Mécanique de Lagrange
3.1. ÉQUATIONS DE LAGRANGE 61 Exemple 3.4. Forces de frottement sec
3.1.4 Forces de contraintes généralisées
p
X
i=1
∂φi
∂q˙j
=−∂φ
∂q˙j
Les équations de Lagrange s’écrivent alors
∀j = 1, . . . , n d dt
∂L
∂q˙j
!
− ∂L
∂qj
+ ∂φ
∂q˙j
= 0 pour lesquelles il reste à préciser les fonctions scalaires L et φ.
Soit une particule se déplaçant dans un fluide, dans le champ de pesanteur terrestre. La force de frottement étant supposée proportionnelle à la vitesse, la fonction de dissipation a pour expression :
φ = µ 2
x˙2+ ˙y2
En prenant le zéro de l’énergie potentielle au fond du fluide, le Lagrangien s’écrit, L = m
2
x˙2 + ˙y2−mgy Les équations de Lagrange donnent :
d dt
∂L
∂x˙
!
− ∂L
∂x +∂φ
∂x˙ = 0 d
dt
∂L
∂y˙
!
− ∂L
∂y +∂φ
∂y˙ = 0
⇒
(m¨x+µx˙ = 0 m¨y+µy˙+mg = 0
3.1.4 Forces de contraintes généralisées
Soit un système holonome à n degrés de liberté, donc à n coordonnées indépendantes.
L’emploi des coordonnées généralisées fait disparaitre les forces de liaison. Cependant, on peut ne pas les utiliser et conserver n+k coordonnéesxj non indépendantes, et trouver l’expression des k équations de liaison holonomes.
Ces k équations de liaison s’écrivent :
∀i= 1, . . . , k fi(x1, . . . , xn+k, t) = 0 (20) Imaginons un déplacement virtuel du système, donc à temps constant. Si ce déplacement virtuel est compatible avec les liaisons alors les équations de liaison sont encore valables dans cette nouvelle position :
∀i= 1, . . . , k fi(x1+δx1, . . . , xn+k+δxn+k, t) = 0 (21) oùt ne varie pas. Soustrayons (20) de (21) :
∀i= 1, . . . , k fi(x1+δx1, . . . , xn+k+δxn+k, t)−fi(x1, . . . , xn+k, t) = 0
∀i= 1, . . . , k δtfi(x1, . . . , xn+k, t) = 0
qui est la variation à temps constant de chaquefi, et qui s’écrit :
∀i = 1, . . . , k
n+k
X
j=1
∂fi
∂xj
δxj = 0 (22)
3.1. ÉQUATIONS DE LAGRANGE 63 À partir de l’équation (11) p. 54, l’équation de la dynamique valable pour tous types de contraintes et de coordonnées s’écrit,
n+k
où les δxj ne sont pas indépendants. On suppose sans perte de généralité, que ce sont les n premières coordonnées xj qui sont indépendantes. Les expressions entre crochets devant les n premiers δxj sont donc nulles :
∀j = 1, . . . , n d
Les forces généralisées sont (au maximum) au nombre den, une force généralisée par degré de liberté : ajouter des coordonnées superflues n’ajoute pas de forces. On suppose donc à nouveau sans perte de généralité que ces forces s’expriment en fonction des n premières coordonnées, supposées indépendantes (voir la remarque dans l’exemple 3.6 p.64),
∀j = 1, . . . , n d si bien qu’il reste :
n+k
Les n premières coordonnées étant supposées indépendantes, les n premiers δxj dans la relation (22) sont indépendants, et leurs coefficients respectifs sont nuls afin que la somme soit nulle :
∀i= 1, . . . , k ∀j = 1, . . . , n ∂fi
∂xj
= 0 (24)
Les équations de liaison ne sont donc pas des fonctions explicites des n premières coordon-nées. Il reste :
En introduisant k multiplicateurs indéterminés λi entre l’équation (23) et les k équations (25), nous obtenons :
n+k
Les conditions sur les multiplicateurs λi pour que chacun des k termes soit nul sont les suivantes : Les équations de la dynamique sont données par le système d’équations suivant :
64 3.1. ÉQUATIONS DE LAGRANGE
La relation (24) p. 63 permet d’écrire ce système d’équations en une seule équation ayant un indice j allant de 1 àn+k.
∀j = 1, . . . , n+k d dt
∂T
∂x˙j
!
− ∂T
∂xj −Qj−
k
X
i=1
λi ∂fi
∂xj
= 0 (26)
Cette équation montre que lesλ ∂xf sont homogènes à des forces généralisées. On les appelle forces de contraintes généralisées.
