8.1 La Brachistochrone
La brachistochrone est la courbe joignant deux points, telle qu’une particule partant au repos du point le plus haut A(xA, yA) et glissant sans frottements le long de cette courbe sous l’influence d’un champ de gravitation uniforme, arrivera au point B(xB, yB)en un temps minimal.
Cherchons l’expression de la durée d’une trajectoire quelconque entre les pointsAetB. Soit ds un élément infinitésimal de cette trajectoire. La vitesse (instantanée) a pour expression :
v = ds dt dt= ds v
∆tAB =
Z B
A
ds
v (99)
Dans un système de coordonnées rectilignes orthogonales (x, y), le carré de l’élément infinitési-mal de trajectoire a pour expression :
ds2 =dx2+dy2 Nous pouvons mettre dx oudy en facteur :
ds2 = 1 + dy2 dx2
!
dx2 ds2 = dx2
dy2 + 1
!
dy2
⇒
ds2 =1 +y′2dx2 ds2 =x′2+ 1dy2
où le prime indique la dérivation par rapport à la coordonnée restante. Lorsque la particule parcourt la trajectoire, l’abscisse curviligne s croît et ds est positif,x croît également et dxest positif, y décroît et dy est négatif :
ds =q1 +y′2dx ds =−√
x′2 + 1dy La conservation de l’énergie mécanique s’écrit :
1
2mv2 =mg(yA−y)
v =q2g(yA−y) (100)
154 8.1. LA BRACHISTOCHRONE
En remplaçant v et ds dans (99) nous obtenons les deux expressions suivantes pour la durée d’un trajet quelconque :
Pour ne pas avoir une fonction y(x) et la dérivée de sa réciproque x′(y), nous ne conservons que la première expression. Posons :
f(y(x), y′(x)) =
La durée d’un trajet∆tAB le long d’une trajectoire quelconque est donc la fonction de fonction, appelée fonctionnelle, suivante :
∆tAB =
Z xB
xA
f(y(x), y′(x))dx
La variation de durée entre la trajectoire de durée minimale et une trajectoire infiniment proche est nulle
oùy(x)est supposée être la trajectoire de durée minimale. Mathématiquement, cette condition de durée stationnaire est nécessaire mais n’est pas suffisante pour avoir une durée minimale car elle pourrait aussi être maximale ou admettre un point-selle (point d’inflexion horizontal, aussi appelé point-col). Cependant, en physique parler d’une trajectoire de durée maximale n’a pas de sens. La comparaison de la durée du trajet solution avec la durée de trajets voisins montrera que c’est effectivement le trajet de durée minimale.
Soit donc y(x) la trajectoire de durée minimale, et soit g(x)une autre trajectoire entre les mêmes points de départ et d’arrivée. Comparons leurs durées :
∆(∆tAB) =
Notons ∆y(x) la différence en ordonnées entre les fonctions y(x) et g(x), nulle aux points de départ et d’arrivée car les deux fonctions passent par les points A etB :
∆(∆tAB) =
Z xB
xA
f(y(x) + ∆y(x), y′(x) + ∆y′(x))−f(y(x), y′(x))dx
On remarque qu’il n’y a pas de variation en x mais seulement en y et en y′ puisqu’on ne varie que la trajectoire. Autrement dit, pour une fonction f(y(x), y′(x), x), fonction explicite de la variablex, nous aurions la même résolution. Supposons les deux trajectoires infiniment proches :
δ(∆tAB) =
8.1. LA BRACHISTOCHRONE 155
La variationδy étant nulle aux extrémités de la trajectoire :
δ(∆tAB) =
Écrivons la condition nécessaire :
∀δy,
La fonctionf(y(x),y(x))˙ donnée par (101) p.154ne dépendant pas explicitement de la variable x, nous pouvons intégrer l’équation différentielle une première fois :
df(y, y′) = ∂f
En utilisant l’équation de Lagrange (103) pour remplacer le terme∂yf : df
oùcest une constante par rapport àx. L’équation différentielle (103) est maintenant du premier ordre en y(x). Dans la fonction f, effectuons le changement de variable :
