1.3 Modélisation du retard de propagation troposphérique
2.2.1 Description du modèle de l’ECMWF : l’IFS
2.2.2 Sur la définition de l’altitude dans l’IFS . . . 42
2.2.3 Discrétisations spatiales et temporelles . . . 43
2.2.4 La surface du modèle ou orographie . . . 46
2.2.5 Les analyses de l’ECMWF . . . 47
2.2.6 Description des sorties météorologiques de l’IFS. . . 49
2.3 Un tour d’Horizon . . . 50 2.4 Lecture des données météorologiques et sélection du volume
de travail . . . 53
2.4.1 Lecture des champs du GRIB2 . . . 53
2.4.2 Détermination du volume de travail et extraction des points . . 53
2.4.3 Quantités disponibles à la fin de cette étape . . . 58
2.5 Détermination de la position géodésique des données météo- rologiques . . . 59
2.5.1 Sur la cohérence entre l’IFS et WGS84 . . . 59
2.5.2 Détermination de la hauteur ellipsoïdale des niveaux . . . 60
2.6 Le ray-tracing . . . 63
2.6.1 Intégration de l’équation Eikonale . . . 63
2.6.2 La méthode de Runge-Kutta d’ordre 4 . . . 64
2.6.4 Optimisations . . . 69
2.7 Détermination des AMF à partir des rayons . . . 70
2.7.1 Prise en compte de la topographie autour du site . . . 70
2.7.2 L’algorithme de Levenberg-Marquardt . . . 73
2.7.3 Adaptation de la forme des AMF . . . 73
Ce chapitre détaille la méthodologie et la théorie utilisées pour calculer les délais tro- posphériques en utilisant la méthode de ray-tracing et pour représenter ces délais sous forme de fonctionnelles : les Adapive Mapping Functions (AMF). Ce chapitre commence par une présentation générale du modèle et des objectifs visés lors de son développe- ment. Ensuite, les étapes nécessaires à la détermination des AMF à partir des données de l’ECMWF sont détaillées.
Dans ce chapitre, nous nous affranchissons de l’interpolation temporelle qui sera traitée à la section6.3et calculons les délais pour un site donné dont les coordonnées sont connues a priori avec une précision suffisante. Nous nous plaçons ainsi dans la même approche que celle utilisée par la VMF1 : à chaque site géodésique considéré et à chaque instant où les données ECMWF sont disponibles, calculer les délais troposphériques par la méthode de ray-tracing puis estimer les coefficients d’une fonctionnelle à partir des délais obtenus. Cependant, contrairement aux VMF1, ici, aucune hypothèse sur la forme de l’atmosphère ni sur le trajet du rayon, n’est faite lors du ray-tracing. Le fil directeur de ce chapitre peut être reformulé par les questions : Comment utiliser l’information contenue dans les données météorologiques pour modéliser au mieux le délai troposphérique et ses variations dans toutes les directions ? Comment représenter au mieux les délais calculés en fonction de l’azimut et de l’élévation ?
2.1 Présentation du modèle
2.1.1 Objectifs
Les AMF ont été développées afin de garder les avantages de l’approche standard (cf. section 1.3.3) tout en bénéficiant de la précision du ray-tracing. Les objectifs de cette approche peuvent être résumés par les points suivants :
1. Les délais troposphériques calculés avec la méthode de ray-tracing doivent être le plus précis possible, si possible avec une précision millimétrique.
2. Les délais optiques mais également géométriques doivent être modélisés et repré- sentés dans la formulation finale.
2.1. Présentation du modèle 35 4. Le calcul doit pouvoir être effectué sans connaître a priori la position de l’objet spatial mis en jeu (satellite ou quasar) afin de pouvoir s’adapter à tous les systèmes spatiaux.
5. La formulation finale doit permettre d’exprimer le délai troposphérique issu du ray-
tracing en fonction de l’élévation et de l’azimut avec une précision millimétrique à
l’aide de quelques dizaines de coefficients.
