Principe de la méthode

4.1.1.1 Idée

La méthode présentée dans le chapitre précédent avait pour but d’estimer les spectres et

les coefficients de la matrice M simultanément. Il fallait donc estimer, pour chaque étoile, tous

les coefficients relatifs à sa FSF (à chaque pixel du champ). En l’absence de contrainte sur

les données (hormis la positivité), cela faisait beaucoup de coefficients à estimer, en plus des

spectres. Les résultats étaient donc assez décevants car la NMF, utilisée ainsi sans contraintes

supplémentaires, ne convergeait pas vers la solution voulue.

A présent nous connaissons le modèle de la FSF (fonction de Moffat présentée en fin de

chapitre précédent (3.8)) et il est donc possible de réduire le nombre de variables à estimer.

L’idée est donc de remplacer l’estimation des valeurs de la FSF en chaque pixel et pour chaque

étoile, par l’estimation des paramètres dont dépend la FSF et qui sont les mêmes pour tous les

pixels et toutes les étoiles : les paramètres(α, β), la position des étoiles étant supposée connue.

Rappelons que ces paramètres (α, β) varient en fonction de la longueur d’onde et peuvent être

considérés constants localement spatialement et donc pour une petite partie du champ (ce qui

sera le cas ici).

L’idée est donc d’estimer, à chaque longueur d’onde, les valeurs (α, β) et les valeurs des

spectres des étoiles.

4.1.1.2 Critère minimisé

Le critère minimisé, pour chaque longueur d’onde, est le suivant dans le cas de données

sans bruit (le critère dans le cas bruité est donné plus bas) :

J = ¹

2 ^{ky−M xk}

2

= ¹

2^{(y−M x)}

T

(y−M x) (4.1)

La norme utilisée est la norme de Frobenius (même si ceci n’apparaît pas sur la notation).

Pour minimiser ce critère nous proposons un algorithme itératif, applicable à chaque longueur

d’onde séparément et dont la description est donnée ci-dessous.

4.1.1.3 Hypothèses

Voici les principales hypothèses ou informations a priori utilisées dans la méthode :

• Les FSF pour chaque étoile sont modélisées par une Moffat qui dépend des paramètres

suivants (expression rappelée ci-dessous) :

– de la position des étoiles −→ connues.

– des (α, β)−→ à estimer.

• L’intervalle dans lequel varient les paramètres (α, β) est connu approximativement (en

fonction de λ), cette information sert uniquement à la première initialisation de

l’algo-rithme.

Rappelons ici l’expression d’un coefficientM

pk

de la matriceM en fonction des paramètres

(α, β), c.à.d. en utilisant l’expression de la Moffat donnée dans le chapitre précédent (équation

(3.8)) :

M

_pk

= ^β−1

πα

2

1 + ^(z

^x

^−z

^x

^(k))

2

+ (z

_y

−z

_y

(k))

2

α

2

−β

, avec α≥0 , β >1 (4.2)

151 4.1. PRÉSENTATION DE LA MÉTHODE : LSQ-GRD

étudié sont indexées par z

y

et les colonnes par z

x

. Notons N

ℓ

le nombre de lignes du champ

étudié, on a alors

1

:

-z

x

=ceil(

_N^p

ℓ

), où ceilcorrespond à un arrondi vers la valeur supérieure entière la plus proche.

- z

y

=mod(p, N

ℓ

) , c.à.d. correspond au reste de la division de ppar N

ℓ

. Les valeurs nulles de

z

y

sont remplacées ensuite par N

ℓ

, pour avoir des valeurs entre 1 etN

ℓ

.

Les coordonnées z

x

et z

y

dépendent donc de l’indice pmême si cela ne transparaît pas dans les

notations.

Ces définitions sont dues au fait que, dans notre modèle, la FSF de chaque source est

vectorisée (correspond à une colonne de la matriceM), alors que dans l’expression de la Moffat

les coordonnées spatiales doivent correspondre aux coordonnées d’origine dans le champ.