y(x) =yA−y(x) y′ =−y′ y′2 =y′2
156 8.1. LA BRACHISTOCHRONE
L’axe «y» a pour origine yA et est dirigé vers le bas. Reprenons l’expression (101) p. 154 de la fonctionf :
f(y(x), y′(x)) =
"
1 +y′2 2g(yA−y)
#1/2
f(y(x),y′(x)) = 1 + y′2 2gy
!1/2
∂f
∂y′ = 1 2
1 + y′2 2gy
!−1/2
× 2y′ 2gy
= 2gy
1 + y′2
!1/2
× y′ 2gy
= y′
q2gy (1 + y′2) En notant que y′ =−y′ impliquedy′ =−dy′ :
df(y′,y) =df(y′, y)
∂f
∂y dy + ∂f
∂y′ dy′ = ∂f
∂y dy+ ∂f
∂y′ dy′
∂f
∂y′ =−∂f
∂y′ Remplaçons dans l’équation différentielle (104) :
√1 + y′2
√2gy + y′
q2gy (1 + y′2)(−y′) = 1 c 1
q2gy (1 + y′2) = 1 c y1 + y′2= c2
2g (105)
C’est une équation différentielle non linéaire de degré deux. Un nouveau changement de variable permet de trouver les équations paramétriques y(θ) etx(θ), où θ(t)est une fonction du temps qu’il faudra déterminer. Posons :
y′(θ) = cotθ2 (106)
1 + y′2 = 1 + cot2θ2
= sin2θ2+ cos2θ2 sin2θ2
=hsin2θ2i−1
En remplaçant dans l’équation différentielle (105) on trouve y(θ) : y(θ) = c2
2gsin2θ2 (107)
= c2
4g(1−cosθ) y(θ) =yA+ c2
4g (cosθ−1)
8.1. LA BRACHISTOCHRONE 157 Cherchons l’expression de x(θ). À partir de (106) :
dy
dx = cotθ2 dx= tanθ2dy En dérivant (107),
dy dθ = c2
2g 2 sinθ2× 12cosθ2 dy = c2
2g sinθ2cosθ2dθ on a :
dx= c2
2g tanθ2sinθ2cosθ2dθ
Z x
xA
dx= c2 2g
Z θ
θA
sin2θ2dθ x−xA = c2
4g
Z θ
0 1−cosθ dθ x(θ) =xA+ c2
4g (θ−sinθ) Nous avons le système d’équations,
y(θ) = yA+ c2
4g(cosθ−1) x(θ) =xA+ c2
4g (θ−sinθ)
qui sont les équations paramétriques d’une cycloïde de paramètre θ et dont la concavité est dirigée vers le bas. La solution du problème est donc un arc de cycloïde.
Cherchons les valeurs de θ qui annulent la dérivée dey(θ) : c2
4g sinθ= 0 θ= 0 [π]
En ces points les fonctions y(θ)et x(θ) prennent les valeurs :
y(0) =yA
y(π) =yA−c2/2g y(2π) = yA
x(0) =xA
x(π) =xA+πc2/4g x(2π) =xA+πc2/2g La figure 8.1 représente le premier cycle(06θ 62π) d’une cycloïde.
158 8.1. LA BRACHISTOCHRONE
yA b
+ +
+ y
πc2 x
2g
yA− c2g2
+
πc2 4g
xA
θA= 0
θminimum =π
θ = 2π
Fig. 8.1. Cycloïde
En notantd=x−xA la distance parcourue eth=yA−yla hauteur de chute à l’instantt :
d= c2
4g (θ−sinθ) h= c2
4g (1−cosθ)
(108)
La courbe atteint son minimum en θ =π (hauteur de chute h maximale) :
dminimum = πc2 4g hminimum = c2
2g
⇒ dminimum = π
2hminimum
En notantD=xB−xA la distance totale parcourue, etH =yA−yB la hauteur finale de chute, (108) donne :
D= c2
4g (θB−sinθB) H = c2
4g (1−cosθB) (109)
SiD 6 π
2H (c’est-à-dire si θ 6π) la particule descend directement jusqu’au point B.
SiD > π2H la particule passe par une hauteur minimale puis remonte jusqu’au point B.
H
b b B
D 6 π
2H y
x
H
b b B
D > π2H y
x
Fig. 8.2. Brachistochrones
8.1. LA BRACHISTOCHRONE 159 En dérivant les relations (108) nous obtenons la vitesse en fonction du paramètre θ :
v2= ˙d2+ ˙h2
=
"
c2
4g (1−cosθ) ˙θ
#2
+
"
c2
4g sinθθ˙
#2
= c4
16g2θ˙21−2 cosθ+ cos2θ+ sin2θ
= c4
8g2 θ˙2(1−cosθ) v =± c2
2g√ 2θ˙√
1−cosθ
Cherchons la loi horaire θ(t). À partir du carré de la vitesse, équation (100) p. 153 : c4
8g2θ˙2 (1−cosθ) = 2gh
= c2
2 (1−cosθ) θ˙2 = 4g2
c2 θ˙ =±2g
c dθ = 2g
c dt
où l’on a choisi la constante cpositive. Avec la relation (108) p. 157 en θ = 0, y(θ= 0) =yA
si bien que
Z θB
θA=0dθ = 2g c
Z tB
tA
dt θB = 2g
c ∆tAB
∆tAB = θBc 2g
Pour θB =π (plus longue descente « directe »), d’après (109), H = c2
2g c=q2gH c
g =
s2H g et l’on a,
∆tAB = πc 2g
= π 2
s2H g
= π 2 T oùT est le temps de chute libre de la hauteur H.
