Dans ce chapitre, nous avons présenté une étude de la méthode de projection incrémentale pour résoudre le problème de Stokes incompressible en se basant sur une approximation en espace basé sur un élément ni de bas degré, non conforme. Nous avons fourni une analyse d'erreur dans le cas de conditions au bord de type Dirichlet sur tout le bord du domaine, qui con rme que l'erreur de splitting est d'ordre deux en temps pour la vitesse (dans l2(L2)d) et un en pression (dans l2(L2)). De plus, nous avons montré que les conditions au bord arti cielles en pression sont présentes dans l'opérateur elliptique discret appliqué à l'incrément de pression, même si cet opérateur est obtenu par un splitting eectué au niveau discret ; cependant, ces conditions au bord sont imposées au sens (faible) des volumes nis et l'ordre optimal d'approximation est retrouvé lors des tests numériques, même dans le cas de conditions au bord ouvertes.
Discrétisation en temps de
Crank-Nicolson
Nous proposons une discrétisation temporelle satisfaisant le critère (C.1) évoqué en Intro-duction (Section 6.3), à savoir le contrôle de l'énergie cinétique et la minimisation des résidus numériques de dissipation par rapport au schéma d'Euler.
Ce chapitre fait l'objet d'un article soumis [9]. Il a été réalisé avec la collaboration de Franck Boyer, Céline Lapuerta et Jean-Claude Latché.
II.1 Introduction
Nous considérons les équations de Navier-Stokes instationnaires (Système (1)-(3) en Introduc-tion), à masse volumique variable, posées sur un intervalle de temps ni (0, T ) et dans un domaine Ω ouvert, connexe, borné de Rd (d = 2 ou 3), supposé polygonal (d = 2) ou polyédral (d = 3).
La masse volumique ρ et la vitesse u satisfont une identité d'énergie cinétique. Cette relation découle du calcul formel suivant.
Proposition II.1 (Propriété I.C.) Supposons que
∂tρ + div(ρβ) = 0,
pour un champ régulier β et que les fonctions ρ et u sont régulières. Alors, nous avons : ∂t(ρu) + div(u ⊗ ρ β) · u = ∂t 1 2ρ|u| 2 + div 1 2|u|2ρβ . (II.1)
En intégrant cette relation sur Ω et en supposant que β · n s'annule sur ∂Ω, on a : Z Ω ∂t(ρu) + div(u ⊗ ρ β) · u dx = 1 2 d dt Z Ω ρ |u|2dx. (II.2)
En appliquant cette identité avec β = u au produit scalaire de l'équation de conservation de la quantité de mouvement (Première relation du système (1) en Introduction) avec u, on obtient l'identité d'énergie cinétique (locale) :
1 2∂t(ρ |u| 2) + 1 2div ρ|u| 2u) + u · ∇p − div τ (u) · u = 0. (II.3)
Les deux premiers termes de cette relation sont la dérivée temporelle et le terme de transport de l'énergie cinétique, respectivement ; le troisième correspond à la puissance des forces de pression, et le dernier terme du membre de gauche représente la dissipation visqueuse. En intégrant sur Ω cette relation, et en utilisant une intégration par parties du terme visqueux d'une part et les conditions au bord d'autre part, il en résulte une relation (globale) portant sur l'énergie cinétique qui s'écrit comme suit : 1 2 d dt Z Ω ρ |u|2dx + Z Ω u· ∇p dx + Z Ω
τ(u) : ∇u dx = 0. (II.4) Sous cette forme, cette relation ne conduit pas à une estimation de stabilité à cause de la présence des termes de pression. Pour des écoulements incompressibles, une simple intégration par parties montre qu'il s'annule (grâce aux conditions au bord) ; il peut être réécrit comme la dérivée en temps d'un terme d'énergie pour les écoulements compressibles barotropes. Pour le modèle à faible nombre de Mach, le traitement de ce terme n'est pas clair.
Obtenir un schéma satisfaisant l'analogue discret de (II.3)-(II.4) a de nombreux avantages. - D'abord, combinée avec des arguments supplémentaires pour contrôler le terme de pression,
l'équation (II.4) conduit à une estimation de stabilité, ce qui garantit la robustesse du schéma, en particulier pour les calculs d'écoulement à convection dominante.
- Ensuite, dans le contexte de la Simulation des Grandes Échelles (LES), un modèle sous-maille est introduit pour simuler le rôle dissipatif (en énergie cinétique) des petites structures de l'équation de conservation de la quantité de mouvement. Il est donc crucial que le schéma respecte cette dissipation physique, i.e. que le terme de dissipation visqueuse dans la con-trepartie discrète de l'équation (II.3) ne soit pas négligeable par rapport à de trop gros résidus numériques [5, 70]. En regroupant l'ensemble de ces résidus dans un terme dit défaut de dis-sipation, le but est donc de minimiser ce terme pour construire un schéma numérique pour la LES.
