Principe général de la méthode particulaire avec remaillage

Une méthode particulaire permet de résoudre une équation de transport :

∂u

∂t ^{+ div(au) = 0, (2.1)}

où la quantité u est transportée à vitesse a. Comme nous l’avons évoqué en section 1.1.2,

la quantitéu est discrétisée sur un ensemble de particules et est approchée en tout point

de l’espace par l’expression :

u(x) =X

p

u

W

(x−x

),

avec u

la quantité portée par la particule p, W

une fonction de régularisation et x

la

position d’une particule. L’évolution des particules est soumise au champ de vitesse de

l’écoulement et leurs trajectoires sont données par les équations :

dx

dt ^=a(x

^{, t).}

La présence d’un éventuel second membre dans l’équation de transport (2.1) se traduit

par une équation d’évolution de la quantité transportée par les particules. Par exemple, pour

une équation de transport de vorticitéωà vitesseu, issue des équations de Navier-Stokes :

∂ω

∂t ^+u· ∇ω=ω· ∇u+ν∆ω,

le second membre conduit aux équations suivantes :

dω

dt ^=ω

∇u(x

) +ν∆ω(x

).

Un inconvénient bien connu des méthodes particulaires est qu’au cours de l’évolution

de la simulation, les particules ont des trajectoires qui suivent le champ de vitesse. Par

conséquent, il peut arriver que ces particules se retrouvent trop éloignées les unes des autres

ou inversement regroupées dans une petite région du domaine. Ainsi, selon les zones de

l’écoulement, on assiste à une dégradation de la représentation des champs par manque ou

excès de particules. Un contrôle du recouvrement des particules est alors nécessaire pour

assurer de la convergence de la méthode. Dans de nombreuses implémentations de cette

méthode, une redistribution des particules sur une grille est appliquée régulièrement au cours

de la simulation afin de garantir un recouvrement suffisant et les propriétés de consistance

de la méthode (Koumoutsakos et al., 1995). Une méthode semi-Lagrangienne est obtenue

lorsque le remaillage est effectué systématiquement après chaque étape d’advection. Cela

permet également une représentation des variables sur la grille et d’exploiter des méthodes

de décomposition de domaine (Cottet, 1991 ; Ould Salihiet al., 2000 ; Cottet et al., 2000 ;

Cocle et al., 2008), d’adaptation automatique de maillage (Bergdorf et al., 2005) ou de

multirésolution basée sur des ondelettes (Bergdorfet al., 2006). Ainsi, les termes au second

membre des équations de transport peuvent être résolus sur la grille et non sur les particules.

Par conséquent, la quantité transportée par les particules est conservée lors de l’advection

car la trajectoire des particules suit les caractéristiques et on a :

du

dt ^{= 0.}

Ainsi, dans ce type de méthode, les particules sont créées au début de chaque étape

d’ad-vection et sont détruites par le remaillage. En pratique, on ne crée des particules qu’aux

points de grille où la quantité transportée par les particules est supérieure à une certaine

va-leur seuil fixée à l’avance. Cela permet d’éviter le traitement, par advection puis remaillage,

de particules dont la quantité transportée est nulle ou négligeable.

Le remaillage consiste en une interpolation des particules sur la grille à l’aide d’un

noyau de remaillage, également appelé formule de remaillage. Le cas multidimensionnel

est généralement traité par produit tensoriel de noyaux monodimensionnels. Cependant,

comme nous le verrons par la suite, ces formules ont généralement un coût arithmétique

élevé en 3D si des noyaux avec un large support sont utilisés. La figure 2.2 illustre une étape

de résolution pour un cas 2D où la taille des disques représente les valeurs portées par les

particules. Après un déplacement des particules selon le champ de vitesse représenté par

les flèches en trait épais sur la figure 2.2b, les particules sont remaillées sur lesS points de

grille voisins. Les contributions d’une particule sur les points de grille sont représentées par

des flèches en trait fin. La particule colorée sur la figure 2.2a est répartie dans les valeurs

des points de grille colorés selon la contribution sur la figure 2.2c.

(a) Instanttn (b) Advection et remaillage (c)Instanttn+1

Figure 2.2. – Remaillage par produit tensoriel

Magniet al.(2012) proposent une alternative à la résolution multidimensionnelle basée

sur un splitting dimensionnel. Cette méthode permet de découpler les directions spatiales à

travers la résolution de problèmes monodirectionnels en alternant les directions. Le splitting

de Strang, d’ordre deux en temps, conduit à résoudre, pour un problème 2D, une première

direction sur l’intervalle[t

;t

[, la seconde direction sur un pas de temps complet et

re-venir à la première direction pour terminer l’itération sur[t

;t

[. En trois dimensions,

l’algorithme est identique, toutes les étapes sont réalisées sur des demi pas de temps excepté

la troisième direction. Nous illustrons ce splitting dimensionnel en figure 2.3 en utilisant les

mêmes conventions que pour l’illustration précédente. Dans un souci de clarté, l’exemple

ne concerne qu’un splitting du premier ordre qui, selon le même principe, consiste en une

alternance des directions pour des pas de temps complets. À chaque étape, une particule est

remaillée seulement sur lesSpoints voisins dans la direction concernée, soit respectivement

3S et5S contributions par particule pour une itération complète de la formule de Strang

en 2D et en 3D, au lieu deS

etS

pour un remaillage tensoriel.

(a)Instanttn (b) Advection et remaillage, di-rectionX

(c) État intermédiaire

(d)Advection et remaillage, di-rectionY

(e) Instanttn+1

Figure 2.3. – Remaillage par splitting dimensionnel du premier ordre

À travers l’utilisation d’un splitting dimensionnel de Strang, la résolution d’une équation

de transport multidimensionnelle se réduit à une succession de problèmes 1D. Cela permet

d’obtenir un coût de calcul proportionnel au nombre de particules dont la constante

mul-tiplicative dépend uniquement de la formule de remaillage. Dans un remaillage tensoriel,

chaque particule contribue une fois par itération à S

(S

) points de grilles voisins en 3D

(2D). En revanche, dans notre cas, une itération est constituée de plusieurs étapes dans

lesquelles une particule contribue simplement auxS points de grille. D’autres avantages en

termes de complexité algorithmique seront donnés ultérieurement.