent de déduire que les délais obliques calculés avec la
sphère approximant au mieux la courbure moyenne de l’ellipsoïde correspondent à un
délai troposphérique moyen à chaque latitude. La différence en terme de délais obliques à 5◦ entre cette représentation et notre référence est maximale avec une valeur de 8 mm
au niveau de l’équateur et a une valeur moyenne de 4 mm.
Une partie de l’asymétrie de l’atmosphère correctement replacée au-dessus de l’ellip- soïde n’est pas modélisée par l’atmosphère repositionnée au-dessus de la sphère de même
erreur sur les délais obliques à 5◦ toujours submillimétrique, ce qui est actuellement né-
gligeable. Il est utile de rappeler que dans cette section, nous avons travaillé dans une atmosphère idéalisée sous une approximation d’atmosphère symétrique en négligeant les dérivées horizontales de l’indice de réfraction. Ceci nous a permis de séparer les effets dus à la courbure de la Terre de ceux de l’asymétrie de l’atmosphère. Cependant, la sphère
de même courbure que l’ellipsoïde dans la direction de propagation représente la courbure
de l’ellipsoïde dans un plan de propagation spécifique à chaque direction de rayon et sup- pose ainsi que le rayon reste à l’intérieur du plan de propagation initial durant toute la traversée de l’atmosphère. Ainsi, la condition nécessaire pour pouvoir utiliser la sphère de
même courbure que l’ellipsoïde dans la direction de propagation est de négliger les dérivées
horizontales de l’indice de réfraction (schéma 2D).
Pour conclure, utiliser la sphère approximant au mieux la courbure moyenne de l’el-
lipsoïde à chaque latitude est une représentation de la courbure terrestre suffisante pour
obtenir une précision centimétrique sur les délais troposphériques. Cependant, pour at- teindre la précision millimétrique, il est nécessaire de travailler directement au-dessus de l’ellipsoïde ou d’avoir une représentation de la courbure terrestre qui dépend de la direc- tion du rayon comme la sphère de même courbure que l’ellipsoïde dans la direction de propagation du rayon.