4.1.1.4 Algorithme proposé

L’algorithme proposé permettra de mettre à jour les estimations de (α, β)et des spectres

des étoiles d’une manière alternée, et pour chaque longueur d’onde indépendamment. Pour cela

on utilisera des moindres carrés avec contraintes de positivité (pour l’estimation des spectres) et

un algorithme de descente de gradient à pas fixe (pour les paramètres). Ce dernier algorithme a

a été choisi pour des raisons de simplicité. Notre algorithme global est donc appelé "LSQ-Grd"

pour Least SQuare - Gradient.

Le but final de cet algorithme est bien sûr d’obtenir les spectres des étoiles contenues dans

le champ étudié.

Algorithme LSQ-Grd

• Initialisation : (α, β)(+ spectres)

• Calcul de la matrice M en utilisant la Moffat pour ces valeurs initiales de (α, β)

• Répéter jusqu’à convergence :

• Estimer x : par moindres carrés avec contraintes de non négativité, avecM fixée :

x←min

x

J, avec x≥0 (4.3)

• Estimer (α, β): par un algorithme de descente de gradient projeté à pas fixe

2

, avec

x fixé :

• Répéter jusqu’à convergence de l’algorithme de gradient :

α ←

α−ε ^∂J

∂α

P+

(4.4)

β ←

β−ε ^∂J

∂β

P+

(4.5)

où la notation [z]

_P+

correspond à la projection de z sur l’intervalle P

+

.

1. On raisonne par ligne car ce travail a été fait sur Matlab, qui travaille ligne par ligne quand une matrice est vectorisée, ce qui est le cas des plans de nos données et FSF (qui ont été vectorisés).

• Calcul de la matrice M en utilisant la fonction de Moffat pour ces valeurs de(α, β)

On parle d’une descente de gradient "projeté" car à chaque itération les valeurs de α etβ

sont projetées sur un certain intervalle, c.à.d. qu’elles sont forcées à rester dans cet intervalle.

L’intervalle choisi est P

+

= [1,5], suite aux valeurs constatées sur nos données et la condition

sur β. Il est en accord avec les valeurs constatées sur les données (entre 1 et 2.2) sans pour

autant être trop contraignant. En pratique, si à une itération donnée la valeur estimée de αou

β est en dehors de l’intervalle fixé, elle est ramenée à la borne de l’intervalle la plus proche.

Le principe de l’algorithme est le même dans le cas avec ou sans bruit, seul l’expression du

critère J change.

4.1.1.5 Initialisation

Comme dit précédemment, la méthode est applicable à chaque longueur d’onde séparément.

Néanmoins, en pratique, on l’applique séquentiellement aux différentes longueurs d’ondes de

notre cube de données. L’initialisation de l’algorithme et de ses différentes parties est donc

gérée comme suit (pour chaque longueur d’onde) :

• Initialisation de l’algorithme globalLSQ-Grd :

– L’estimation séquentielle pour les longueurs d’ondes successives permet, à chaque

lon-gueur d’onde, d’initialiser l’algorithme avec les valeurs précédentes de (α, β) (celles

estimées à la longueur d’onde précédente). Cela a pour avantage d’accélérer la

conver-gence car les valeurs de (α, β) varient lentement spectralement.

Pour la première longueur d’onde, on utilise la connaissance a priori de l’intervalle dans

lequel varient les valeurs de (α, β). On initialise avec des valeurs prises aléatoirement

dans cet intervalle.

– L’algorithme ne nécessite pas une initialisation des spectres, étant donné que ceux-ci

sont estimés en premier, à partir de l’initialisation des paramètres (α, β).

• Initialisation aux différentes itérations :

– pour l’algorithme de gradient, l’initialisation de (α, β) se fait à partir des valeurs

estimées à l’itération précédente de l’algorithme global.

– l’initialisation des valeurs des spectres, aux différentes itérations, n’est pas

indispen-sable, elle est gérée automatiquement par la fonction utilisée pour faire les moindres

carrés (fonction ’lsqnonneg’ de Matlab). Mais il est possible d’utiliser aussi les valeurs

des itérations précédentes pour l’initialisation (comme pour les paramètres).

Dans le document Méthodes de Séparation Aveugle de Sources pour l'imagerie hyperspectrale. Application à la télédétection urbaine et à l'astrophysique (Page 164-167)