Principe

Considérons une arête σ et une cellule primale K. Nous allons montrer que l'approximation du ux primal FK,σ sortant de la cellule K à travers l'arête σ est la somme de huit ux de masse sortant des cellules vertex-centered, comme représenté sur la gure V.26.

K

F_K,σ

Flux de masse vertex-centered (connu)

σ _cF ^{Demi ux de masse primal (cherché)}Flux de masse primal (cherché)

S

c F_N

Figure V.26  Localisation des ux de masse vertex-centered intervenant dans la reconstruction du ux primalF_K,σ (et des demi ux _Fb_N et_Fb_S).

Plaçons-nous dans la conguration de la gure V.26. On cherche une approximation du ux massique primalF_K,σcomme somme d'approximations des demi ux massiquesFb_N,Fb_S, connaissant les approximations des ux massiques vertex-centered Fe. La démarche que nous suivons dans la suite est la suivante : nous montrons d'abord que les approximations des demi ux primaux_Fb_N et

b

F_S s'expriment chacune comme combinaison linéaire des quatre ux sortant de la cellule vertex-centered qui les contient en appliquant une méthode similaire à la construction des ux de masse sur les cellules diamant (Section II.2.1). Ensuite, nous déduisons que l'approximation du ux primal

F_K,σ cherché, somme des deux demi ux primauxFb_N etFb_S est donc la somme de huit ux vertex-centered alentour.

Étape 1 : détermination des approximations des demi ux de masse _FNb et_FSb

Pour trouver l'approximation du ux _Fb_S cherché au sein d'une cellule vertex-centered, une rota-tion d'angle −π

4 dans le sens trigonométrique (Figure V.27) permet de mettre en parallèle cette conguration avec celle de la recherche de ux de masse sur les mailles diamant décrite dans la section II.2.1.

rotation

Calcul des ux

sur les mailles diamant _{pour l'enrichissement de la pression}

Calcul des demi-ux primaux D_σ L^∗ e F_SE e F_{N E} e F_SW e F_{N W} F_S|E Fc_S

Figure V.27  Transformation mettant en parallèle la construction des ux de masse sortant des mailles diamants et celle des ux primaux cherchés.

L'expression de ces demi ux primaux est donc égale à celle des ux diamant (au signe près), comme décrit par le tableau V.1 :

Flux diamant Demi ux primaux cherchés

F_S|E Fc_S

F_N|W − cF_N

Table V.1  Correspondance entre les ux diamant et les demi ux primaux cherchés. Comme dans la section II.2.1 sur le maillage diamant, posons

b F_S= α_N|WFe_{N W + αS|EF}e_{SE+ αS|WF}e_{SW + αN|EF}e_{N E,} (V.14) on a alors le tableau V.2. b F α_N|W α_S|E α_S|W α_N|E c F_S 1/8 −3/8 3/8 −1/8 c F_N − 3/8 1/8 −1/8 3/8

Table V.2  Coecients intervenant dans l'écriture des demi ux de masse primaux comme fonc-tions des ux de masse vertex-centered (Équation (V.14)).

Étape 2 : déduction du ux de masse primal F_K,σ

Nous distinguons ci-dessous diérentes congurations pour reconstruire les ux de masse primaux. • Pour une arête σ dont aucun sommet n'appartient à une arête extérieure (Figure V.26), l'approximation de ce ux est la somme des deux demi ux primaux _Fb_N et _Fb_S donnés par l'équation (V.14).

• Pour une arête dont un sommet au moins est situé sur une arête extérieure :  si l'arête σ fait partie (est incluse) du bord :

Avec les notations de la gure V.28, on pose _Fˆ ₌ 1

2Fe₃ car il n'y a aucune raison que le uide s'écoule plus à travers une arête qu'une autre.

Flux vertex-centered (connu) L^∗ e F₃ e F₁ e F₂ σ ∂Ω

Demi ux de masse primal (cherché)

b F

Figure V.28  Flux considérés dans le cas d'une arête σ ⊂ ∂Ω.  si l'arête σ est orthogonale au bord :

Adoptons les notations de la gure V.29 et déterminons l'expression du demi ux primal

ˆ

F sortant de l'arête σ, étant donnés les ux vertex-centered_Fe₁,_Fe₂ et_Fe₃.

