pas n´ecessairement au centre de la tˆete rotative1.
A ce jour, la plupart des techniques de calibration de ce genre sont uniquement con¸cues` pour le laser `a faisceau visible [72, 91] et ne fonctionnent pas si le faisceau est invisible (infrarouge). Dans ce dernier cas, on peut citer les travaux de Deveau et al. (IGN) [42]
qui s’appuient sur les points d’int´erˆets et segments pr´esents `a la fois dans les images et les donn´ees t´el´em´etriques pour calibrer extrins`equement les deux capteurs. Autre approche, celle de Pless et Zhang [105] qui proposent un syst`eme de calibration extrins`eque bien contrˆol´ee en utilisant une mire : ils scannent un motif planaire (un ´echiquier) dans diverses poses avec le t´el´em`etre laser et la cam´era, donnant ainsi un ensemble de contraintes entre la position et l’orientation relatives des deux capteurs. Les param`etres extrins`eques entre ces capteurs sont alors obtenus par descente de gradient. La m´ethode propos´ee souffre de plusieurs d´efauts : la calibration obtenue n’est pas assez pr´ecise et peu robuste. Elle ne tient pas compte des caract´eristiques techniques du laser, notamment de l’erreur syst´ematique (quelque soit la distance) dans l’estimation de la distance «laser ↔ 1er obstacle». Leur m´ethode de calibration est d’abord pr´esent´ee suivie des diverses am´eliorations que nous y avons apport´ees.
9.3 Principe g´ en´ eral du processus de calibration
Le principe g´en´eral est de pr´esenter une mire, ici un ´echiquier (figure 9.3) devant le bloc laser/cam´eras. Le t´el´em`etre scanne la mire, fournissant un profil 2D (un segment dans l’espace 3D) pendant que la cam´era capture l’image de l’´echiquier. `A partir de celle-ci, les param`etres extrins`eques de la cam´era sont alors estim´es pour d´eterminer les param`etres (N~,d) du plan de la mire dans le rep`ere Cam´era, tel queN~ ·x=davec avecd, la distance entre le plan de la mire et la cam´era etN~, la normale au plan dans RC.
Figure 9.3 – Calibration sur une mire (´echiquier) dont nous modifions sa position et son orientation.
1ceci entraˆıne unoffset dans la mesure de distance qui peut cependant ˆetre d´etermin´e via une cali-bration simple.
Chap. 9. Fusion laser / cam´era : calibration des capteurs
Les points t´el´em´etriques appartiennent n´ecessairement tous `a la mire et sont donc tous sujets `a des contraintes qui permettent d’estimer la position et l’orientation relatives entre RC et RL. Cependant, ces contraintes sont insuffisantes si la mire est statique (ou si le bloc laser/cam´eras est statique), aussi on la d´eplace dans diverses poses (rotations autour des axes vertical et horizontal).
On formalise le probl`eme. Quand le t´el´em`etre balaye la mire, les points t´el´em´etriques PL appartiennent au plan de l’´echiquier et v´erifient donc :
N~ ·PC−d = 0 N~ ·£
R−1(PL−T)¤
−d = 0
La mire est d´eplac´ee enN poses distinctes (fournissant chacuneNb(i) points t´el´em´etriques appartenant `a la mire) et on estime finalement R et T en minimisant la fonctionnelle E suivante :
avecDij, la distance entre le j-i`eme point PCj de la i-i`eme pose de la mire. Pless et Zhang utilisent la distance alg´ebrique (orthogonale) Dij = N~ ·PC −d qui se r´ev`ele inad´equate ici du fait que la variance des erreurs diff`ere selon l’angle de «tir» du faisceau laser, induisant in´evitablement un biais. Ainsi, nous consid´erons une autre distance, la distance D le long du faisceau laser→r (de centre s) entre le pointPC =R−1(PL−T) et le plan de
La valeur τ correspond au temps de collision entre le plan de la mire et le rayon laser →r passant par le centre s. La figure 9.4 montre ces deux distances.
La matrice de rotation R est remplac´ee par le couple (V,α) o`u le vecteur V repr´e-sente la direction de l’axe principal de la rotation et α, l’angle autour de cet axe. Posant kVk=α, cette repr´esentation (aussi appel´ee repr´esentation de Rodrigues) s’appuie sur trois param`etres et ´evite les probl`emes rencontr´es avec larepr´esentation d’Euler qui n’est ni unique, ni continue partout et finalement inad´equate pour le processus d’optimisation.
9.3.1 Descriptif exp´ erimental du processus de calibration
On pr´esente la mire devant le bloc laser/cam´era et, pour chaque pose de la mire, on extrait plusieurs profils t´el´em´etriques 2D (au nombre de n) et une image de la mire.