Les points 3 et 4 peuvent être résolu en utilisant une stratégie similaire à la stratégie standard : calculer les délais troposphériques par la méthode de ray-tracing puis estimer les coefficients d’une fonctionnelle à partir des délais obtenus. La manière dont les points 2 et 5 sont atteints dans ces conditions, sera détaillée dans les sections 2.1.2 et 2.1.3. Le point 1 sera vérifié au chapitre 4.
2.1.2 Sur la représentation de la courbure des rayons
Si le délai géométrique n’est pas négligé, le point où le rayon sort de l’atmosphère n’est pas aligné avec l’objet spatial, par exemple un satellite dont la position n’est pas connue au moment du ray-tracing. La solution mis en place pour prendre en compte le délai géométrique sans connaître la position de l’objet spatial consiste à calculer la longueur du rayon par intégration de l’équation Eikonale jusqu’à une sphère ayant pour centre le centre de gravité de la Terre, appelée sphère d’intégration. Son rayon de Rtop = 6450 km a été fixé empiriquement afin que tous ses points soient situés au-dessus de la troposphère. Ensuite, un délai troposphérique temporaire est calculé en soustrayant la longueur LD du segment de droite entre le site et le point Ptop correspondant à l’intersection entre la trajectoire du rayon et le sommet de la sphère d’intégration.
Le calcul du délai troposphérique final est fait lors du traitement des mesures géodé- siques, quand les positions des objets émetteurs et récepteurs sont connus, en résolvant le problème de la parallaxe. Le problème de la parallaxe consiste à assurer, au point Ptop, la continuité de la trajectoire du rayon à l’interface entre la troposphère et l’ionosphère. La trajectoire dans la ionosphère est considérée ici comme une droite. La direction du rayon au sommet de la sphère d’intégration peut être donnée pour chaque rayon sous la forme de l’angle ¯εtop dit d’élévation sortant du rayon correspondant à l’angle entre le vecteur de rayon et le plan orthogonal à la normale à la surface de la sphère d’intégration.
Dans le cas où l’objet spatial est un satellite (GNSS et DORIS) illustré par la figure2.1, une fois que la continuité du trajet est assuré, le retard troposphérique final est retrouvé en faisant la somme du retard troposphérique temporaire, de LD et de la distance entre le satellite et le point de sortie de la sphère d’intégration à laquelle est soustrait la distance entre le site et le satellite. Pour le VLBI, une stratégie similaire peut être appliquée en utilisant la direction des signaux radio-électriques. Ainsi, en plus de la direction de sortie de la sphère d’intégration, il est nécessaire de connaître, lors du traitement des mesures
Figure2.1 –Schéma sur la continuité de la trajectoire du rayon entre troposphère et ionosphère dans le cas GNSS/DORIS.
géodésiques, la position du point Ptop. Comme le rayon de la sphère d’intégration est connu, si on considère que la propagation du rayon est plane dans la troposphère, la posi- tion de ce point peut être retrouvé simplement en connaissant δtop, son angle d’élévation. Ainsi, pour résoudre le problème de la parallaxe, plusieurs paramètres finaux du ray-
tracing doivent être conservés et représentés pour ensuite pouvoir être utilisés lors du
traitement des mesures. En complément du délai troposphérique et de ses composantes (Éq. 1.53), il est nécessaire de conserver les angles d’élévation δtop et ¯εtop pour chaque di- rection de propagation. Les valeurs de chacune de ces quantités dans toutes les directions seront représentées et stockées par une AMF séparée. Ainsi, à chaque époque météorolo- gique et à chaque site, un ensemble d’AMF, nommé AMFs dans la suite, est fourni. Les différentes AMF constituant l’AMFs sont :
— AMF-D représentant la quantité ∆δtop = ¯εsite− δtop où ¯εsite est l’élévation de la mesure par rapport à la sphère c’est-à-dire l’angle entre le vecteur de rayon au niveau du site et le plan orthogonal au vecteur directeur de la droite reliant le centre de la Terre et le site ;
— AMF-E représentant la quantité ∆¯εtop= ¯εsite− ¯εtop; — AMF-H représentant le délai hydrostatique ∆HL;
— AMF-N représentant la somme du délai non-hydrostatique ∆NL et du délai dû aux hydrométéores ∆ML;
— AMF-R représentant le délai troposphérique total ∆L composé de la somme du délai optique et du délai géométrique ;
— AMF-T représentant le délai optique ∆oL(le délai géométrique n’est pas inclus). Dans la suite, les AMF-D et AMF-E sont dénommées AMF d’élévations tandis que les AMF-H, AMF-N, AMF-R et AMF-T sont nommées AMF de délais. Les AMF d’élévations et de délais seront représentées de manière générique respectivement par les sigles AMF-Y
2.1. Présentation du modèle 37 Quantité représentée Nom de l’AMF Type d’AMF
∆δtop= ¯εsite− δtop AMF-D AMF d’élévations (AMF-Y) ∆¯εtop= ¯εsite− ¯εtop AMF-E
∆HL AMF-H
AMF de délais (AMF-X)
∆NL + ∆ML AMF-N
∆L AMF-R
∆oL AMF-T
Table 2.1 – Nomenclature des AMF.