Lorsque toutes les forces dérivent d’une énergie potentielle indépendante des vitesses géné-ralisées, d’après la définition (3.1) p. 54 de la force généralisée et la relation (18) p. 56:
p
X
i=1
Fi· ∂ri
∂xj
=−∂V(xj, t)
∂xj
On peut ajouter le terme nul ∂V /∂x˙j, et avec la définition 3.2 p.56 du Lagrangien :
∀j = 1, . . . , n+k d dt
∂L
∂x˙j
!
− ∂L
∂xj −
k
X
i=1
λi
∂fi
∂xj
= 0 Exemple 3.6. Cylindre roulant sans glisser sur un plan incliné
Un cylindre de masse m et de rayon r, roule sans glisser sur un plan incliné. Quelle est l’équa-tion de son mouvement ?
θ
α m r x
Fig. 3.4. Cylindre roulant sur un plan incliné
Soit θ l’angle de rotation du cylindre. En l’absence de glissement, la distance rθ sur le cylindre est égale à celle parcourue x. La condition de roulement sans glissement est l’équation de liaison
rθ−x= 0 (27)
de la forme,
f(x, θ) = 0 avec,
∂f
∂x =−1
∂f
∂θ =r
En choisissantx−rθ = 0les signes seraient inversés. Il n’y a qu’un seul degré de liberté mais nous utilisons les deux coordonnéesx etθ reliées par l’équation de contrainte(27). L’expression de l’énergie cinétique comporte un terme en translation et un terme en rotation,
T = 12 mx˙2+12Jθ˙2
3.1. ÉQUATIONS DE LAGRANGE 65 dans laquelle on conserve les deux variables x et θ. En choisissant l’origine de l’énergie poten-tielle au sommet du plan incliné, le Lagrangien s’écrit :
L = 12mx˙2 +12Jθ˙2+mgxsinα Remarque. On peut aussi choisir indifféremment de prendre :
L = 12mx˙2+12Jθ˙2+mgrθsinα
Les équations de Lagrange s’écrivent,
L’équation de liaison (27) p. 64 donne,
rθ=x
Pour un cylindre plein, de longueur l, le moment d’inertie s’écrit, J = et l’on obtient,
Les forces de contraintes généralisées s’écrivent,
fx est la force de frottement sur la ligne de contact du cylindre avec le plan incliné. fθ est le moment de cette force de frottement par rapport à l’axe du cylindre, qui provoque la rotation du cylindre sans glissement.
Pour un cylindre creux, de longueur l, le moment d’inertie s’écrit, J =r2
Z Z Z
V dm J =mr2
66 3.1. ÉQUATIONS DE LAGRANGE et l’on obtient,
¨
x−12 gsinα= 0 λ= 12mgsinα Les forces de contraintes généralisées s’écrivent,
fx =−12mgsinα fθ = 12rmgsinα
On vérifie que l’on obtient le même résultat en utilisant directement l’équation de contrainte (27) p. 64 dans l’expression de l’énergie cinétique. Par exemple pour le cylindre plein :
T = 12mx˙2+ 14mr2θ˙2
= 34mx˙2 Le Lagrangien s’écrit :
L = 34mx˙2+mgxsinα L’équation de Lagrange s’écrit :
d dt
∂L
∂x˙
!
−∂L
∂x = 0 d
dt
3
2mx˙−mgsinα = 0
¨
x−23gsinα = 0 3.1.5 Liaison non-holonomes
Lorsque les liaison sont non-holonomes il n’existe pas de méthode générale pour éliminer les coordonnées superflues. Cependant, dans le cas particulier où elles sont données sous forme différentielle non intégrable, on peut éliminer les équations de la dynamique dépendantes grâce aux multiplicateurs indéterminés de Lagrange.
Considérons un système àn+k coordonnées dépendantes, dont leskliaisons non-holonomes sont données sous la forme :
∀i= 1, . . . , k
n+k
X
j=1
aijdxj +aitdt= 0
Ces équations différentielles sont supposées non intégrables, car sinon on se ramènerait au cas de liaisons holonomes. Par exemple, la condition de roulement sans glissement de l’exemple 3.6 p. 64 est intégrable. Qu’il y ait glissement ou non, dans le référentiel galiléen lié au plan incliné, la vitesse d’un point quelconque du cylindre est la composition vectorielle d’une vitesse de rotation autour de l’axe du cylindre, et de la vitesse en translation du cylindre. En l’absence de glissement, la vitesse en rotation et la vitesse en translation des points au contact du plan incliné sont égales en module (et de même direction mais de sens opposé) :
rθ˙= ˙x Cette liaison s’écrit sous forme différentielle,
rdθ−dx= 0
Les coefficients aij et ait s’écrivent donc (une seule liaison donc k = 1) :
aθ =r ax =−1
at = 0
3.2. PROPRIÉTÉS DU LAGRANGIEN ET DES ÉQUATIONS DE LAGRANGE 67