Principes généraux

Le modèle de Maxwell Généralisé peut se mettre indifféremment sous la forme d’une série de fractions rationnelles définie dans l’introduction de ce mémoire ou d’un produit de fractions. Ce résultat peut être consulté dans la thèse de Jean-Luc Dion2 ou dans l’ouvrage de A. Oustaloup3. Nous le rappelons ici :

H(s) = Hv 1 + n X i=1 αiτis 1 + τis ! = Hv n Y i=1 1 + s/zi 1 + s/τi (3.14)

Dans cette équation les τi sont les pôles de la fonction de transfert, tandis que les zi sont les zéros. Les paramètres αi sont liés aux pôles et aux zéros grâce à la relation suivante :

αi= n Y h=1 τh zh τi− zh τi+ τh(δih− 1) ^(3.15)

où δih est le symbole de Kronecker. L’identification se passe en deux temps. Tout d’abord, on utilise les propriétés de l’écriture sous forme de produit pour approximer le résultat identifié par une méthode d’identi-fication simplifiée dans un plan à échelle logarithmique. Dans [? ], trois méthodes sont proposées, la méthode des asymptotes est la plus intuitive. Il suffit de considérer que chaque couple pôle-zero (τi, zi) produit une évolution de module affine en fonction de la fréquence dans un espace logarithmique et une rotation de phase qui n’excède pas 90 degrés entre le zéro et le pôle, voir figure 3.6. Renaud montre que l’aire sous la courbe réelle [? ] de phase doit être identique à l’aire sous la courbe asymptotique, ce qui permet d’évaluer l’écart entre le zéro et le pôle. De même la rigidification réelle peut être correctement approximée en considérant la rigidification asymptotique qui elle aussi contraint localement l’écart entre chaque zéro et chaque pôle. Une pondération entre approximer au mieux la phase ou approximer au mieux le module est ensuite possible. Cette initialisation produit un modèle dont la tendance globale est bonne, voir 3.7. Il n’est pas très utile de produire un gros effort pour optimiser le nombre de couples zero/pôle. En effet, un nombre trop faible

2. Modélisation et identification du comportement dynamique des liaisons Hydro-Elastiques, 1995 3. La commande CRONE : du scalaire au multivariable, 1999

Figure 3.6 – Asymptotes sur une fraction rationnelle du modèle. Phase à 90 degrés et module affine.

de couples a tendance à faire osciller les courbes de modules et phase. On montre empiriquement qu’il est raisonnable de ne pas descendre en dessous d’un couple par décade de fréquence. Ensuite le placement des zéros et pôles est affiné en utilisant une méthode numérique d’optimisation. Avant tout, il faut constater le fait qu’à une fréquence particulière de la courbe maîtresse la valeur de module et de phase est non seulement produite par le couple pôle-zéro le plus proche mais aussi par les couples voisins. Une optimisation locale des courbes maitresses est donc effectuée mais en agissant sur les couples éloignés en fonction de leurs influences respectives. Le détail de la méthode est donné dans [? ].

3.4.2 Pôles communs

Le problème d’optimisation résolu dans la section précédente, n’est pas très contraint dans la pratique surtout si le nombre de termes dans la fonction de relaxation est suffisant. Il est donc tentant d’imposer les pôles τi et de se contenter de réaliser l’optimisation en n’identifiant que les zéros. Cette démarche permet d’utiliser les pôles déterminés pour une première fonction de relaxation et de garantir ainsi des pôles communs pour toutes les fonctions de relaxation utilisées. Dans la pratique, il s’avère que cette démarche demande en général quelques couples de pôle-zéro supplémentaires par rapport à la méthode sans contrainte. Les deux figures 3.8 et 3.9 illustrent le propos. Dans celles-ci, trois matériaux fictifs sont décrits par leur phase respectivement constante, affine croissante et affine décroissante tracées en trait fin. On se donne également un module à long terme. L’objectif est d’avoir un nombre de pôles limitant les oscillations caractéristiques de ce type de modèle et qui reproduit au mieux la courbe cible. La bande de fréquence d’intérêt est [10-10000] Hz. Dans le cas de l’hypothèse "pôle non-communs", il faut cinq pôles pour obtenir un résultat satisfaisant. On observe que les pôles ne sont pas communs mais que les couples zéros/pôles de chaque matériau se situent à des fréquences voisines. Dans un deuxième temps nous fixons la position des pôles et l’optimisation ne porte que sur les zéros. Pour faciliter l’optimisation, nous utilisons un couple zéros-pôles de plus. La courbe obtenue est visuellement très satisfaisante. Dans les outils logiciels, nous utilisons un critère numérique de convergence pour notre optimisation. La définition de ce critère peut être consulté dans [? ].

Figure 3.7 – Courbe de test identifiée asymptotiquement en considérant l’aire sous la phase et la rigidification du module séparément

Figure 3.8 – Identification de trois matériaux sans hypothèse de pôles communs. Cinq couples sont néces-saires pour obtenir les phases tracées en traits fins.

Figure 3.9 – Identification de trois matériaux avec hypothèse de pôles communs. Six couples sont nécessaires pour obtenir les phases tracées en traits fins identiques à celles de la figure 3.8

3.5 Conclusions et perspectives

Ces travaux avaient pour ambition le développement d’outils de caractérisation à fréquence élevée, d’outils de simulation adaptés à l’extraction de valeurs propres complexes et d’un outil d’identification pour faire le lien entre les deux. Ces objectifs ont été atteints et l’intégration des contraintes de simulation a permis de produire un ensemble logiciel cohérent qui permet des gains en terme de cout de simulation par le report de certaines contraintes dans l’identification.