et AMF-X. Les différentes AMF constituant l’AMFs et leurs types respectifs sont résumés dans la table 2.1.
L’utilisation des différentes AMF contenues dans l’AMFs et de leur combinaison li- néaire permet de déduire le délai troposphérique final et chacune de ses composantes lors du traitement des mesures géodésiques. Cette approche a l’avantage d’effectuer le ray-
tracing en pré-traitement, une fois pour toutes, sans la connaissance de la position de
l’objet spatial tout en prenant en compte la courbure des rayons.
2.1.3 Les Adaptive Mapping Functions (AMF)
Les Adaptive Mapping Functions (AMF) ont été développées par Gegout et al. [2011]
dans le but de représenter les délais et les élévations en fonction des angles d’élévation et d’azimut de la mesure au niveau du site pour un site et une époque météorologique donnés. L’idée est de construire une fonctionnelle générique en reprenant la forme de la fonction de Herring [1992] (Éq. 1.58) sans se restreindre à trois fractions successives et d’introduire une dépendance azimutale des coefficients aiε afin de représenter l’anisotropie
des délais troposphériques. Cette dépendance azimutale des aiε est introduite par une série
de Fourier fonction de l’azimut α dont la troncature nα peut varier :
aiε = aiε,0+ nα X iα=1 h aciε,iαcos(iαα) + asiε,iαsin(iαα) i (2.1) où iε est l’indice représentant le niveau considéré de la fraction successive, aiε,0 est le
coefficient symétrique en azimut, iα est l’indice de sommation de la série de Fourier, aciε,iα
et as
iε,iα sont respectivement les coefficients des termes en cosinus et sinus de la série de
Fourier. Soient Nf le numérateur de la fraction successive :
Nf = 1 +
a1
1 + a2 1+1+···a3
, (2.2)
Df le dénominateur de la fraction successive :
Df = sin ε + a1 sin ε + a2 sin ε+ a3 sin ε+··· (2.3) et nε le nombre de fractions successives. Les deux termes de la fraction successive Nf/Df se calculent de manière récursive en suivant l’algorithme 2.1.
Algorithme 2.1 Définition récursive de la fraction successive des AMF.
