Application au transport turbulent

Dans le cas du transport de scalaire passif, Gotoh et al. (2012) proposent une

com-paraison de leur méthode hybride avec une méthode entièrement spectrale. La méthode

hybride consiste en la résolution de l’écoulement à l’aide d’une méthode spectrale alors que

le transport du scalaire est résolu par différences finies d’ordre élevé. L’intérêt majeur de

cette approche est que les opérations non locales sur le scalaire, issues des transformées de

Fourier de la méthode spectrale, sont remplacées par des schémas locaux. Cela permet de

limiter les communications lors de l’exploitation d’un grand nombre de cœurs de calcul. Les

différentes échelles physiques présentes dans les cas à nombre de Schmidt élevé permettent

à Gotohet al. de réaliser des simulations en multirésolution. Le fluide est calculé sur 256

points de grille alors que1 024

points sont utilisés pour discrétiser le scalaire.

Une réduction du temps de calcul est obtenue à travers ces différentes simulations. En

particulier, les auteurs obtiennent un facteur d’accélération de 1,4 grâce à l’utilisation de

leur méthode hybride au lieu d’une méthode entièrement spectrale. D’autre part, le fait de

réduire le nombre de points de 1 024

à 256

pour la résolution du fluide, pour Sc = 50,

leur permet d’obtenir un facteur d’accélération supplémentaire de 3. L’ensemble des calculs

ont été réalisés en utilisant 4 096 cœurs de calcul.

Une limite de cette approche est que le pas de temps reste limité par la résolution

du maillage du scalaire à travers l’expression d’une condition de CFL. Ainsi, lorsque le

problème est résolu en utilisant des grilles résolutions différentes, les auteurs sont limités à

l’utilisation d’un pas de temps dépendant de celle du scalaire.

3.2.2. Méthodes spectrale et semi-Lagrangienne

Une approche similaire a été proposée par Lagaertet al.(2012) et Lagaertet al.(2014).

Les auteurs utilisent une méthode hybride où le fluide est résolu de façon spectrale couplée

à une méthode semi-Lagrangienne pour le transport du scalaire. L’intérêt majeur est de

pouvoir bénéficier de l’avantage des méthodes particulaires dont le pas de temps n’est pas

contraint par une condition aussi restrictive que la condition CFL des méthodes Eulériennes,

dans certains cas. Cela permet à Lagaertet al.de choisir un pas de temps pour le transport

du scalaire dix fois plus grand que celui du fluide. Ainsi, dans le cas d’un grand nombre

de Schmidt, non seulement les résolutions spatiales sont différentes mais les pas de temps

aussi. Cela permet d’atteindre un facteur d’accélération approchant 40 par rapport à une

méthode entièrement spectrale avec une seule résolution, dans le cas Sc = 50 avec 256

points pour le fluide et 1 024

points pour le scalaire.

Toutefois, la méthode semi-Lagrangienne utilisée par Lagaert et al. reste d’un ordre

spatial plus faible (ordre 4) que le schéma aux différences finies d’ordre 8 employé par Gotoh

et al.

3.2.3. Méthodes semi-Lagrangiennes et architecture hybride

Dans ce travail, nous reprenons l’idée de Cottet et al. (2009a) pour l’utilisation d’une

méthode hybride. La méthode que nous utilisons exploite les trois niveaux d’hybridation

exposés plus haut : maillages de résolutions différentes pour le scalaire et l’écoulement,

cou-plage de méthodes de natures différentes et utilisation d’architectures matérielles différentes

pour la résolution de l’écoulement et du transport du scalaire. Nous exploitons le caractère

multiéchelle du problème avec une méthode hybride en résolution dans laquelle le scalaire

transporté est résolu de manière plus fine que la vorticité. L’écoulement est résolu par une

méthode semi-Lagrangienne pour le transport de la vorticité, avec des différences finies pour

le terme d’étirement et une diffusion spectrale. Nous calculons le champ de vitesse à

par-tir de la vorticité à l’aide d’un solveur spectral pour l’équation de Poisson. Le scalaire est

également transporté par une méthode semi-Lagrangienne avec une diffusion en différences

finies. Enfin au niveau matériel, le fluide sera résolu sur une architecture multicœurs CPU

classique et nous tirons parti de la puissance de calcul disponible dans les cartes graphiques

pour résoudre le transport du scalaire.

Comme toutes les résolutions en temps sont effectuées par méthode semi-Lagrangienne,

cela nous permet de choisir de grands pas de temps contraints uniquement par la condition

de CFL Lagrangienne qui fait intervenir le gradient du champ de vitesse et non la taille de la

grille. D’autre part, comme nous l’avons vu en section 2.2, la méthode d’ordre élevé conduit

à l’utilisation de formules de remaillage d’une forte complexité arithmétique. En effet, le

remaillage d’une particule nécessite l’évaluation de polynômes de degré relativement élevés

en chacun des nombreux point du support. Cette complexité est maîtrisée par l’utilisation

de cartes graphiques. L’intérêt de cette approche est de pouvoir accélérer, à l’aide des GPU,

la partie la plus intensive du code dont la résolution pourra être réalisée en même temps

que l’écoulement par l’utilisation de matériels différents pour chaque partie. D’un point

de vue pratique, lors de l’exploitation de machines de calcul, il est d’usage de réserver les

cartes graphiques par nœuds complets ce qui, sur la plupart des machines, donne accès à un

nombre de cœurs CPU bien plus grand que le nombre de GPU. L’objectif d’une exploitation

efficace des ressources est envisageable à travers une utilisation simultanée des GPU et des

cœurs CPU pour résoudre respectivement le transport du scalaire et le fluide.

Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons vu comment une méthode hybride permet d’exploiter les

forces des différentes méthodes en fonction des caractéristiques du problème à résoudre.

Ainsi, la méthode que nous utiliserons par la suite combine la méthode semi-Lagrangienne

exposée dans le chapitre 2 avec des méthodes de grille classiques, différences fines et

spec-trales. L’idée principale de cette méthode est de profiter à la fois de la puissance de calcul

développée par les cartes graphiques et de l’algorithme de splitting dimensionnel pour

réali-ser des simulations d’ordre élevé pour le transport du scalaire. Les résultats de cette méthode

seront présentés dans le chapitre 6.

4.

Développement d’un code