Les perspectives de ces travaux et les travaux actuellement en cours portent plutôt sur le développement de moyens de caractérisation capable de fréquences plus élevées mais aussi d’amplitudes de sollicitations plus importantes pour mettre en évidence des comportements non-linéaires et les caractériser. Metravib a, de son côté, développé un moyen exploitant une masse sismique pour isoler son viscoanalyseur. Ce moyen, nommé Metravib V HF 104, est donné pour une fréquence maximum de 10kHz. Une comparaison de nos moyens d’essais avec les moyens développés par Metravib est un enjeu important pour la suite de ces travaux. L’autre challenge est d’utiliser ces moyens d’essai à température différente de l’ambiante. A priori, les actionneurs et les capteurs peuvent fonctionner dans une gamme de température assez large. Du point de vue de la simulation, le développement de formulations permettant de prendre en compte les comportements non-linéaires du type effet Payne est à l’étude.

Références du Chapitre

[1] F. Renaud, J.-L. Dion, and G. Chevallier. Méthode d’identification des paramètres d’un modèle de maxwell généralisé pour la modélisation de l’amortissement. Lyon (France), 2008. Colloque Vibrations, Chocs et Bruits.

[2] F. Renaud, J.-L. Dion, and G. Chevallier. An identification method for the modelling of damping by the generalised maxwell model. Mécanique & Industries, 11(1) :47–55, June 2010.

[3] G. Chevallier, F. Renaud, S. Thouviot, and J.-L. Dion. Complex eigenvalue analysis for structures with viscoelastic behavior. Washington DC, 2011. ASME IDETC.

[4] F. Renaud, G. Chevallier, J.-L. Dion, and R. Lemaire. Viscoelasticity measurement and identification of viscoelastic parametric models. Washington DC, 2011. ASME IDETC.

[5] F. Renaud, J.-L. Dion, G. Chevallier, I. Tawfiq, and R. Lemaire. A new identification method of viscoelas-tic behavior : Application to the generalized maxwell model. Mechanical Systems and Signal Processing, 25 :991–1010, April 2011.

[6] F. Renaud, J.-L. Dion, and G. Chevallier. Viscoanalyseur à haute fréquence avec précharge axiale, 07 2012.

Instabilités provoquées par le frottement

Avec le violon, il faut choisir : ou bien tu joues juste, ou bien tu joues tzigane Boby Lapointe, Chanteur Français (1922-1972)

Résumé du Chapitre

Ce chapitre traite du crissement de frein, vu comme une instabilité provoquée par le frottement. Tout d’abord, nous présentons les mesures cinématiques ont permis de reconstituer le mouvement d’une plaquette. Nous présentons ensuite le développement d’un outil de simulation permettant la prise en compte réaliste de l’amortissement. Enfin une étude critique des solutions technologiques actuelles d’atténuation du bruit est présentée.

4.1 Introduction et contexte de ces travaux

Les instabilités provoquées par le frottement peuvent être rencontrées dans différents mécanismes et agissent à basse ou haute fréquence. Dans ces travaux, c’est le crissement de frein qui a retenu notre inté-rêt. Le crissement des freins est étudié depuis de nombreuses années. Les premiers travaux ont focalisé sur l’explication du phénomène, en proposant des causes liées à la tribologie (coefficient de frottement, rugosité, pressions de contact,etc) et à l’environnement (température, humidité, etc). Le crissement a ensuite été perçu comme une instabilité par flottement autour du glissement stationnaire, assez analogue dans son principe aux instabilités aéroélastiques. Les premiers modèles reproduisant le phénomène étaient assez réduits et ne permettaient pas vraiment de réaliser des études dont les paramètres relèvent de la géométrie fine ou des comportements des matériaux. Avec l’avènement des méthodes numériques et des centres de calculs de plus en plus performants, les ingénieurs peuvent produire des modèles extrêmement détaillés géométriquement mais aussi du point de vue des comportements des matériaux et de la tribologie. Ces simulations peuvent porter sur les conditions d’occurrence de l’instabilité. Dans ce cas, c’est l’extraction des valeurs propres d’un problème linéarisé qui est l’outil mathématique. Elles peuvent aussi porter sur la détermination de cycles limites pour donner une indication sur l’amplitude vibratoire et donc le bruit émis. Dans ce cas, ces sont des simulations temporelles qui sont produites sur des modèles très détaillés, voir par exemple la thèse de G. Ver-mot des Roches1 ou encore des simulations du régime permanent par la méthode de la balance harmonique ou des méthodes concurrentes qui sont déployées sur des modèles réduits.

Parallèlement, les fabricants de systèmes de freinage cherchent des solutions technologiques pour palier au problème. Depuis quelques années, ce sont les dispositifs viscoélastiques qui sont disposés à différents endroits du frein et notamment au dos des plaquettes qui sont chargés d’éliminer les bruits.

Ces travaux qui sont décrits dans cette synthèse portent sur la compréhension du rôle de ces matériaux. La scène se déroule en trois actes. Tout d’abord, nous avons cherché à comprendre quel était le mouvement d’une plaquette dans un frein lors du crissement. Cette information devait nous permettre d’imaginer les sollicitations que subissent les dispositifs viscoélastiques situés au dos des plaquettes. Deuxièmement, nous avons mis au point des outils numériques pour tenir compte de la présence de matériaux viscoélastiques. Enfin nous avons exploité ces outils pour analyser numériquement sur des modes instables quelles étaient les sollicitations que subissait les éléments viscoélastiques.