La discrétisation spatiale par le schéma Marker And Cell (MAC), d'abord introduite dans [47] et maintenant largement utilisée pour la simulation d'écoulements incompressibles, s'applique à des maillages cartésiens et est de type décalée, avec les inconnues de pression situées au centre des cellules et les inconnues normales de vitesse situées au centre des faces. Pour des écoulements à masse volumique constante et à divergence nulle, il a été observé depuis le milieu des années soixante que l'opérateur convectif discret associé à cette discrétisation conserve l'énergie cinétique discrète [64], i.e. satisfait un analogue discret de l'identité sous forme intégrale (II.2) (bien sûr, en supposant, dans cette dernière, une masse volumique ρ constante). Des opérateurs convectifs d'ordre supérieur, satisfaisant encore la même propriété, et aussi un analogue discret de l'équation de transport locale d'énergie cinétique (II.2), ont été proposés dans [73, 95, 96, 92] ; combinés avec une discrétisation convenable du terme de gradient de pression et une marche en temps convenable, ces résultats conduisent à (des analogues discrets) des bilans d'énergie cinétique local (II.3) et global (II.4).
Toujours pour le schéma MAC, des travaux pour le cas compressible faible Mach sont plus récents et plus rares. D'abord, [75] a généralisé la formule aux diérences nies de [73], pour obtenir un schéma qui semble, lors des tests numériques, satisfaire une version discrète de l'identité globale (II.4) avec un résidu d'ordre deux. Une approche similaire, adaptée pour traiter de coordonnées cylindriques, est proposée dans [25]. Récemment, un schéma MAC (structuré) est présenté dans [72], suivi par une discussion au sujet de ses propriétés de conservation : la conservation de l'énergie cinétique locale et globale est prouvée, dans un cadre semi-discret (en temps) comme dans un cadre discret (en temps et en espace). Cependant, le schéma résultant semble être plutôt coûteux, et plus d'alternatives e caces sont proposées avec des résidus non nuls d'ordres supérieurs.
Pour des travaux dans le cadre de méthodes collocalisées, nous renvoyons à [26, 30, 46, 34]. Dans ce chapitre, nous poursuivons le développement de schémas conservant l'énergie cinétique pour des écoulements à faible nombre de Mach, avec pour but de traiter de discrétisations non structurées décalées. L'approche que nous adoptons est basée sur une structure volumes nis de l'opérateur convectif d'abord introduit dans [4] pour une discrétisation en temps d'Euler rétro-grade d'ordre un et une approximation centrée de la vitesse advectée à la face, à ceci près que l'algorithme en temps est ici obtenu par une technique de Crank-Nicolson (l'usage de méthodes éléments nis/volumes nis est assez répandue dans la littérature de la CFD [77, 16]). L'opérateur convectif discret que nous proposons satisfait un contrôle de l'énergie cinétique (analogue discret de (II.1)). Nous implémentons cette discrétisation dans un schéma de correction de pression pour le modèle faible Mach, et nous explicitons le terme de défaut de dissipation. La particularité de l'approche proposée par rapport à [4] est la réduction du défaut de dissipation avec des résidus numériques d'ordre supérieur (analogue discret de (II.2)). En eet, nous montrons que cette quan-tité est d'ordre deux en temps, et n'est pas signée, contrairement au terme analogue de [4] qui est seulement d'ordre un en temps. Les capacités du schéma sont illustrées lors des expériences numériques, elles con rment les résultats théoriques et illustrent la capacité du schéma à calculer les structures turbulentes pour de relativement gros pas de temps comparé au schéma en temps d'Euler.
Le plan du chapitre est le suivant. Après avoir traité dans la section II.2 de la construction de l'opérateur convectif (Sous-section II.2.1) et montré sa stabilité (Proposition II.1), le schéma de correction de pression pour les écoulements à faible nombre de Mach est présenté dans la sec-tion II.3, d'abord dans le cadre semi-discret, puis dans le cadre discret (Sous-secsec-tions II.3.2 et II.3.2 respectivement). L'identité d'énergie cinétique discrète satisfaite par le schéma est établie (Sous-section II.3.3), et ensuite la taille du terme de défaut de dissipation est évaluée (Sous-(Sous-section II.3.4). En n, les tests numériques sont rassemblés dans la Section II.4.