deux cas sont repr´esentables par graphe car les in´egalit´es λD ≤ λD +λH pour le cas V3 etλD ≤λD+λV pour le cas H3 sont respect´ees ∀ λD, λH etλV ≥0 (voir tableaux4.3 et 4.4 pour les d´etails) .
Pour les autres cas valides, D() et Hi() (et donc D+P
iHi) sont submodulaires `a condition que λV ≤λD et λH ≤λD.
4.3 Autres caract´ eristiques des contraintes tempo-relles
De surcroˆıt, l’in´egalit´e λH +λV ≤ λD doit aussi ˆetre respect´ee si l’on veut que les parties cach´ees des couches soient extraites. En effet, dans le cas contraire, le coˆut de la disparition vers une couche cach´ee (coˆut : λH) suivie par une apparition vers une couche visible (coˆut : λV) est plus coˆuteux qu’une disparition vers aucune couche cach´ee, qui ne coˆute queλD (car il n’y alors aucun coˆut de r´eapparition).
Autre point important : nous avons consid´er´e en introduction que l’on suit seulement les objets qui disparaissent et qui r´eapparaissent. Et quid des parties d’objets qui dispa-raissent d´efinitivement ? Pourquoi ne pas suivre leur trace ? Un tel choix se justifie par le fait que 1) l’inexactitude des mouvements estim´es et des supports des couches et 2) les erreurs syst´ematiques d’arrondis font que la partie cach´ee d’une couche peut ˆetre partiel-lement incorrecte pour une imaget. Cette erreur se propage alors progressivement d’image en image du fait des contraintes temporelles. Par exemple, si l’objet en disparition a un mouvement en l´eg`ere expansion, la moindre erreur de classification aux bordures de cet objet agrandit la partie cach´ee extraite de cet objet dans l’image suivante. Les contraintes spatiales accentuent les erreurs puisqu’elles ont tendance `a ´elargir les parties cach´ees `a toute l’image pour ´eviter que celles-ci n’aient des bordures (qui sont p´enalis´ees).
On peut contrecarrer ce dernier effet via une contrainte pour les couches cach´ees sur leur surface occup´ee (ce qui revient `a p´enaliser par un ²chaque pixel ayant une ´etiquette cach´e). Outre un param`etre de plus `a r´egler (s’il est trop ´elev´e, les contraintes temporelles
Chap. 4. Extraction et suivi des couches cach´ees
ne sont pas assez fortes pour obtenir des parties cach´ees), le probl`eme devient difficile `a contrˆoler. Si on rajoute que la m´ethode de minimisation retenue (l’alpha-expansion) n’est pas faite pour ce genre de probl`eme o`u les contraintes a priori dominent les attaches aux donn´ees (le calcul de flot des graph cuts n´ecessite alors trop de temps, plusieurs minutes au lieu de quelques secondes), l’ensemble est actuellement inexploitable en pratique.
De surcroˆıt, extraire les parties d´efinitivement cach´ees des objets n’est finalement pas tr`es important et peut-ˆetre effectu´e en post-processing avec d’autres techniques. Se res-treindre au cas des parties cach´ees qui r´eapparaissent contraint d’autant plus le probl`eme et am´eliore la qualit´e des r´esultats.
Pour forcer les parties cach´ees `a r´eapparaˆıtre lors de la s´equence, il suffit de fixer tous les pixels de la premi`ere image et de la derni`ere image `a n’avoir aucune ´etiquette cach´e.
Cette r`egle peut ˆetre relˆach´ee selon l’application envisag´ee ou les situations rencontr´ees : on peut par exemple la relˆacher pour la couche de l’arri`ere-plan comme nous l’avons parfois fait avec succ`es en pratique (sans surcoˆut notable en temps de calcul, contrairement aux autres couches).
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Sec. 4.3. Autres caract´eristiques des contraintes temporelles
Chapitre 5
Minimisation de l’´ energie par graph cuts
La minimisation de l’´energie globale (3.20) s’effectue dans un cadre MRF (Markov Random Field), bien adapt´e `a notre probl`eme et aux contraintes spatiales et temporelles que nous avons d´efinis. `A travers ce chapitre, on dresse un ´etat de l’art des m´ethodes de minimisation MRF les plus utilis´ees afin de bien situer celle que nous avons retenue : l’alpha-expansionqui s’appuie sur lesgraph cuts. Nous pr´esentons en d´etail cette technique d’optimisation en ´etablissant le lien entre la minimisation de notre ´energie, exprim´ee dans le cadre MRF, et la structure d’un graphe dont nous maximons son flot.
Sommaire du chapitre
5.1 Le cadre MRF . . . 92 5.2 Etat de l’art des m´´ ethodes de minimisation . . . 92 5.3 Les graph cuts . . . 93 5.4 D´efinitions. . . 93 5.5 Calcul du flot maximal / coupe minimale . . . 94 5.6 Minimisation d’une ´energie de classification binaire. . . 95 5.6.1 Quelles ´energies binaires peuvent ˆetre minimis´ees ? . . . 95 5.6.2 Construction du graphe associ´e . . . 96 5.7 Le cas d’une classification multi-´etiquettes : l’algorithme de
l’alpha-expansion. . . 97 5.8 Et l’alpha-beta-swap ? . . . 98 5.9 Minimisation de notre ´energie . . . 99 5.9.1 Premi`ere approche pour la minimisation . . . 100 5.9.2 Deuxi`eme approche de minimisation . . . 101 5.9.3 Construction du graphe . . . 102 5.10 Conclusion de l’approche par graphe. . . 102
Sec. 5.1. Le cadre MRF
5.1 Le cadre MRF
Utilis´ees depuis 1984 par les fr`eres Geman [60] dans le cadre de la vision, les champs de Markov al´eatoires permettent de d´efinir des mod`eles d’a priori pour la segmentation telles que les contraintes spatiales et temporelles dans un espace discret. Les MRF sont un mod`ele de probabilit´e conditionnelle tel que la probabilit´e de l’´etat observ´e d’un pixel ne d´epend que de l’´etat de ses voisins et seulement de ceux-ci. Segmenter revient alors `a maximiser l’esp´erance des probabilit´es d´efinies par les MRF par des techniques standards telles que le recuit simul´e, l’ICM (Iterated Conditioned Modes), les LPB (Loopy Belief Propagation) ou les graph cuts que nous pr´esentons en section suivante. Nous verrons aussi comment notre ´energie est inscrite dans ce cadre.