160 8.2. PRINCIPES DE MOINDRE ACTION
8.2 Principes de moindre action
8.2.1 Principe de moindre action d’Hamilton
Dans l’équation (103) p. 155, en remplaçant la fonction f par le Lagrangien et la variable x par le temps, nous retrouvons l’équation de Lagrange pour la coordonnée y :
d
Par analogie de la relation (102) p. 154qui donne l’équation (103), on déduit que les équations de Lagrange dérive du principe variationnel,
δ
Z tB
tA
L(y(t),y(t), t)dt˙ = 0 où le temps n’est pas varié.
Pour généraliser le principe variationnel au cas de plusieurs fonctions d’une même variable, considérons une fonctionnelle de deux fonctions supposées linéairement indépendantesy1(x)et y2(x), de première variation nulle :
δ
Z
f(y1(x), y2(x), ∂xy1(x), ∂xy2(x), x)dx= 0 (110) Appelons J cette fonctionnelle :
δJ = En intégrant par partie,
δJ =
Les fonctions y1(x) et y2(x) étant linéairement indépendantes, δJ est nulle quelles que soient δy1 et δy2 si et seulement si f satisfait les équations :
En remplaçant la fonction f par le Lagrangien et la variable x par le temps, nous retrouvons les équations de Lagrange pour les coordonnées y1(t) ety2(t) :
La relation (110) donnant les équations (111), on en déduit que les équations de Lagrange dérive du principe variationnel,
δ
Z tB
tA
L(y1(t), y2(t),y˙1(t),y˙2(t), t)dt= 0
8.3. DÉRIVATION DES ÉQUATIONS D’HAMILTON 161 appeléprincipe de moindre action d’Hamilton. L’intégrale du Lagrangien par rapport au temps est la fonction principale d’Hamilton (relation (98) p.152), aussi appeléeaction d’Hamilton. Elle est minimale (et non extrémale1). La généralisation à plus de deux coordonnées est immédiate.
8.2.2 Principe de moindre action de Maupertuis
Dans le cas particulier où le Hamiltonien se conserve, nous pouvons l’ajouter comme cons-tante dans l’intégrale temporelle :
δ
Z tB
tA
L +H dt= 0 δ
Z tB
tA
n
X
i=1
piq˙idt= 0 δ
Z B
A n
X
i=1
pidqi = 0
appelé principe de moindre action de Maupertuis. Si de plusH =E, alors d’après (43) p. 90: δ
Z tB
tA
n
X
i=1
piq˙idt= 0 δ
Z tB
tA
2T dt= 0 δ
Z tB
tA
mds2
dt2 dt= 0 δ
Z B
A mv ds= 0
8.3 Dérivation des équations d’Hamilton
Nous avons : δ
Z tB
tA
L(y(t),y(t), t)dt˙ =δ
Z tB
tA
X
j
pjq˙j −H (pj, qj, t)dt
=
Z tB
tA
X
j
δpjq˙j+pjδq˙j− ∂H
∂pj δpj −∂H
∂qj δqj
!
dt En intégrant par partie le second terme du membre de droite :
Z tB
tA
pjδq˙jdt= [pjδqj]ttB
A −
Z tB
tA
˙ pjδqjdt
=−
Z tB
tA
˙ pjδqjdt
1. Citons Jacobi dans son Mémoire sur l’intégration des équations différentielles de la dynamique : « Mais il y a une objection un peu essentielle à faire contre la définition de ce principe telle qu’elle a été donnée par Lagrange et qui se rapporte aux mots maximum et minimum. En effet, l’on prouve aisément que jamais le maximum ne peut avoir lieu ; qu’il y a toujours minimum pour un mouvement resserré entre certaines limites et que, passé ces limites, il n’y a ni maximum ni minimum. »
162 8.3. DÉRIVATION DES ÉQUATIONS D’HAMILTON
les variations δq étant nulles aux extrémités de trajectoires prisent entre les mêmes points de départ et d’arrivée. Si bien que,
δ
Z tB
tA
L(y(t),y(t), t)dt˙ =
Z tB
tA
X
j
δpjq˙j−p˙jδqj− ∂H
∂pj
δpj − ∂H
∂qj
δqj
!
dt
=
Z tB
tA
X
j
"
˙
qj− ∂H
∂pj
!
δpj− p˙j +∂H
∂qj
!
δqj
#
dt
Dans l’espace des phases, les trajectoires variées peuvent avoir des coordonnées et/ou des im-pulsions différentes, les variations δqj et δpj sont donc indépendantes. Le principe d’Hamilton s’écrit
Z tB
tA
X
j
"
˙
qj −∂H
∂pj
!
δpj − p˙j+∂H
∂qj
!
δqj
#
dt= 0 équivalent au système d’équations d’Hamilton :
˙
qj = ∂H
∂pj
˙
pj =−∂H
∂qj