Nnε ← 1 + anε
Dnε ← sin ε + anε
pour iε allant de nε− 1 à 1 faire
Niε ← 1 + aiε Niε+1 Diε ← sin ε + aiε Diε+1 fin pour Nf ← N1 Df ← D1
Comme la mapping function de l’approche standard (cf. section 1.3.2), la fraction successive de l’AMF est unitaire au zénith. Ainsi, pour construire les AMF de délais, on introduit un terme multipliant cette fraction successive ayant l’unité d’une longueur afin de se ramener à la grandeur du délai troposphérique : le facteur d’échelle Sf égal à la valeur du délai troposphérique dans la direction zénithale. De plus, des coefficients nommés gradients dans la suite, sont introduits de manière à représenter le terme le plus important de l’anisotropie des délais dans l’optique de représenter avec la série de Fourier les variations de plus petites amplitudes. Ces gradients peuvent être de deux formes distinctes avec deux ou quatre coefficients. Comme dans cette étude nous utiliserons uniquement la forme avec deux coefficients, nous ne présenterons pas la seconde forme qui conduit à des résultats similaires à la première forme. Le détail de cette seconde forme, basée sur l’ajout de 4 termes supplémentaires dans le terme a1 de la fraction successive, peut être trouvé dans
l’article de Gegout et al. [2011]. La forme avec deux coefficients ressemble fortement à la formulation des gradients de l’approche standard puisqu’elle introduit deux coefficients
Dc et Ds de la manière suivante : AMF-X = Sf
Nf
Df
[1 + (Dccos α + Dssin α) cot ε] (2.4) Les AMF d’élévations, quant à elles, n’ont pas tout à fait la même forme. En effet,Marini [1972]a montré que la dépendance en fonction de l’élévation de la différence entre élévation de la mesure et élévation du satellite peut être décrite par une fraction généralisée en sin ε que multiplie cos ε. La quantité ∆δtop représente cette différence (pour le point Ptop et non pour le satellite) et la quantité ∆¯εtop a le même comportement[Gegout et al. 2011]. Ainsi, un terme multiplicatif dépendant de l’élévation (cos ε) est inséré dans les AMF-Y en supplément des autres termes présents dans les AMF-X :
AMF-Y = Sfcos ε
Nf
Df
2.1. Présentation du modèle 39
Figure 2.2 – Nomenclature de la forme des AMF (ex : F3A4C5G2).
Ainsi, grâce à la formulation générique définie jusqu’ici, la forme des AMF peut évoluer en fonction de :
— la troncature du développement en série de Fourier : nα; — le nombre de fractions successives : nǫ;
— le nombre ng de coefficients dont dépend la formulation du gradient : 2 ou 4. Le nombre np de coefficients d’une AMF est
np = 1 + ng + nε· (1 + 2nα) (2.6)
En vue de différencier les formes de ces fonctions,Gegout et al. [2011]ont mis en place une nomenclature (fig. 2.2) : F suivie de la valeur de nε, A suivie de la valeur de nα, C suivie de εc l’élévation la plus basse des rayons (pris par défaut à 5◦), G suivie de ng. Par exemple, la formulation dite classique des fonctions AMF-X et AMF-Y est la F3A4C5G2 :
AMF-XF 3A4C5G2= Sf 1 + a1 1+ a2 1+a3 sin ε + a1 sin ε+ a2 sin ε+a3
[1 + (Dccosα+ Dssinα) cot ε] (2.7)
AMF-YF 3A4C5G2= Sfcos ε
1 + a1 1+ a2 1+a3 sin ε + a1 sin ε+ a2 sin ε+a3
[1 + (Dccosα+ Dssinα) cot ε] (2.8) où
a1 = a1,0+ ac1,1cosα+ a1,1s sinα+ ac1,2cos(2α) + as1,2sin(2α)
+ac
1,3cos(3α) + as1,3sin(3α) + ac1,4cos(4α) + as1,4sin(4α) a2 = a2,0+ ac2,1cosα+ as2,1sinα+ ac2,2cos(2α) + as2,2sin(2α)
+ac
2,3cos(3α) + as2,3sin(3α) + ac2,4cos(4α) + as2,4sin(4α) a3 = a3,0+ ac3,1cosα+ as3,1sinα+ ac3,2cos(2α) + as3,2sin(2α)
+ac
Cette formulation dépendant de 30 coefficients permet dans des conditions météorolo- giques "normales" i.e. 90 % des cas, de représenter les délais troposphériques issus du
ray-tracing avec une précision millimétrique [Gegout et al. 2011]. Cependant, dans cer-
taines situations météorologiques, le critère de la précision millimétrique peut ne pas être respecté. L’avantage d’avoir une fonction générique est que dans de telles situations, il est possible d’augmenter ponctuellement (pour une époque météorologique et/ou un site) le nombre de fractions successives et/ou la troncature de la série de Fourier afin que ce critère soit respecté. Nous y reviendrons à la section2.7. A ce stade, il est utile de préciser que la formulation des AMF se rapprochant le plus de celle de la méthodologie standard est l’AMF F3A0C5G2.