Multiplier les profils r´eduit les erreurs lors de l’estimation des distances en calculant, pour chaque angle de vue, une moyenne robuste (via le m´edian) desndistances xi. On proc`ede
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Sec. 9.3. Principe g´en´eral du processus de calibration
Figure 9.4 – Les lignes rouges en gras illustrent les distances r´esiduelles entre la mire et les points 3D fournis par le laser, les lignes en pointill´es montrent les distances alg´ebriques et les croix, les points t´el´em´etriques.
comme suit : on calcule un r´esidu robuste σmad, aussi appel´e median absolute deviation (MAD) via :
σmad= 1.48median
i |xi−median
j |xj| | (9.6)
On pose ri = xi −medianj|xj| le r´esidu pour chaque point xi. On obtient ainsi des r´esultats robustes contre les points aberrants en supprimant les points dont|ri|>4.7σmad tel qu’il a ´et´e recommand´e empiriquement par Holland et Welsch dans [67]. Les r´esidus sont alors recalcul´es sans les points class´es aberrants, ainsi de suite jusqu’`a stabilisation.
Ainsi, la pr´ecision augmente : l’erreur passe de 5 cm `a moins d’1 cm. Les points 3D sont ensuite segment´es selon qu’ils appartiennent ou non `a la mire (voir figure 9.5).
La calibration de la cam´era est quant `a elle effectu´ee avec Matlab avec le Matlab Ca-libration ToolKit qui utilise des m´ethodes de calibration standards [54, 148]. La pr´ecision de la projection est subpixellique (moins de 0.3 pixel) et les param`etres extrins`eques sont estim´es avec une pr´ecision inf´erieure `a 0.25˚pour la rotation et inf´erieure `a 1 cm pour la translation1. Notons aussi que la pr´ecision de mesure des dimensions de la mire ainsi que la taille des cases de l’´echiquier peuvent entrer en jeu dans la qualit´e de la calibra-tion : on a constat´e environ 3% d’erreur dans l’estimacalibra-tion de distance, erreur `a prendre en consid´eration car la calibration laser/cam´era est r´ealis´ee dans un espace m´etrique.
La fonctionnelle `a minimiser n’´etant pas lin´eaire, sa minimisation est faite via l’algo-rithme it´eratif Levenberg-Marquardt. Les r´esultats sont pr´esent´es en sous-section 9.4.
Notons que la pr´ecision des distances mesur´ees par le t´el´em`etre est de 5 cm (la
distribu-1Ces erreurs valent trois fois l’´ecart type des erreurs d’estimation. Les d´etails sont disponibles sur le site internet :http://www.vision.caltech.edu/bouguetj/calib doc/
Chap. 9. Fusion laser / cam´era : calibration des capteurs
Figure9.5 – Segmentation d’un profil t´el´em´etrique horizontal (vue de dessus) : `a gauche, l’origine du t´el´em`etre et au milieu, les points de la mire (target) extraits via un algorithme na¨ıf.
tion des erreurs constat´ee empiriquement suit une gaussienne centr´ee d’´ecart type 5 cm), quelque soit la distance du premier obstacle. Ainsi, plus la distance est importante, plus la pr´ecision relative du t´el´em`etre augmente. Il convient de choisir un compromis entre une mire suffisamment proche, pour que la cam´era l’observe avec une r´esolution suffisante pour la calibration, mais suffisamment ´eloign´ee pour que les erreurs d’estimation de distance restent raisonnables1. La taille de la mire doit ˆetre aussi grande que possible : dans notre configuration, la taille de l’´echiquier avoisine les 100*100 cm2.
9.3.2 Estimation robuste de l’orientation relative de la mire
Si les objets de la sc`ene r´eelle que l’on veut num´eriser, tels que les fa¸cades, sont ´eloign´es du syst`eme d’acquisition, la position relative entre les deux capteurs n’est pas primordiale.
Mais l’orientation relative devient critique. La m´ethode propos´ee ci-dessus donnent des r´esultats satisfaisants en pr´ecision mais s’av`ere peu robuste contre les points t´el´em´etriques erron´es. La calibration extrins`eque de certaines poses de la mire est de surcroˆıt parfois impr´ecise (`a cause d’un angle trop ´elev´e avec la cam´era par exemple).
On ajoute deux ´etapes de filtrage : la premi`ere supprime les points t´el´em´etriques dont le r´esidu D2ij est sup´erieur `a 4.7 fois l’´ecart type robuste (MAD) du m´edian de tous les r´esidus, i.e. les points tels que :
Dij2 >4.7
1Ce compromis devient critique lorsqu’on utilise des objectifs grand-angles etfish-eyes, souvent utilis´es pour photographier ou filmer l’environnement urbain o`u les rues sont ´etroites.
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Sec. 9.4. R´esultats