σ σ₁ σ₂ L^{∗ δ}2 δ₁ δ₃

Flux de masse vertex-centered (connu)

e F₁ e F₂ e F₃ ∂Ω

Demi ux de masse primal (cherché)

b F

Figure V.29  Flux considérés dans le cas d'une arête orthogonale au bord.

Les équations de bilan de masse sur chacun des deux triangles constituant la cellule vertex-centered sont données par : _

      e F₁+Fb+Fe₃ 2 ^{= 0,} e F₂−Fb+Fe₃ 2 ^{= 0.}

Par combinaison (diérence) des deux lignes de ce système, on obtient 2_Fb_=Fe_2−Fe_1,

c'est-à-dire que le ux primal cherché s'écrit

b

F = Fe₂−Fe₁

2 ^.

V.5.2 Couche de mélange à Re = 10000

Nous reprenons le cas-test décrit dans la section III.2.2.c, pour un maillage perturbé constitué de 320 × 320 quadrangles non rectangles (Figure V.9(b) pour une version grossière de ce maillage).

Remarquons que le calcul donne des résultats satisfaisants pour des mailles rectangles ou paral-lélogrammes sans reconstruction des ux car le bilan de masse cell-centered fait intervenir les ux primaux (puisque nεσ est la normale à l'arête σ, voir la remarque V.2). Pour le maillage choisi ici, le bilan de masse discret n'est pas satisfait sur les cellules primales, nous utilisons donc la méthode de reconstruction des ux décrite dans la section V.5.1. Les prols instantanés de vorticité obtenus par cette technique sont rassemblés sur les gures V.30-V.33. Les résultats pour la discrétisation par l'élément enrichi sans reconstruction (sur le même maillage) sont donnés pour comparaison.

t = 20 s

no name no name

Sans reconstruction. Reconstruction.

t = 30 s

no name no name

Sans reconstruction. Reconstruction.

Figure V.30  Champ de vorticité aux temps non adimensionnés 20 s et 30 s sur un maillage perturbé de 320 × 320 mailles  Couche de mélange à Re = 10000.

t = 50 s

no name no name

Sans reconstruction. Reconstruction.

t = 70 s

no name no name

Sans reconstruction. Reconstruction.

t = 80 s

no name no name

Sans reconstruction. Reconstruction.

Figure V.31  Champ de vorticité aux temps non adimensionnés 50 s, 70 s, 80 s sur un maillage perturbé de 320 × 320 mailles  Couche de mélange à Re = 10000.

t = 100 s

no name no name

Sans reconstruction. Reconstruction.

t = 120 s

no name no name

Sans reconstruction. Reconstruction.

t = 140 s

no name no name

Sans reconstruction. Reconstruction.

Figure V.32  Champ de vorticité aux temps non adimensionnés 100 s, 120 s, 140 ssur un maillage perturbé de 320 × 320 mailles  Couche de mélange à Re = 10000.

t = 200 s

no name no name

Sans reconstruction. Reconstruction.

Figure V.33  Champ de vorticité au temps non adimensionné 200 s sur un maillage perturbé de 320 × 320 mailles  Couche de mélange à Re = 10000.

Les gures V.30-V.33 montrent que sans reconstruction des ux primaux, le prol des tourbil-lons est bruité, les temps d'appariement sont avancés (le dernier tourbillon se forme à partir de 50 s au lieu de 80 s) et l'amplitude de la vorticité est multipliée par au moins trois dès les premiers instants de la simulation.

En revanche, notons que le schéma basé sur la reconstruction des ux primaux représente correcte-ment les étapes de l'appariecorrecte-ment des tourbillons. De plus, les temps d'appariecorrecte-ment sont en accord avec ceux donnés par les références, comme pour le schéma MAC [63, 57, 37, 15] : en eet, les quatre tourbillons primaires se développent jusqu'à un peu moins de 30 s, s'apparient avant 80 s. Ensuite, les deux tourbillons secondaires fusionnent entre 80 s et 100 s. De plus, l'amplitude de vorticité est, elle aussi, en accord avec celle calculée pour le schéma MAC et les références.

Enn, il est bon de signaler que, même avec la reconstruction des ux, plus le maillage est éloigné d'un maillage uniforme, plus il faut le raner pour que la valeur de la vorticité soit proche de celle du schéma MAC.