AMF-XF 3A0C5G2= Sf
1 + a1,0 1+ a2,0
1+a3,0
sin ε + a1,0 sin ε+sin ε+a3,0a2,0
[1 + (Dccosα+ Dssinα) cot ε] (2.9)
2.2 Présentation du modèle de prévision numérique
de l’ECMWF et de ses sorties
L’ECMWF, situé à Reading en Angleterre, est une organisation intergouvernementale indépendante crée en 1975 et comptant actuellement 20 états membres et 14 membres associés (cf.http://www.ecmwf.int/en/about/who-we-are/member-states). Ce centre permet de mutualiser les ressources météorologiques européennes dédiées à la météorologie et de produire des données climatiques précises et des prévisions à moyen terme. Ceci a conduit cette organisation à développer et maintenir le modèle de prévision globale
Integrated Forecast System (IFS) qui produit depuis 1979 des prévisions météorologiques
à moyen terme en opérationnel.
2.2.1 Description du modèle de l’ECMWF : l’IFS
Dans un modèle météorologique, l’état de l’atmosphère est représenté par un ensemble de variables dites pronostiques, discrétisées en trois dimensions sur une grille. Dans l’IFS, ce sont : la température T , l’humidité spécifique qv, la composante du vent dans la di- rection est-ouest et la composante du vent dans la direction nord-sud. Afin de réaliser une prévision ou une analyse 4D-Var, il est nécessaire de décrire correctement les lois d’évolution de ces variables.
Pour prédire l’évolution de l’atmosphère, l’IFS résout numériquement les équations pri- mitives atmosphériques obtenues à partir des équations de Navier-Stokes avec un certain nombre d’approximations se basant sur les différences d’échelles mises en jeu. La princi- pale des approximations faites dans l’IFS est l’approximation classique de la météorologie décrite par Coiffier [2009]. Cette approximation implique, entre autres, que :
2.2. Présentation du modèle de prévision numérique de l’ECMWF et de ses sorties 41 — l’ellipticité de la Terre est négligée : la Terre est assimilée à une sphère dont le rayon est le rayon moyen de la Terre Rt= 6371229 m et dont le centre est le centre de gravité de la Terre ;
— l’accélération du champ de pesanteur −→g est considérée constante dans toute l’at-
mosphère : la gravité g définie comme la norme de −→g, prend pour valeur, dans
l’IFS, celle qui a été adoptée par l’Organisation Météorologique Mondiale (OMM). Cette constante nommée gravité standard a pour valeur g0 = 9.80665 m·s−2[WMO
2008], la valeur moyenne de la gravité au niveau moyen des mers.
De plus, l’IFS étant un modèle global, les vitesses verticales sont d’un ordre de grandeur inférieur à celui des vitesses horizontales. L’accélération verticale de l’air, l’action de la force de Coriolis sur la verticale et la force de frottement y sont donc négligées. L’équation décrivant la vitesse verticale est alors remplacée par une relation diagnostique : l’équilibre hydrostatique (cf. annexeA.6). La description complète du système d’équations du modèle IFS, dit dynamique, est disponible dans sa documentation en ligne [ECMWF 2013].
Cependant, cet ensemble d’équations ne permet pas de modéliser tous les proces- sus ayant un impact non-négligeable sur l’évolution de l’atmosphère. Par exemple, les échanges entre l’atmosphère et les autres systèmes dynamiques (sol, océan, biosphère, cryosphère), les changements d’état de l’eau ou les échanges de chaleur par rayonnement électromagnétique ne sont pas représentés par le système d’équations dynamique. Pour prendre en compte les effets de ces phénomènes physiques sur l’évolution de l’atmosphère, des modèles nommés paramétrisations physiques sont couplés aux équations d’évolution de l’atmosphère. Chaque paramétrisation décrit un processus à l’intérieur d’une maille. Les paramétrisations physiques introduites dans l’IFS sont décrites dans la partie IV de la documentation de l’IFS [ECMWF 2013].
Les coordonnées horizontales de l’IFS sont la latitude géographique et la longitude géographique tandis que la coordonnée verticale est la coordonnée verticale hybride η. Dans la suite, ces coordonnées sont appelées coordonnées météorologiques. La coordonnée verticale hybride présentée par Simmons et Burridge [1981] épouse la forme du relief terrestre dans la basse atmosphère et coïncide avec des isobares dans la stratosphère. Ainsi, la coordonnée η dépend de la pression P et de la pression Psà la surface du modèle (cf. section 2.2.4). La pression en fonction de η est donnée par :
P(η) = A(η) + B(η) · Ps (2.10)
où A et B sont deux fonctions continues qui définissent la coordonnée verticale hybride. De plus, afin que la coordonnée verticale hybride soit normalisée i.e. comprise entre 0 et 1 (η ∈ [0; 1]), les conditions aux limites suivantes sont adoptées :
η(0, Ps) = 0 au sommet de l’atmosphère où P = 0 (2.11)
En utilisant l’équation (2.10), les conditions (2.11) et (2.12) deviennent :
A(1) = 0, B(1) = 1 et A(0) = B(0) = 0 (2.13)
assurant P (0) = 0 et P (1) = Ps.
2.2.2 Sur la définition de l’altitude dans l’IFS
Le vecteur gravité −→g variant spatialement et temporellement, appelé également accélé-
ration du champ de pesanteur, est la combinaison des effets de l’attraction gravitationnelle de la Terre et de la force centrifuge due à sa rotation. La direction de ce vecteur, perpen- diculaire à la surface terrestre, donne la direction de la verticale. La force de gravité −→Fg dérive d’un potentiel [Hofmann-Wellenhof et Moritz 2006]. Le potentiel associé à la force de gravité s’appelle géopotentiel Φ et s’exprime en J·kg−1 :
−
→g = − −−→gradΦ (2.14)
Puisqu’il est le potentiel dont dérive la force d’attraction gravitationnelle, le géopotentiel n’est connu qu’à une constante près. Cette constante est fixée par le choix d’une surface de référence égale usuellement au géoïde, surface équipotentielle du champ de pesanteur terrestre coïncidant "au mieux" avec le niveau moyen des mers. Soit A un point relié à un point O du géoïde par une ligne de force du champ de pesanteur notée LΦ. Cette ligne qui
suit la direction du vecteur gravité i.e. de la verticale, n’est pas totalement droite mais légèrement courbe [Hofmann-Wellenhof et Moritz 2006]. Ainsi, le géopotentiel de A est égal à l’intégrale de la gravité g i.e. la norme du vecteur gravité, le long de cette ligne de force :
Φ(A) =Z LΦ
g ds (2.15)
L’altitude orthométrique H du point A, quant à elle, est définie comme la longueur de la ligne de force. Cette définition implique que l’altitude orthométrique de tous les points du géoïde est nulle. En toute rigueur, du fait de la courbure de la ligne de force, H n’est pas tout à fait égale à la longueur du segment de droite [OA].
Dans la section2.2.1, nous avons vu que dans l’IFS, la Terre est assimilée à une sphère de rayon Rt tandis que la gravité est considérée constante dans toute l’atmosphère et égale à g0. Sous ces hypothèses, les lignes de champ sont droites et :
Φ =Z H¯ 0 g0 d ¯H = g0 Z H¯ 0 d ¯H = g0 ¯ H (2.16) Φ = Z LΦ g ds = g0 H¯ (2.17)
En toute rigueur, ¯H nommée altitude géopotentielle n’est pas égale à l’altitude orthomé- trique. La figure 2.3 illustre la différence entre altitudes orthométrique et géopotentielle.
2.2. Présentation du modèle de prévision numérique de l’ECMWF et de ses sorties 43
Figure 2.3 – Différence entre altitudes orthométrique et géopotentielle (H − ¯H) en fonction de l’altitude orthométrique.
En météorologie, l’ensemble des observations sont repérées verticalement par une altitude